Le calcul de Pi par Bellard - LIFL

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mathématiques
REGARDS
LOGIQUE & CALCUL
De nouvelles décimales de
Le Français Fabrice Bellard a réussi un extraordinaire exploit.
Il a battu les supercalculateurs japonais avec un simple micro-ordinateur
et... beaucoup d’ingéniosité.
Jean-Paul DELAHAYE
Le nombre est bien vivant.
Les travaux théoriques ou pratiques
portant sur ce nombre
sont un voyage vers l’infini
plein de surprises et d’émerveillements.
Voici la chronique des dernières
péripéties de l’aventure numérique et mathématique
de l’exploration de .
Le train-train
du calcul
En 2002, Yasumasa Kanada, du Centre
des technologies de l’information de l’Université
de Tokyo, au Japon, réussissait le
calcul de 1 241 100 000 000 chiffres décimaux
de . Un roman de taille moyenne
comportant environ un million de caractères,
l’impression des 1 241 milliards de
décimales calculées par Y. Kanada occuperait
l’équivalent d’un million d’ouvrages !
Aussi, personne ne s’est amusé à lire toutes
les décimales. En un sens, ces chiffres ne
sont connus que de nos machines !
Y. Kanada n’a, hélas, pas détaillé les
méthodes qu’il a utilisées. Il a juste indiqué
que les algorithmes mis en œuvre pour
son calcul et sa vérification s’appuyaient
sur des formules à base de la fonction arctg
(ou tan –1 ). C’est étonnant, car d’autres formules
plus efficaces sont connues depuis
longtemps et étaient utilisées pour les
calculs records précédents... y compris
les siens. Peut-être Y. Kanada a-t-il donné
une indication fausse pour brouiller les
pistes... Le record a tenu sept ans, jusqu’en
août 2009, date à laquelle un autre
Japonais, Daisuke Takahashi de l’Université
de Tsukuba, a calculé 2576980370000 décimales
de , soit environ le double du record
précédent avec, cette fois, des formules
reconnues pour leur efficacité. Les algorithmes
à partir de 1970 sont « presque
linéaires » : pour connaître deux fois plus
de décimales, il faut calculer environ deux
fois plus longtemps.
Les progrès entre 2002 et 2009 sont
surprenants... car on pouvait s’attendre à
mieux. En effet, la « loi de Gordon Moore »
indique que les capacités disponibles
(de calcul, de stockage de données, et plus
généralement de traitement informatique)
pour un coût fixé doublent tous les 18 mois
environ du fait des progrès technologiques.
Entre 2002 et 2009, la loi de Moore a été
globalement vérifiée par les technologies
informatiques. Ainsi, à condition de se donner
des moyens financiers équivalents à
ceux que Y. Kanada a mobilisés en 2002,
on aurait dû, en 2009, calculer environ
20 fois plus de décimales. Pourquoi un
tel décalage
La clef est la durée des opérations : le
calcul de Y. Kanada avait pris environ
600 heures, alors que celui de D. Takahashi
n’a exigé qu’un peu plus de 60 heures.
Le facteur 10 qui manquait en 2009 ne résulterait
que d’une durée de calcul plus courte.
En 2009, on s’est contenté d’environ dix fois
moins de temps, donc d’une dépense dix
fois inférieure environ, ce qui a suffi pour
atteindre un nouveau record.
Ainsi, rien de très nouveau ni de très
intéressant ne s’est produit entre 2002 et
août 2009.
Coup de tonnerre
En revanche, en décembre 2009, un événement
inattendu s’est produit. Un informaticien
français, Fabrice Bellard, utilisant
un micro-ordinateur banal, s’est emparé du
record des universités japonaises. Le 31 décembre
2009, il publiait qu’il avait obtenu
2 699 999 990 000 décimales de .
Le progrès en nombre de décimales
n’est pas spectaculaire, comparé au record
précédent. En revanche, les méthodes mises
en œuvre par F. Bellard sont remarquables
et ce sont elles qui justifient qu’on qualifie
d’exploit son calcul. La quantité de calculs
opérés par F. Bellard est environ 20 fois inférieure
à celle utilisée par D. Takahashi. De
plus, puisque l’utilisation d’un superordinateur
n’a pas été nécessaire, le nouveau
record a coûté environ 1 000 fois moins. Le
progrès est donc cette fois bien supérieur
à ce que la loi de Moore laissait attendre.
Comment cela a-t-il été possible
La manipulation de très grands nombres,
inévitables pour calculer autant de
décimales de , semblait imposer le recours
à des superordinateurs disposant d’une
1. LE NOMBRE représenté par Francesco De
Comité. Chaque chiffre a sa couleur. Avec encore
plus de décimales, comme est très probablement
« normal », on ne verrait de loin que du gris !
Francesco De Comité
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Francesco De Comité
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colossale mémoire interne rapide et que
seuls possèdent des centres scientifiques
spécialisés (météorologiques, militaires,
universitaires, etc.).
L’exploit réalisé par F. Bellard ne doit rien
au hasard, et si David, avec son microordinateur,
a pu battre Goliath et son superordinateur,
c’est bien, comme nous allons
le voir, grâce à son ingéniosité. F. Bellard a
38 ans et il avait déjà fait parler de lui en
calculant des chiffres binaires de en position
1 000 milliards, ce qui lui avait valu
un article sur quatre colonnes dans le quotidien
Le Monde du 23 octobre 1997.
Le Québécois Simon Plouffe avait
découvert peu avant une formule permettant
le calcul individuel (sans avoir à
calculer tous les chiffres précédents) des
chiffres binaires de . En 1997, F. Bellard
n’utilisa pas cette formule, mais une autre,
sensiblement plus rapide, qu’il avait mise
au point. Cette formule a été réutilisée pour
les records suivants de calcul de chiffres
binaires individuels et a joué un rôle dans
la phase de contrôle de l’exploit avec un
micro-ordinateur lors du calcul record de
décembre 2009.
Les secrets de l’exploit
F. Bellard précise que les décimales de
ne l’intéressent pas particulièrement ; ce
sont les algorithmes nécessaires pour
mener des calculs en grande précision
(c’est-à-dire avec des milliers de milliards
de chiffres... en attendant mieux) et tout
ce qu’il faut faire pour bien les utiliser qui
le conduisent à relever ce défi. F. Bellard
est aussi connu, entre autres choses, pour
son émulateur QEMU, un programme qui
simule certaines architectures matérielles
sur d’autres, autorisant par exemple l’exécution
de programmes prévus pour Windows
sur Mac ou sous UNIX.
Indiquons maintenant les éléments principaux
qui ont permis l’exploit (voir http://bellard.org/pi/pi2700e9/pipcrecord.pdf
pour
des précisions).
Tout d’abord, la formule (choisie après
une série de tests comparatifs) est une formule
rapide. C’est une extraordinaire série
découverte en 1988 par David et Gregory
Chudnowski, deux frères mathématiciens
ukrainiens aujourd’hui installés aux États-
Unis. Chaque nouveau terme pris en compte
permet d’obtenir 14 décimales exactes supplémentaires.
La voici :
Cette formule utilisée naïvement en calculant
les termes successivement ne conduit
pas à un algorithme rapide. Depuis 1976, on
sait calculer efficacement ce type de séries
par la méthode aujourd’hui dénomméebinary
splitting, ou scindage binaire. La méthode
2. Les formules de calcul de 3. Les crop circles de
Formules utilisées par Y. Kanada pour le record de 2002
π = 48 tan -1 (1/49) + 128 tan -1 (1/57) – 20 tan -1 (1/239) + 48 tan -1 (1/11043)
π =176 tan -1 (1/57) + 28 tan -1 (1/239) – 48 tan -1 (1/682) + 96 tan -1 (1/12943)
Formules utilisées par D. Takahashi pour le record d’août 2009
Le premier calcul utilise la formule de Gauss-Legendre-Salamin-Brent qui
définit plusieurs suites par récurrence:
a 0
= 1 b 0
= 1/2 s 0
= 1/2 a k
= a k–1 + b k–1
2
2 2
c k
= a k
– b k
s k
= s k–1
– 2 k c k
p k
=
2
2a k
s k
b k
= a k–1
b k–1
la suite p k
convergeant vers . Le second calcul utilise la formule
quartique des frères Borwein, avec 1/a k
convergeant vers :
,
4 1/4
1 – (1 –y
a 0
= 6 – 42 y 0
= 2 – 1 y k+1
=
k
)
1 + (1 –y k
)
4
2
a k+1
= a k
(1 – y k+1
) – 2 2k+3 y k+1
(1 + y k + 1
+ y k + 1
)
Formules utilisées par F. Bellard pour le record de décembre 2009
Pour le calcul général, il utilise une série des frères Chudnowski :
1 = 12
8
π Σk = 0
Pour la vérification des derniers chiffres, il utilise sa formule de 1997 :
4 1/4
(–1) k (6k)! (13591409+545140134k)
(3k)! (k!) 3 3k + 3/2
640320
(–1) 1
π = 4 Σ k
(–1)
–
64
k = 0 4 k (2k + 1)
Σ
k 32 8 1
( + +
k = 0
1024 k 4k + 1
)
4k + 2 4k + 3
8
8
Les crop circles, ou cercles de culture, sont des motifs dessinés dans
des champs de céréales dont certains épis sont couchés. C’est
ainsi qu’en juin 2008 a été découvert, dans le Sud de l’Angleterre, un
crop circle d’une cinquantaine de mètres de diamètre qui code une
dizaine de décimales de .
En partant du centre, le motif dessine une spirale composée d’arcs
de cercles. En comptant en dixièmes d’un cercle complet, les longueurs
des arcs de cercles qui composent la spirale donnent 3,14159...
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consiste à trouver des relations entre une
somme a 1
+ a 2
+ ... + a n
+ a n +1
+ ... + a 2n
et les deux sous-sommes a 1
+ a 2
+ ... + a n
et a n +1
+ ... + a 2n
. Ces relations, exploitées
systématiquement en redécoupant en deux
les morceaux, limitent la complexité totale
du calcul et rendent alors compétitives des
séries comme celle des Chudnowski. Ce
découpage en deux récursif, classique en
algorithmique, est au cœur des meilleurs
algorithmes de tri ou d’évaluation de x n
quand n est grand. Il se peut que Y. Kanada
ait lui aussi exploité la méthode du scindage
binaire pour son record de 2002.
Une seconde idée, peu utilisée jusquelà
pour , a été associée au procédé de
découpage. Puisqu’on manipule des fractions
dont les tailles deviennent de plus en
plus grandes, les simplifier en cherchant le
PGCD (plus grand commun diviseur) du numérateur
et du dénominateur évite une augmentation
trop forte de la taille des entiers
manipulés. Pendant le calcul, comme pour
celui du PGCD, il se révèle intéressant de représenter
certains entiers comme des produits
de facteurs premiers. Il faut alors décomposer
les entiers à chaque étape. Il n’était pas
évident que cette décomposition au « coût »
important soit efficace ; c’est cependant ce
que des tests ont montré.
Les divisions nécessaires, en particulier
quand on simplifie les fractions,
ont été effectuées avec un algorithme fondé
sur la méthode inventée par Isaac Newton
en 1669 et présentée dans son ouvrage
De analysi per aequationes numero terminorum
infinitas. Cette méthode ramène
le calcul d’une division à un petit nombre
de multiplications qu’on sait traiter de
manière efficace (bien plus que la méthode
indienne qu’on apprend à l’école primaire).
Pour les multiplications, là encore F. Bellard,
très bien informé de tous les progrès
récents dans le domaine, a soigneusement
choisi et organisé leurs calculs. Selon la
taille des entiers concernés, une technique
ou une autre est appliquée, dont celle à
base de transformées de Fourier rapides
que F. Bellard a reprogrammée et optimisée
spécifiquement.
Si, pour mener tous les calculs exploitant
la série des frères Chudnowski, F. Bellard travaille
en base 2, il veut le résultat en base 10.
La conversion finale, contrairement à ce que
l’on penserait, n’est guère plus facile que le
calcul de lui-même. F. Bellard l’a menée
avec un algorithme ajusté et perfectionné.
Dans un calcul à l’extrême limite de ce
qui est possible, chaque point est important.
En particulier, il faut être attentif pour
utiliser au mieux la mémoire disponible,
ne jamais perdre d’espace, ne pas avoir à
manipuler des données trop grandes et
ne pas avoir à écrire trop sur les disques
utilisés pour stocker le gros des informations
durant les opérations. Notons que
l’espace de travail sur disque nécessaire
n’a été que de 6,42 fois la taille du résultat
final (1,12 téraoctet) et que la mémoire
rapide interne de l’ordinateur était de
6 gigaoctets, soit 70 fois moins que la taille
du résultat.
Contrôler chaque
erreur possible
Quand on manipule des nombres de plusieurs
milliards de chiffres, le risque d’erreurs
de copie ou de calcul faux à un moment
du déroulement de l’algorithme devient
important, car les matériels informatiques
ne sont jamais parfaits (et il subsiste des
erreurs possibles dues aux arrondis que certaines
des méthodes choisies par F. Bellard
engendrent). Divers systèmes de contrôle
et de recalcul ont donc été mis en place pour
valider chaque étape du processus.
Pour contrôler le résultat final de
manière globale, un second calcul, utilisant
une autre formule de série (cette fois due
au mathématicien indien Srinivasa Ramanujan,
1887-1920) qui donne huit chiffres
de plus pour chaque terme, avait été entrepris
par F. Bellard. Malheureusement, une
défaillance technique grave d’un disque l’a
rendu inutilisable. C’est pourquoi F. Bellard
a utilisé à la place le calcul d’un paquet
de chiffres binaires placés à l’extrémité des
chiffres calculés en base 2. La concordance
de ces chiffres avec ceux du calcul massif
par la formule des Chudnowski ne garantit
pas de manière absolue le résultat de
F. Bellard, mais rend très improbable la présence
d’une erreur : si les derniers chiffres
4. Statistiques sur
A. Sur les 2 699 999 990 000 chiffres
calculés, l’équilibre entre 0, 1, 2, ... et 9
est presque parfait.
i Nombre de i Pourcentage
0 269999112082 9,9999671
1 269999947599 9,9999981
2 270000971073 10,0000360
3 269999844559 9,9999942
4 270000455307 10,0000169
5 269999596957 9,9999851
6 269999464860 9,9999802
7 269999767215 9,9999914
8 270001112056 10,0000412
9 269999718292 9,9999896
B. La plus longue répétition de 0 en
comporte 12 et se termine en position
1 755 524 129 973. Dans les décimales
connues, seul le 8 présente une
répétition de longueur 13 qui se termine
en position 2 164 164 669 332.
i Longueur Emplacement
0 12 1755524129973
1 12 1041032609981
2 12 1479132847647
3 12 1379574176590
4 12 1379889220413
5 12 1618922020656
6 12 1221587715177
7 12 368299898266
8 13 2164164669332
9 12 897831316556
C. Dans les décimales de , le 0, le
plus long à se montrer, n’apparaît qu’en
position 32 après la virgule. Pour les
séquences de deux chiffres, la
séquence 68, la plus longue à apparaître,
vient en position 606. Ce type de calculs
vérifie que est un nombre normal
(toutes les séquences de chiffres
apparaissent à la même fréquence), ce
qui n’a pas encore été démontré.
Séquence Emplacement
1 0 32
2 68 606
3 483 8555
4 6716 99849
5 33394 1369564
6 569540 14118312
7 1075656 166100506
8 36432643 1816743912
9 172484538 22445207406
10 5918289042 241641121048
11 56377726040 2512258603207
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R e g a r d s
Le jeu de la vie est un automate
cellulaire très simple
inventé par John Conway. Une
configuration étant dessinée
(des cases noires sur un quadrillage
du plan), elle se transforme
en une nouvelle configuration
en suivant la règle:
– une case blanche devient
noire si, parmi les huit cases
qui l’entourent, trois exactement
sont noires ;
– une case noire le reste si
elle est entourée de deux ou
trois cases noires ;
– dans tous les autres cas, la
case est blanche dans la nouvelle
configuration.
On a démontré que le jeu
de la vie pouvait calculer tout
ce qui est calculable ; c’est ce
que l’on nomme un mécanisme
de calcul universel. Il s’agit d’un
5.Le jeu de la vie calcule
résultat théorique. En pratique,
bien que cela soit particulièrement
difficile, on sait lui faire
calculer les nombres premiers
(voir la rubrique Logique et calcul
d’avril 2009).
En 2006, le mathématicien
Dean Hickerson a réussi à programmer
le calcul de avec le
jeu de la vie en exploitant la série:
= 4 (1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + ...).
Le principe du calcul est
le suivant. Quatre «navires» (1)
s’éloignent du centre de la configuration
en créant peu à
peu (2, 3) un motif géométrique
(4) dont l’allure générale
reste la même, en augmentant
de taille proportionnellement au
temps passé depuis l’instant
zéro. Ce motif (4) est composé
de quatre parties identiques, et
chaque quart du motif est obtenu
1 2
3 4
à partir d’une série de triangles
dont on montre que la partie
sombre est d’aire proportionnelle
à 1 – 2/3 + 2/5 – 2/7 +...
Comme les parties sombres
du motif correspondent
à une densité constante de
cases noires et que le reste de
la configuration devient négligeable
devant les parties
sombres, la configuration globale
contient un nombre de cellules
noires asymptotiquement
proportionnel à – 2. En
quelques minutes, on obtient
ainsi quatre décimales de .
La convergence de la série
utilisée étant assez lente, il est
difficile d’en avoir plus ; mais
en théorie, la configuration
donne des fractions qui approchent
aussi précisément
qu’on le souhaite.
sont bons, il n’y a pas d’erreur grossière ou
générale dans la méthode de calcul et sa
programmation. Cette vérification est moins
satisfaisante que celle qu’aurait fournie
l’aboutissement du calcul mené avec la
série de Ramanujan. Mais de toutes les
façons, même si le calcul massif avait été
réalisé deux fois, l’absence d’erreur n’aurait
pas été une assurance absolue de
justesse, car on peut toujours imaginer
un concours de circonstances conduisant
deux fois à la même erreur dans
deux calculs menés séparément par des
méthodes différentes. On peut diminuer la
probabilité d’une erreur, jamais l’éliminer
entièrement.
La comparaison du résultat massif avec
les chiffres connus par les calculs des précédents
records donne une preuve de validité
supplémentaire. Le record suivant, s’il
coïncide pour la partie commune avec celui
de F. Bellard, fournira une validation ultime !
Signalons encore que pour gagner du
temps et utiliser au mieux les capacités
de calcul de sa machine, F. Bellard a utilisé
des méthodes de vectorisation et de multithreading,
c’est-à-dire des méthodes permettant
de mener plusieurs calculs à la fois
avec un seul processeur à plusieurs cœurs.
Gérer les mémoires
La gestion de la mémoire de masse sur
les cinq disques durs branchés au microordinateur
a elle aussi été conçue pour tirer
le maximum de puissance de tout l’ensemble.
Lorsqu’on mène un calcul banal,
le système d’exploitation de votre ordinateur
gère lui-même la façon dont il écrit sur
les disques (internes ou externes), et s’il
ne le fait pas de manière optimale, cela ne
porte pas à conséquence. Pour le calcul
record, il n’était pas possible de laisser
les choses se dérouler sans en prendre le
contrôle complet, ce qu’a fait F. Bellard. On
le voit, les compétences techniques nécessaires
pour la programmation de l’ensemble
de la méthode sont particulièrement fines,
variées et étendues.
Au total, le succès est venu de la prise
en main de toute la chaîne du calcul et est
dû à la maîtrise :
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R e g a r d s
– de bonnes mathématiques (celles des
Chudnowski en particulier et celles de la formule
que F. Bellard a élaborée en 1997) ;
– d’une bonne algorithmique (celle
du scindage binaire, des bons choix pour
stocker les données numériques et les
manipuler) ;
– d’une bonne programmation, fondée
sur des optimisations très pointues et
des idées variées (multiplication rapide,
multithreading, contrôle fin des écritures
sur disques, etc.).
Le nombre de décimales de qu’on pourra
calculer dans un proche avenir semble
dépendre principalement des progrès de rapidité
d’écriture sur disque et des communications
internes entre éléments d’une
machine. Cependant, avec quelques dizaines
de milliers d’euros, en employant plusieurs
micro-ordinateurs et un plus grand nombre
de disques durs externes, F Bellard pourrait
dès maintenant doubler ou même décupler
le nombre de décimales de calculées.
La délicate
loi de Moore
Cela nous conduit à revenir sur la loi de
Moore (pour une somme donnée, il se
produit un doublement de capacité tous les
18 mois). Si cette loi est valide en moyenne
sur l’ensemble des technologies informatiques
durant une période de quelques
années, elle n’est en revanche pas valide
pour un problème technologique spécifique
sur une courte période. On obtient parfois
bien mieux parce qu’une nouvelle idée ou
une nouvelle technique se met en place, on
fait parfois moins bien parce qu’on rencontre
un obstacle ou qu’une technologie
arrive à bout de souffle.
La vitesse à laquelle évolue la définition
des écrans à cristaux liquides est moins
importante que ne l’indique la loi de Moore
générale, de même que les capacités de
stockage des disques optiques (CD et DVD),
ou (pour c’est important) la vitesse des
échanges entre processeurs dans un superordinateur.
En ce moment, les supports
optiques de stockage progressent lentement
et se font doubler par les disques durs
magnétiques qui ont connu des progrès
spectaculairement rapides, en particulier
grâce aux travaux de Michel Jullière et Albert
Fert (prix Nobel de physique 2007).
Calculer, c’est copier
Il semble assez étonnant que, grâce à la
découverte des « bonnes méthodes », l’essentiel
du problème se ramène à une question
d’entrée/sortie, autrement dit de copie
d’informations binaires.
Dans le monde vivant, l’« ingénierie
informatique du monde génétique » semble
surtout préoccupée de copie d’informations.
Sans cesse les cellules se dupliquent
(avec dédoublement de l’information présente
sur les chromosomes), sans cesse
les gènes sont transcrits, c’est-à-dire copiés
avec quelques modifications et altérations.
Dans le monde vivant, le calcul semble être
surtout de la copie, et dans le monde des
records de calcul des décimales de , c’est
presque pareil ! Est-ce un hasard
Toujours est-il que ce type de calculs
confirme que est un nombre dit normal
(chaque séquence est présente dans
et la fréquence limite d’une séquence de
longueur n est toujours 1/10 n ), ce qui, pour
l’instant, n’a pas été démontré.
Il se peut que l’Université de Tsukuba
reprenne le record, mais si c’est en utilisant
à nouveau un superordinateur et en
dépensant l’équivalent de centaines de milliers
d’euros, ce nouveau record sera de peu
d’intérêt. Qu’une Ferrari double une Citroën
deux-chevaux ne surprend personne ; seul
l’inverse présente un intérêt. ■
Complément sur l’article de mai 2010
Christian Boyer me signale que dans l’article
sur le découpage des pizzas (Pour la
Science, mai 2010), j’ai oublié de mentionner
une importante formule : le volume d’une
pizza de rayon z et d’épaisseur a est pi.z.z.a.
Il me signale aussi que son site sur les
carrés magiques (www.multimagie.com/
Francais/MagicSquaresEnigmasF.pdf) propose
de nombreux problèmes et offre des
prix à gagner (jusqu’à 7 000 euros et des
bouteilles de champagne).
L’AUTEUR
Jean-Paul DELAHAYE
est professeur à l’Université
de Lille et chercheur
au Laboratoire d’informatique
fondamentale de Lille (LIFL).
✔ BIBLIOGRAPHIE
Richard Brent et Paul
Zimmermann, Modern Computer
Arithmetic, novembre 2009 :
http://www.loria.fr/~zimmerma/
mca/pub226.html.
Fabrice Bellard, Pi computation
record,
http://bellard.org/pi/pi2700e9/
Jean-Paul Delahaye, Le fascinant
nombre , Belin/Pour la Science,
1997.
Boris Gourévitch, L’univers de ,
http://www.pi314.net/
Hervé Morin, Un jeune Français
plonge dans les profondeurs
de , Le Monde, 27 octobre 1997,
pages 1 et 25.
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