Le calcul de Pi par Bellard - LIFL

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pls_393_p080_085_delahaye.xp_mm_26_05 4/06/10 17:38 Page 83 R e g a r d s consiste à trouver des relations entre une somme a 1 + a 2 + ... + a n + a n +1 + ... + a 2n et les deux sous-sommes a 1 + a 2 + ... + a n et a n +1 + ... + a 2n . Ces relations, exploitées systématiquement en redécoupant en deux les morceaux, limitent la complexité totale du calcul et rendent alors compétitives des séries comme celle des Chudnowski. Ce découpage en deux récursif, classique en algorithmique, est au cœur des meilleurs algorithmes de tri ou d’évaluation de x n quand n est grand. Il se peut que Y. Kanada ait lui aussi exploité la méthode du scindage binaire pour son record de 2002. Une seconde idée, peu utilisée jusquelà pour , a été associée au procédé de découpage. Puisqu’on manipule des fractions dont les tailles deviennent de plus en plus grandes, les simplifier en cherchant le PGCD (plus grand commun diviseur) du numérateur et du dénominateur évite une augmentation trop forte de la taille des entiers manipulés. Pendant le calcul, comme pour celui du PGCD, il se révèle intéressant de représenter certains entiers comme des produits de facteurs premiers. Il faut alors décomposer les entiers à chaque étape. Il n’était pas évident que cette décomposition au « coût » important soit efficace ; c’est cependant ce que des tests ont montré. Les divisions nécessaires, en particulier quand on simplifie les fractions, ont été effectuées avec un algorithme fondé sur la méthode inventée par Isaac Newton en 1669 et présentée dans son ouvrage De analysi per aequationes numero terminorum infinitas. Cette méthode ramène le calcul d’une division à un petit nombre de multiplications qu’on sait traiter de manière efficace (bien plus que la méthode indienne qu’on apprend à l’école primaire). Pour les multiplications, là encore F. Bellard, très bien informé de tous les progrès récents dans le domaine, a soigneusement choisi et organisé leurs calculs. Selon la taille des entiers concernés, une technique ou une autre est appliquée, dont celle à base de transformées de Fourier rapides que F. Bellard a reprogrammée et optimisée spécifiquement. Si, pour mener tous les calculs exploitant la série des frères Chudnowski, F. Bellard travaille en base 2, il veut le résultat en base 10. La conversion finale, contrairement à ce que l’on penserait, n’est guère plus facile que le calcul de lui-même. F. Bellard l’a menée avec un algorithme ajusté et perfectionné. Dans un calcul à l’extrême limite de ce qui est possible, chaque point est important. En particulier, il faut être attentif pour utiliser au mieux la mémoire disponible, ne jamais perdre d’espace, ne pas avoir à manipuler des données trop grandes et ne pas avoir à écrire trop sur les disques utilisés pour stocker le gros des informations durant les opérations. Notons que l’espace de travail sur disque nécessaire n’a été que de 6,42 fois la taille du résultat final (1,12 téraoctet) et que la mémoire rapide interne de l’ordinateur était de 6 gigaoctets, soit 70 fois moins que la taille du résultat. Contrôler chaque erreur possible Quand on manipule des nombres de plusieurs milliards de chiffres, le risque d’erreurs de copie ou de calcul faux à un moment du déroulement de l’algorithme devient important, car les matériels informatiques ne sont jamais parfaits (et il subsiste des erreurs possibles dues aux arrondis que certaines des méthodes choisies par F. Bellard engendrent). Divers systèmes de contrôle et de recalcul ont donc été mis en place pour valider chaque étape du processus. Pour contrôler le résultat final de manière globale, un second calcul, utilisant une autre formule de série (cette fois due au mathématicien indien Srinivasa Ramanujan, 1887-1920) qui donne huit chiffres de plus pour chaque terme, avait été entrepris par F. Bellard. Malheureusement, une défaillance technique grave d’un disque l’a rendu inutilisable. C’est pourquoi F. Bellard a utilisé à la place le calcul d’un paquet de chiffres binaires placés à l’extrémité des chiffres calculés en base 2. La concordance de ces chiffres avec ceux du calcul massif par la formule des Chudnowski ne garantit pas de manière absolue le résultat de F. Bellard, mais rend très improbable la présence d’une erreur : si les derniers chiffres 4. Statistiques sur A. Sur les 2 699 999 990 000 chiffres calculés, l’équilibre entre 0, 1, 2, ... et 9 est presque parfait. i Nombre de i Pourcentage 0 269999112082 9,9999671 1 269999947599 9,9999981 2 270000971073 10,0000360 3 269999844559 9,9999942 4 270000455307 10,0000169 5 269999596957 9,9999851 6 269999464860 9,9999802 7 269999767215 9,9999914 8 270001112056 10,0000412 9 269999718292 9,9999896 B. La plus longue répétition de 0 en comporte 12 et se termine en position 1 755 524 129 973. Dans les décimales connues, seul le 8 présente une répétition de longueur 13 qui se termine en position 2 164 164 669 332. i Longueur Emplacement 0 12 1755524129973 1 12 1041032609981 2 12 1479132847647 3 12 1379574176590 4 12 1379889220413 5 12 1618922020656 6 12 1221587715177 7 12 368299898266 8 13 2164164669332 9 12 897831316556 C. Dans les décimales de , le 0, le plus long à se montrer, n’apparaît qu’en position 32 après la virgule. Pour les séquences de deux chiffres, la séquence 68, la plus longue à apparaître, vient en position 606. Ce type de calculs vérifie que est un nombre normal (toutes les séquences de chiffres apparaissent à la même fréquence), ce qui n’a pas encore été démontré. Séquence Emplacement 1 0 32 2 68 606 3 483 8555 4 6716 99849 5 33394 1369564 6 569540 14118312 7 1075656 166100506 8 36432643 1816743912 9 172484538 22445207406 10 5918289042 241641121048 11 56377726040 2512258603207 © Pour la Science - n° 393 - Juillet 2010 Logique & calcul [83
pls_393_p080_085_delahaye.xp_mm_26_05 4/06/10 17:38 Page 84 R e g a r d s Le jeu de la vie est un automate cellulaire très simple inventé par John Conway. Une configuration étant dessinée (des cases noires sur un quadrillage du plan), elle se transforme en une nouvelle configuration en suivant la règle: – une case blanche devient noire si, parmi les huit cases qui l’entourent, trois exactement sont noires ; – une case noire le reste si elle est entourée de deux ou trois cases noires ; – dans tous les autres cas, la case est blanche dans la nouvelle configuration. On a démontré que le jeu de la vie pouvait calculer tout ce qui est calculable ; c’est ce que l’on nomme un mécanisme de calcul universel. Il s’agit d’un 5.Le jeu de la vie calcule résultat théorique. En pratique, bien que cela soit particulièrement difficile, on sait lui faire calculer les nombres premiers (voir la rubrique Logique et calcul d’avril 2009). En 2006, le mathématicien Dean Hickerson a réussi à programmer le calcul de avec le jeu de la vie en exploitant la série: = 4 (1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + ...). Le principe du calcul est le suivant. Quatre «navires» (1) s’éloignent du centre de la configuration en créant peu à peu (2, 3) un motif géométrique (4) dont l’allure générale reste la même, en augmentant de taille proportionnellement au temps passé depuis l’instant zéro. Ce motif (4) est composé de quatre parties identiques, et chaque quart du motif est obtenu 1 2 3 4 à partir d’une série de triangles dont on montre que la partie sombre est d’aire proportionnelle à 1 – 2/3 + 2/5 – 2/7 +... Comme les parties sombres du motif correspondent à une densité constante de cases noires et que le reste de la configuration devient négligeable devant les parties sombres, la configuration globale contient un nombre de cellules noires asymptotiquement proportionnel à – 2. En quelques minutes, on obtient ainsi quatre décimales de . La convergence de la série utilisée étant assez lente, il est difficile d’en avoir plus ; mais en théorie, la configuration donne des fractions qui approchent aussi précisément qu’on le souhaite. sont bons, il n’y a pas d’erreur grossière ou générale dans la méthode de calcul et sa programmation. Cette vérification est moins satisfaisante que celle qu’aurait fournie l’aboutissement du calcul mené avec la série de Ramanujan. Mais de toutes les façons, même si le calcul massif avait été réalisé deux fois, l’absence d’erreur n’aurait pas été une assurance absolue de justesse, car on peut toujours imaginer un concours de circonstances conduisant deux fois à la même erreur dans deux calculs menés séparément par des méthodes différentes. On peut diminuer la probabilité d’une erreur, jamais l’éliminer entièrement. La comparaison du résultat massif avec les chiffres connus par les calculs des précédents records donne une preuve de validité supplémentaire. Le record suivant, s’il coïncide pour la partie commune avec celui de F. Bellard, fournira une validation ultime ! Signalons encore que pour gagner du temps et utiliser au mieux les capacités de calcul de sa machine, F. Bellard a utilisé des méthodes de vectorisation et de multithreading, c’est-à-dire des méthodes permettant de mener plusieurs calculs à la fois avec un seul processeur à plusieurs cœurs. Gérer les mémoires La gestion de la mémoire de masse sur les cinq disques durs branchés au microordinateur a elle aussi été conçue pour tirer le maximum de puissance de tout l’ensemble. Lorsqu’on mène un calcul banal, le système d’exploitation de votre ordinateur gère lui-même la façon dont il écrit sur les disques (internes ou externes), et s’il ne le fait pas de manière optimale, cela ne porte pas à conséquence. Pour le calcul record, il n’était pas possible de laisser les choses se dérouler sans en prendre le contrôle complet, ce qu’a fait F. Bellard. On le voit, les compétences techniques nécessaires pour la programmation de l’ensemble de la méthode sont particulièrement fines, variées et étendues. Au total, le succès est venu de la prise en main de toute la chaîne du calcul et est dû à la maîtrise : 84] Logique & calcul © Pour la Science - n° 393 - Juillet 2010
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