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Exercices - Equations différentielles non linéaires : indicationsEquations différentielles à résoudreExercice 1 - Équations autonomes - L2/L3/Math Spé - ⋆1. Diviser par 1 + y 2 .2. Une solution qui s’annule en un point est forcément nulle partout (pourquoi ?). Diviserpar y 2 .Exercice 2 - Avec des valeurs absolues - L3/Math Spé - ⋆⋆Résoudre d’abord sans les valeurs absolues (il y a deux cas, puis recoller).Exercice 3 - Solutions maximales - L2/L3/Math Spé - ⋆⋆Séparer les y et les x pour résoudre l’équation. Chercher ensuite les intervalles les plus grossur lesquels la formule trouvée a un sens.Exercice 4 - Equation de Bernoulli - L2/Math Spé - ⋆⋆Il s’agit d’une équation différentielle de Bernoulli. La résoudre par le changement d’inconnuez = √ y.Études qualitatives d’équations différentiellesExercice 5 - Comportement à l’infini - L2/Math Spé - ⋆Comment démontre-t-on qu’une fonction est constante ? Pour la deuxième partie, majorer|y(x)| en utilisant que le cosinus est borné par 1.Exercice 6 - Avec un sinus - L2/Math Spé/Oral CCP - ⋆⋆1. Remplacer x par une constante !2. Utiliser le fait que deux courbes intégrales ne se coupent jamais, et le théorème d’explosionen temps fini.3.Exercice 7 - Avec une exponentielle - L2/L3/Math Spé - ⋆⋆⋆1. Considérer z = −y(−t).2. Partir de y(x) = ∫ x0 exp ( − ty(t) ) dt pour démontrer que y admet une limite en b, si elleest définie sur ] − b, b[.3.4.Exercice 8 - Arctan - Math Spé/L3/Prépa agreg - ⋆⋆⋆1. Appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz.2. Considérer z = −y(−x).http://www.bibmath.net 1

Exercices - Equations différentielles non linéaires : indications3. Pour la convexité, dériver l’équation différentielle.4. Partir de y ′ (x) ≥ 1 + y 2 (x) pour x ≥ 1, diviser par 1 + y 2 (x) et intégrer.5. Raisonner par l’absurde, et prouver que y admet une limite aux bornes.Exercice 9 - Décroissance contrôlée - Math Spé/L3/Prépa agreg - ⋆⋆⋆1. Les fonctions constante égales à 1 et à 0 sont solutions de l’équation différentielle.2. Utiliser le théorème d’explosion en temps fini.3. Démontrer que la fonction y(t) = x(t) exp(βt) est décroissante près de +∞.Exercice 10 - Étude qualitative d’un système différentiel - L3/M1 - ⋆⋆⋆1. Si x(t) n’est pas toujours strictement positif, considérer le premier instant où cela s’annule.2. Utiliser le théorème d’explosion en temps fini.3. Poser z(t) = x(t)e (b+1)t et remarquer que z ′ (t) ≥ ae (b+1)t .Exercices théoriquesExercice 11 - Toujours dessous - L2/Math Spé - ⋆Procéder par l’absurde, alors il existe t 1 avec f(t 1 ) ≥ g(t 1 ). Appliquer le théorème desvaleurs intermédiaires entre t 0 et t 1 , puis le théorème de Cauchy-Lipschitz.Exercice 12 - Entonnoirs - Math Spé/L3/Prépa agreg - ⋆⋆⋆1. Faire un raisonnement par l’absurde, et considérer le premier point t 1 où la solution sortde l’entonnoir. Comparer u ′ (t 1 ) à α ′ (t 1 ) ou β ′ (t 1 ).2. Utiliser le théorème d’explosion en temps fini.3. Montrer que α(t) = − √ t et β(t) = − √ t − 1 sont des barrières pour l’équation.http://www.bibmath.net 2