sujet Automates pour rechercher - ENS Cachan

1 IntroductionLa recherche d'un mot dans un texte est un problème classique. Les editeurs de texteorent tous une telle fonctionnalité. La diculté est de pouvoir le faire de façon ecacesur de longs textes. En eet l'ergonomie d'un éditeur de texte tient notament au fait quela recherche d'un mot puisse se faire en un temps à peine perceptible par l'utilisateur.C'est pourquoi il est nécessaire d'employer des algorithmes ecaces, par exemple, enutilisant des automates.2 Mots pseudo-aléatoiresConsidérons la suite d'entiers (u n ) dénie pour n ≥ 0 par :{votre u0 (à reporter sur votre che) si n = 0u n =15 091 × u n−1 mod 64 007 si n ≥ 1Soit m un entier positif non-nul. La suite d'entiers (v m,n ) est dénie pour n ≥ 0 par :v m,n = u nmod mQuestion 1 a) Quelle est la valeur de v 7, 1 000 ? b) Quelle est la valeur de v 10, 10 000 ? c)Quelle est la valeur de v 3, 100 000 ?On appelle mot toute suite nie de lettres. Le mot de longueur nulle est noté ɛ. On notex.y = x 1 . . . x p y 1 . . . y q la concatenation de deux mots x = x 1 . . . x p et y = y 1 . . . y q .On note w n,k,l le mot constitué des lettres v n,k . . . v n,k+l−1 .3 AutomatesNotons E n l'ensemble d'entiers naturels {0, . . . , n−1}. On appelle automate sur l'alphabetE n , tout quadruplet A = (Q, I, F, T ), où Q est un ensemble ni d'états, I ⊆ Q est unensemble d'états initiaux, F ⊆ Q est un ensemble d'états nals et T ⊆ Q × E n × Q unerelation de transition.Les automates sont souvent représentés par des graphes dirigés dont les sommets sontles états de l'automate et dont les arcs représentent la relation de transition. Les étatsinitiaux sont désignés par une petite èche entrante et les états nals sont désignés parun double cercle. La gure ci-dessous donne un exemple d'automate :1 20 120 1 2Un chemin Γ de l'automate est une suite alternée états-lettres Γ = q 0 , e 1 , q 1 , e 2 , q 2 , . . . e l , q ltelle que ∀i ∈ {0, . . . l − 1}, (q i , e i+1 , q i+1 ) ∈ T .1 / 4