Exercices - Système linéaires : corrigé - BibMath

Exercices - Système linéaires : corrigé
Exercice 1 - Paramètre dans le second membre - L1/Math Sup - ⋆
Notons (S) ce système, et appliquons la méthode du pivot de Gauss :
(S)
⇐⇒
⇐⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
{
x = 1 − y + z
z = −1 + y
x + y − z = 1 (L3)
−3y + 3z = m − 1 (L1)-3(L3)
−2y + 2z = −2 (L2)-(L3)
x + y − z = 1
−y + z = (m − 1)/3
−y + z = −1
Le système admet donc des solutions si et seulement si (m − 1)/3 = −1, soit m = −2. Dans ce
cas, il est équivalent à
⎧
⎪⎨
⇐⇒
Dans le cas où m = −2, l’ensemble des solutions est donc
⎪⎩
{(0, y, −1 + y); y ∈ R}.
x = 0
y = y
z = −1 + y
Exercice 2 - A paramètre - L1/Math Sup - ⋆
Notons (S) ce système, et appliquons la méthode du pivot de Gauss :
(S)
⇐⇒
⇐⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x + y + z = 1 − a
y + z = 0
(1 − 2a)y + (1 − 2a)z = 2a 2 − a
x + y + z = 1 − a
y + z = 0
a(2a − 1) = 0
On distingue alors plusieurs cas. Si a /∈ {0, 1/2}, le système n’est pas compatible et n’admet
donc pas de solutions. Si a = 0, le système est équivalent à
{
x + y + z = 1
y + z = 0
et donc l’ensemble des solutions est {(1, y, −y); y ∈ R}. Si a = 1/2, le système devient
{
x + y + z = 1/2
y + z = 0
et donc l’ensemble des solutions est {(1/2, y, −y); y ∈ R}.
Exercice 3 - Système non linéaire - L1/Math Sup - ⋆
On pose a = ln x, b = ln y et c = ln z et notons (S) le système. La fonction logarithme étant
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injective, on a :
(S)
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
3a + 2b + 6c = 0
4a + 5b + 12c = ln 2
2a + 2b + 5c = ln 3
3a + 2b + 6c = 0
7b + 12c = 3 ln 2
2b + 3c = 3 ln 3
3a + 2b + 6c = 0
7b + 12c = 3 ln 2
−3c = 21 ln 3 − 6 ln 2
a = −2 ln 2 + 6 ln 3
b = −3 ln 2 + 12 ln 3
c = 2 ln 2 − 7 ln 3.
Ceci donne finalement comme unique solution
⎧
⎪⎨ x = 2 −2 3 6
y = 2 −3 3 12
⎪⎩ z = 2 2 3 −7 .
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