Enoncés - Bibmath

Exercices - Variables aléatoires : propriétés générales
: énoncé
Moments - Fonction de répartition
Exercice 1 - Variable discrète - L3/M1 - ⋆
Soit X une variable aléatoire réelle et soit M ⊂ R tel que, tout x ∈ M, P (X = x) > 0.
Démontrer que M est fini ou dénombrable.
Exercice 2 - Sur la variance - L3/M1 - ⋆
Soit X une variable aléatoire admettant un moment d’ordre 2. Démontrer que E ( (X − a) 2)
est minimal pour a = E(X).
Exercice 3 - Une variable aléatoire de fonction de répartition donnée - M1/Prépa
Agreg - ⋆⋆
Soit F : R → R une fonction croissante, continue à droite, vérifiant lim −∞ F = 0 et
lim +∞ F = 1. On veut démontrer qu’il existe une variable aléatoire X dont F est la fonction
de répartition. Pour u ∈]0, 1[, on pose
1. Vérifier que G est bien définie.
G(u) = inf{x ∈ R; F (x) ≥ u}.
2. Démontrer que, pour tout x ∈ R et tout u ∈]0, 1[, F (x) ≥ u ⇐⇒ x ≥ G(u).
3. Soit U une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0, 1]. Quelle est la fonction de
répartition de G(U) ?
Inégalité de Bienayme-Tchebichev et de Markov
Exercice 4 - Une variante de l’inégalité de Markov - version L2/ECS - L2/ECS -
⋆⋆
Soit X une variable aléatoire admettant une densité f. On suppose que X ne prend que des
valeurs positives ou nulles, et que X admet une espérance mathématique m non-nulle.
1. Démontrer que pour tout λ > 0, P (X ≥ λm) ≤ 1 λ .
2. On note q le 3-ième quartile de X, c’est-à-dire le nombre q tel que F (q) = 3/4, où F est
la fonction de répartition de X. Démontrer que q ≤ 4m.
Exercice 5 - Une variante de l’inégalité de Markov - version L3 - L3 - ⋆⋆
Soit X une variable aléatoire ne prenant que des valeurs positives ou nulles et admettant
une espérance mathématique m non-nulle. Démontrer que pour tout λ > 0, P (X ≥ λm) ≤ 1 λ .
Fonction caractéristique
Exercice 6 - Uniforme continuité - M1/Prépa Agreg - ⋆⋆
Soit µ une mesure de probabilité sur R. Montrer que sa transformée de Fourier est uniformément
continue.
Exercice 7 - Fonction caractéristique périodique - M1/Prépa Agreg - ⋆⋆
Soit X une variable aléatoire. On souhaite démontrer que φ X (1) = 1 si et seulement si
P X (R\2πZ) = 0.
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Exercices - Variables aléatoires : propriétés générales
: énoncé
1. On suppose que φ X (1) = 1. Démontrer que ∫ R (1 − cos x)dP X(x) = 0. En déduire que
P X (R\2πZ) = 0.
2. Démontrer la réciproque.
3. Démontrer que ces deux conditions sont aussi équivalentes à φ X est 1-périodique.
Exercice 8 - Stabilité de la loi par la somme - M1/Prépa Agreg - ⋆⋆
Soient X, Y deux variables aléatoires réelles indépendantes de même loi. On suppose qu’elles
possèdent un moment d’ordre 2 et on note σ 2 leur variance commune. On suppose de plus que
X+Y √
2
a même loi que X.
1. Démontrer que X est d’espérance nulle.
2. Donner un développement limité à l’ordre 2 de φ X .
3. Démontrer que
∀n ≥ 1, ∀t ∈ R,
[ ( )] t 2 n
φ X
2 n/2 = φ X (t).
4. En déduire que X suit une loi normale dont on précisera les paramètres.
5. Retrouver ce résultat en appliquant le théorème limite central.
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