Le calcul de Pi par Bellard - LIFL

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pls_393_p080_085_delahaye.xp_mm_26_05 4/06/10 17:38 Page 81 R e g a r d s Francesco De Comité © Pour la Science - n° 393 - Juillet 2010 Logique & calcul [81
pls_393_p080_085_delahaye.xp_mm_26_05 4/06/10 17:38 Page 82 R e g a r d s colossale mémoire interne rapide et que seuls possèdent des centres scientifiques spécialisés (météorologiques, militaires, universitaires, etc.). L’exploit réalisé par F. Bellard ne doit rien au hasard, et si David, avec son microordinateur, a pu battre Goliath et son superordinateur, c’est bien, comme nous allons le voir, grâce à son ingéniosité. F. Bellard a 38 ans et il avait déjà fait parler de lui en calculant des chiffres binaires de en position 1 000 milliards, ce qui lui avait valu un article sur quatre colonnes dans le quotidien Le Monde du 23 octobre 1997. Le Québécois Simon Plouffe avait découvert peu avant une formule permettant le calcul individuel (sans avoir à calculer tous les chiffres précédents) des chiffres binaires de . En 1997, F. Bellard n’utilisa pas cette formule, mais une autre, sensiblement plus rapide, qu’il avait mise au point. Cette formule a été réutilisée pour les records suivants de calcul de chiffres binaires individuels et a joué un rôle dans la phase de contrôle de l’exploit avec un micro-ordinateur lors du calcul record de décembre 2009. Les secrets de l’exploit F. Bellard précise que les décimales de ne l’intéressent pas particulièrement ; ce sont les algorithmes nécessaires pour mener des calculs en grande précision (c’est-à-dire avec des milliers de milliards de chiffres... en attendant mieux) et tout ce qu’il faut faire pour bien les utiliser qui le conduisent à relever ce défi. F. Bellard est aussi connu, entre autres choses, pour son émulateur QEMU, un programme qui simule certaines architectures matérielles sur d’autres, autorisant par exemple l’exécution de programmes prévus pour Windows sur Mac ou sous UNIX. Indiquons maintenant les éléments principaux qui ont permis l’exploit (voir http://bellard.org/pi/pi2700e9/pipcrecord.pdf pour des précisions). Tout d’abord, la formule (choisie après une série de tests comparatifs) est une formule rapide. C’est une extraordinaire série découverte en 1988 par David et Gregory Chudnowski, deux frères mathématiciens ukrainiens aujourd’hui installés aux États- Unis. Chaque nouveau terme pris en compte permet d’obtenir 14 décimales exactes supplémentaires. La voici : Cette formule utilisée naïvement en calculant les termes successivement ne conduit pas à un algorithme rapide. Depuis 1976, on sait calculer efficacement ce type de séries par la méthode aujourd’hui dénomméebinary splitting, ou scindage binaire. La méthode 2. Les formules de calcul de 3. Les crop circles de Formules utilisées par Y. Kanada pour le record de 2002 π = 48 tan -1 (1/49) + 128 tan -1 (1/57) – 20 tan -1 (1/239) + 48 tan -1 (1/11043) π =176 tan -1 (1/57) + 28 tan -1 (1/239) – 48 tan -1 (1/682) + 96 tan -1 (1/12943) Formules utilisées par D. Takahashi pour le record d’août 2009 Le premier calcul utilise la formule de Gauss-Legendre-Salamin-Brent qui définit plusieurs suites par récurrence: a 0 = 1 b 0 = 1/2 s 0 = 1/2 a k = a k–1 + b k–1 2 2 2 c k = a k – b k s k = s k–1 – 2 k c k p k = 2 2a k s k b k = a k–1 b k–1 la suite p k convergeant vers . Le second calcul utilise la formule quartique des frères Borwein, avec 1/a k convergeant vers : , 4 1/4 1 – (1 –y a 0 = 6 – 42 y 0 = 2 – 1 y k+1 = k ) 1 + (1 –y k ) 4 2 a k+1 = a k (1 – y k+1 ) – 2 2k+3 y k+1 (1 + y k + 1 + y k + 1 ) Formules utilisées par F. Bellard pour le record de décembre 2009 Pour le calcul général, il utilise une série des frères Chudnowski : 1 = 12 8 π Σk = 0 Pour la vérification des derniers chiffres, il utilise sa formule de 1997 : 4 1/4 (–1) k (6k)! (13591409+545140134k) (3k)! (k!) 3 3k + 3/2 640320 (–1) 1 π = 4 Σ k (–1) – 64 k = 0 4 k (2k + 1) Σ k 32 8 1 ( + + k = 0 1024 k 4k + 1 ) 4k + 2 4k + 3 8 8 Les crop circles, ou cercles de culture, sont des motifs dessinés dans des champs de céréales dont certains épis sont couchés. C’est ainsi qu’en juin 2008 a été découvert, dans le Sud de l’Angleterre, un crop circle d’une cinquantaine de mètres de diamètre qui code une dizaine de décimales de . En partant du centre, le motif dessine une spirale composée d’arcs de cercles. En comptant en dixièmes d’un cercle complet, les longueurs des arcs de cercles qui composent la spirale donnent 3,14159... 82] Logique & calcul © Pour la Science - n° 393 - Juillet 2010
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