Enoncé et corrigé du DS1 en PDF - LIFL

Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Groupe : . . . . . . .SIME Contrôle DS1 29 mars 2013• L'utilisation de documents n'est pas autorisée.• L'utilisation de machines à calculer n'est pas autorisée.• Les étudiants doivent utiliser les feuilles de l'énoncé pour répondre.Question de coursQu'est-ce qu'un nombre rationnel ? Donnez une caractérisation des nombres rationnelsdépendant de leur développement décimal . Donnez un exemple de nombre irrationnel.Un nombre rationnel est un nombre qui s'écrit comme quotient de deux nombresentiers.Un nombre réel r est rationnel si et seulement si son développement décimal estpériodique à partir d'un certain rang.La racine carrée de 2 (ou de n non carré parfait) est un irrationnel.Exercice 1 (Conjecture de Syracuse)Soit n est un entier > 2. On considère le point de départ x 0= 4 n + 1Calculez x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6.x 0est impair donc =x 1= 3(4 n + 1)+1 = 3.4 n + 4 pairx 2= 3.2.4 n-1 + 2x 3= 3.4 n-1 + 1pairimpairx 4= 3(3.4 n-1 + 1) + 1 = 3 2 .4 n-1 + 4 pairx 5= 3 2 .2.4 n-2 + 2x 6= 3 2 .4 n-2 + 1pairimpairProposez une formule générale pour x 3k(k = 1, 2, ..., n).x 3k= 3 k .4 n-k + 1Proposez une valeur de n telle que x 3n/ x 0< 1/1000. Justifiez votre proposition.x 3n/ x 0= (3 n + 1 )/(4 n + 1) < 3 n+1 /4 n = 3.(3/4) n = 3.(27/64) n/3 < 3.(1/2) n/3Si on prend n = 36, cela convient car 3.(1/2) 36/3 = 3.(1/2) 12 = 3/4096 < 1/1000Un calcul avec une machine montre que n = 24 ne convient pas, mais que tout n ≥ 25convient.1

Exercice 2Question 1 Vous entrez dans un casino qui propose le jeu de la roulette. Vous possédezA euros, et vous voulez sortir avec 3A euros ou rien. Expliquez quelle est la meilleurefaçon de jouer ? On supposera qu'on joue uniquement sur NOIR. On admettra qu'enjouant une fois NOIR, la probabilité de gagner est p avec 0 < p ≤ 1/2.Quelle est la probabilité r de réussir ? Vérifiez le calcul en prenant p = 1/2.Il faut appliquer la méthode du jeu hardi.Ici on mise A, puis (si on a gagné) on mise encore A.Si on a perdu, on repart de A, sinon on a gagné.La probabilité de réussir, r, vérifie donc : r = p 2 + p(1 - p)r , ce qui donne :r = p 2 /(1- p(1 - p))Pour p = 1/2 on obtient r= (1/4)/(1 - 1/4)) = 1/3Question 2 Même énoncé, mais cette fois on se fixe l'objectif de sortir avec 7A. Quelle estla probabilité, r, de réussir ? Vérifiez le calcul en prenant p = 1/2.Ici, on mise A, puis (si on a gagné) on mise 2A, puis, si on a gagné, on mise 3A.Si on a perdu la troisième fois, on est revenu au point de départ, sinon on a réussi.La probabilité de réussir, r, vérifie donc :r = p 3 + p 2 (1 - p)rce qui donne :r = p 3 /(1- p 2 (1 - p))Pour p = 1/2 on obtient r= (1/8)/(1 - 1/8)) = 1/7Question 3 Même énoncé, mais cette fois on entre avec A et on se fixe l'objectif de sortiravec (2 n -1)A où n est un entier strictement positif ? Quelle est la probabilité, r, de réussir ?Vérifiez le calcul en prenant p = 1/2.Ici on mise A, puis (si on a gagné) on mise 2A, puis, si on a gagné, on mise 4A, ...,jusqu'au moment on a 2 n-1 A. On joue alors tout sauf A (on joue 2 n-1 A - A) car c'est cequi manque.Si on a perdu cette n-ième fois, on est revenu au point de départ, sinon on a réussi.La probabilité de réussir r vérifie doncr = p n + p n-1 (1 - p)rce qui donner = p n /(1- p n-1 (1 - p))Pour p = 1/2 on obtient r= (1/2 n )/(1 - 1/2 n )) = 1/(2 n - 1) ce qui est ce qu'on attend.2

Question 4 Même énoncé, mais cette fois on entre avec 2 n-1 A, et on veut sortir avec lasomme de (2 n -1)A. Quelle est la probabilité, r, de réussir ? Vérifiez le calcul en prenantp = 1/2.On joue tout sauf A (on joue 2 n-1 A - A) car c'est ce qui manque. Si on a perdu, on estrevenu au point correspondant à la question précédente (on connaît le résultat), sinonon a réussi.La probabilité de réussir est donc r = p + (1-p)p n /(1- p n-1 (1 - p))Pour p=1/2 on a :r =1/2+ 1/2 n+1 /(1-1/2 n ) = (1-1/2 n )/2(1-1/2 n ) + 1/2 n /2(1-1/2 n )= 1 /2(1-1/2 n ) = 2 n /2(2 n -1 ) = 2 n-1 / (2 n -1 )ce qui est le résultat attendu.Exercice 3Question 1 Quel nombre réel admet [3, 3, 3, 3, 3, ...] pour développement en fractioncontinue ?Le nombre x vérifie l'équation suivante :x = 3 + 1/x ou encore x 2 = 3x + 1 ou encore x 2 - 3x - 1 = 0delta = 9+4 = 13x = (3 + sqrt(13))/2(l'autre solution est négative et doit donc être écartée)Question 2 Soit x le nombre réel dont le développement en fraction continue est[a 0, a 1, a 2, a 3, ..., a n,, ...] où chaque a iest un entier non nul. Montrez que :(a 0a 1+ a 0+1)/(a 1+1) < x < (a 0a 1+1)/a 1x = [a 0, a 1, a 2, a 3, ..., a n,, ...] = a 0+ 1/( a 1+1/[ a 2, a 3, ..., a n,, ...])Le nombre [a 2, a 3, ..., a n,, ...] est plus grand que 1 (car a 2est en entier non nul).Donc :0 < 1/[a 2, a 3, ..., a n,, ...] < 1On en déduit :Ce qui est équivalent à :a 0+ 1/( a 1+1 ) < x < a 0+ 1/ a 1(a 0a 1+ a 0+1)/(a 1+1) < x < (a 0a 1+1)/a 13