Exercices - Groupes : indications Groupes Sous-groupes ... - Bibmath

Exercices - Groupes : indicationsGroupesExercice 1 - Quelques exemples de groupe - L1/Math Sup - ⋆⋆Exercice 2 - Tout élément est régulier - L1/Math Sup - ⋆⋆1. Une application injective entre espaces finis est aussi surjective.2. Calculer a ⋆ e ⋆ x.3. Calculer x ⋆ e ⋆ a.4. Une application injective entre espaces finis est aussi surjective.5.Exercice 3 - Minimisation des axiomes d’un groupe - L1/Math Sup - ⋆⋆⋆Montrer d’abord que xx ′ = x ′ x = e en considérant un inverse à droite de x ′ x.Sous-groupesExercice 4 - Quelques sous-groupes usuels - L1/Math Sup - ⋆Appliquer le théorème de caractérisation des sous-groupes.Exercice 5 - Produit de deux groupes - L1/L2/Math Sup/Math Spé - ⋆⋆Pour montrer que AB sous-groupe entraîne AB = BA, on pourra utiliser la stabilité parx −1 .Morphismes de groupesExercice 6 - Morphismes de Z surjectifs - L1/Math Sup - ⋆⋆Commencer par prouver que si f est un morphisme de (Z, +), alors f(n) = nf(1) pour toutn ∈ Z.Sous-groupes normauxExercice 7 - Commutateurs et groupe dérivé - L3 - ⋆⋆1.2. Écrire z(xyx −1 y −1 )z −1 comme un commutateur.3.4.Théorèmes de Sylowhttp://www.bibmath.net 1

Exercices - Groupes : indicationsExercice 8 - Groupe d’ordre 200 - L3/M1 - ⋆Etudier les 5-Sylow de G.Exercice 9 - Groupe symétrique - L3/M1 - ⋆Exercice 10 - Groupe d’ordre 15 - L3/M1 - ⋆⋆Démontrer que G admet un élément d’ordre 3 et un élément d’ordre 5.http://www.bibmath.net 2