Calcul du groupe fondamental de certains groupes topologiques ...

Calcul du groupe fondamental de certains groupestopologiques classiquesTable des matières1 Le groupe fondamental 21.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Premières propriétés du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Espaces fibrés et revêtements 33 Les groupes linéaires 43.1 Construction des fibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Calculs directs de certains Π 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.3 Groupes fondamentaux des groupes unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.4 Groupes fondamentaux des groupes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.5 Décomposition polaire et groupes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Annexe 1 : Revêtements 85 Annexe 2 : Algèbre de Clifford et groupe des spineurs 95.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.2 Le groupe des spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.3 Le corps des quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.4 Non simple connexité de SO n (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Les groupes fondamentaux sont des invariants importants en topologie algébrique, nous allonsdans cette étude en donner la définition, puis nous verrons quelques exemples de calcul de cesgroupes pour certains sous groupes du groupe linéaire GL n (K) où K = R ou C. Pour cela nousramènerons par des décompositions successives ce calcul à ceux de SO n (R) et SU n (C).1 Le groupe fondamental1.1 ConstructionDéfinition 1 Soit X un espace topologique et x 0 un point de X, on appelle lacet de X d’originex 0 toute application continue γ de [0,1] dans X vérifiant γ(0) = γ(1) = x 0Deux lacets γ 1 et γ 2 d’origine x 0 sont dits homotopes si et seulement si il existe une applicationcontinue Γ de [0,1] × [0,1] dans X telle que∀t ∈ [0,1],Γ(t,0) = γ 1 (t), Γ(t,1) = γ 2 (t), ∀x ∈ [0,1],Γ(0,x) = Γ(1,x) = x 0De fa¸con intuitive, on voit que dire que deux chemins sont homotopes si et seulement sion peut passer de l’un à l’autre par déformation continue, l’origine étant fixée. Il est facile devérifier que la relation d’homotopie est une relation d’équivalence sur l’ensemble des lacets de Xd’origine x 0 . Nous allons maintenant définir le produit de deux lacets de même origine.Définition 2 Soient γ 1 et { γ 2 deux lacets de X d’origine x 0 , on définit alors l’application α deγ1 (2x) si x ∈ [0,1/2][0,1] dans X par : α(x) =. Il est clair que α est un lacet de Xγ 2 (2x − 1) si x ∈]1/2,1]d’origine x 0 , on l’appelle produit de γ 1 et γ 2 et on le note γ 2 .γ 1 .Dans la suite on notera ∼ la relation d’homotopie, x 0 le lacet constant égal à x 0 et γ −1 lelacet défini par γ −1 (t) = γ(1 − t) si t ∈ [0,1]. On a alors le résultat suivant :Proposition 1 Soient γ 1 , γ 2 , γ 3 et γ 4 quatre lacets de X d’origine x 0 , alors :– si γ 1 ∼ γ 3 et γ 2 ∼ γ 4 , alors γ 2 .γ 1 ∼ γ 4 .γ 3– (γ 3 .γ 2 ).γ 1 ∼ γ 3 .(γ 2 .γ 1 )– γ 1 .x 0 ∼ x 0 .γ 1 ∼ γ 1– γ.γ −1 ∼ γ −1 .γ ∼ x 0Soit donc C l’ensemble des lacets de X d’origine x 0 , ce qui précède prouve que l’on peutmunir l’ensemble C/ ∼ d’une structure de groupe au moyen de la loi de composition interne :(C/ ∼) 2 −→ C/ ∼(γ,α) ↦−→ γ.αDéfinition 3 On appelle ce groupe, groupe fondamental de X en x 0 et on le note Π 1 (X,x 0 ).Il est clair que Π 1 (X,x 0 ) est identique au groupe fondamental de la composante connexe pararcs de x 0 dans X en x 0 et que si x et y sont dans la même composante connexe par arcs deX, Π 1 (X,x) et Π 1 (X,y) sont isomorphes. C’est pourquoi, lorsque X est connexe par arcs, on neprécise pas toujours l’origine et on parle alors du groupe fondamental de X : Π 1 (X).1.2 Premières propriétés du groupe fondamentalSoient X et Y des espaces topologiques et x 0 ∈ X, f une application continue de X dans Y .Il est clair que la relation d’homotopie est compatible avec l’application f, c’est à dire que si γ 1et γ 2 sont deux lacets de X d’origine x 0 , f ◦ γ 1 et f ◦ γ 2 sont deux lacets de Y d’origine f(x 0 )2

et que γ 1 ∼ γ 2 ⇒ f ◦ γ 1 ∼ f ◦ γ 2 . On peut ainsi construire une application Π(f) de Π(X,x 0 )dans Π(Y,f(x 0 )) définie par Π(f)(γ) = f ◦ γ et on vérifie facilement que cette application est unmorphisme de groupes.Enfin si Z est un espace topologique et g une application continue de Y dans Z, il est facile devérifier que Π(g ◦ f) = Π(g) ◦ Π(f).Ces quelques propriétés nous montrent que l’on peut parfois transformer un problème topologiqueen un problème algébrique portant sur des groupes fondamentaux. Par exemple on a lerésultat d’invariance toplogique du groupe fondamental :Théorème 1 Soient X et Y deux espaces toplogiques homéomorphes et f un homéomorphismede X dans Y , alors si x 0 ∈ X, les groupes Π 1 (X,x 0 ) et Π 1 (Y,f(x 0 )) sont isomorphes.Concluons enfin cette première partie en illustrant ces définitions par une déterminationparticulièment simple de groupe fondamental :Proposition 2 Le groupe fondamental d’une partie étoilée d’un espace vectoriel normé estréduit à un singleton.Dans un tel cas, quand le groupe fondamental est trivial, on dit que l’espace est simplementconnexe.2 Espaces fibrés et revêtementsLa théorie des espaces fibrés et des revêtements joue un rôle important dans le calcul desgroupes fondamentaux, c’est pourquoi nous allons en donner ici un bref aperçu nous permettantde déterminer certains de ces groupes.Dans la suite, si A et B sont deux ensembles on notep 1 :A × B −→ A(a,b) ↦−→ ap 2 :A × B −→ B(a,b) ↦−→ bDéfinition 4 Soit B un espace topologique et (E,p) un couple formé d’un espace toplogique Eet d’une application continue p de E dans B. On dit que (E,p) est une fibration de base B si etseulement si pour tout b ∈ B il existe un voisinage ouvert U de b dans B, un espace topologiqueF et un homéomorphisme Φ de p −1 (U) dans U × F tels que p | p −1 (U)= p 1 ◦ Φ. F ne dépend pasde l’ouvert U (à homéomorphisme près) et s’appelle la fibre au dessus de b, dans la suite on lanotera F b . On dit que l’ouvert U trivialise (E,p), une fibration est triviale si elle est trivialiséepar B.Ainsi si b ∈ B, F b est homéomorphe à p −1 (b) et il existe un voisinage ouvert de b dans Btel que les fibres au dessus de tous les éléments de U soient homéomorphes entre elles, ainsi lesclasses d’équivalence pour la relation d’équivalence définie sur B par “F x est homéomorphe àF y ” sont ouvertes. Et donc, si B est connexe, il n’y a qu’une seule classe d’équivalence, c’est àdire que toutes les fibres sont homéomorphes. On parle dans ce cas de la fibre F de la fibration.En particulier on en déduit que p est surjective.Si la fibre est discrète, on ne parle plus d’espace fibré mais de revêtement, sinon le mêmevocabulaire reste employé. Dans l’annexe 1 sur les relèvements nous démontrons le résultatsuivant :Théorème 2 Si (E,p) est un revêtement connexe par arcs de B, si b ∈ B et x ∈ F b , alorsΠ 1 (B,b) agit transitivement sur F b et le stabilisateur de x est isomorphe à Π 1 (E,x). F b est doncen bijection avec Π 1 (B,b)/Π 1 (E,x).3

Le théorème qui suit nous permet de faire le lien entre fibration et groupe fondamental. SoitB un espace topologique et (E,p) une fibration de base B, x 0 un point de B, et F la fibre audessus de x 0 . F étant homéomorphe à p −1 (x 0 ), on peut les identifier et donc parler de l’injectioncanonique i de F dans E qui est donc continue. Cette application induit un morphisme Π(i)de Π 1 (F,y 0 ) dans Π 1 (E,y 0 ) où y 0 est un point de F . De même p induit un morphisme Π(p) deΠ 1 (E,y 0 ) dans Π 1 (B,x 0 ).Théorème 3 La suite (Π(i),Π(p)) est exacte, c’est à dire que ImΠ(i) = KerΠ(p).3 Les groupes linéaires3.1 Construction des fibrationsNous allons faire opérer les groupes SO n (R) et SU n (C) sur les sphères pour construire unefibration qui nous permettra de raisonner par récurrence au moyen du théorème de suite exacte.Dans la suite on notera S n−1 la sphère unité de l’espace R n , la sphère unité de l’espace C n estalors homéomorphe à S 2n−1 . On note e 1 le vecteur de coordonnées (1,0,...,0).Tout d’abord remarquons que les groupes SO n (R) et SU n (C) agissent sur S n−1 et S 2n−1 par lesactions :SO n (R) × S n−1 −→ S n−1 SU n (C) × S 2n−1 −→ S 2n−1(f,x) ↦−→ f(x) (f,x) ↦−→ f(x)En fait nous allons montrer que les applications de SO n (R) dans S n−1 et de SU n (C) dans S 2n−1p : f ↦−→ f(e 1 ) sont des fibrations de fibres respectives SO n−1 (R) et SU n−1 (C).Lemme 1 Soit y ∈ S n−1 , il existe un voisinage V de y dans S n−1 et une application continue sde V dans SO n (R) telle que p ◦ s = Id.Preuve : Il s’agit en fait d’associer à un élément x de V une base orthormée directe de R n dontle premier vecteur soit x. Soit (y,y 2 ,...,y n ) une base orthonormée de R n , l’application det étantcontinue il existe un voisinage V de y tel que si x ∈ V , la base (x,y 2 ,...,y n ) soit directe. On peutensuite transformer cette base en une base orthonormée directe s(x) au moyen de l’algorithmed’orthogonalisation de Schmidt. Or les formules intervenant dans ce procédé sont visiblementcontinues, et donc l’application s est continue et vérifie trivialement p ◦ s = Id.On en déduit le théorème qui va nous permettre de dégager une relation de récurrence entreles groupes fondamentaux de ces espaces.Théorème 4 Les applications p : SO n (R) −→ S n−1 et SU n (C) −→ S 2n−1 sont des fibrations defibres respectives SO n−1 (R) et SU n−1 (C), c’est à dire les sous groupes de SO n (R) et de SU n (C)laissant e 1 invariant.Preuve : On l’écrit pour SO n (R), la démonstration est la même pour le groupe unitaire. Soit Vun voisinage de y comme dans le lemme et φ l’application de V × SO(n − 1) dans p −1 (V ) définiepar φ(x,g) = s(x) ◦ g. Posons, si f ∈ p −1 (V ), ψ(f) = (p(f),((s ◦ p)(f)) −1 ◦ f). Il est clair queψ ◦ φ = Id V ×SO(n−1) et φ ◦ ψ = Id p −1. De plus, la continuité de p, s et la structure de groupetopologique de SO n (R) nous assurent que φ et ψ sont continues, ψ est donc un homéomorphismede p −1 (V ) sur V × SO(n − 1) commutant avec p, ce qu’il fallait démontrer.3.2 Calculs directs de certains Π 1Il paraît clair que nous allons avoir besoin de connaître les groupes fondamentaux des sphèresavant de continuer. Nous admettrons pour cela le résultat suivant :Proposition 3 Soient X 1 et X 2 deux espaces connexes par arcs, p 1 et p 2 les projections respec-4

tives dans X 1 ∪ X 2 . Si X 1 ∩ X 2 est non vide et connexe par arcs alors le groupe fondamental deX 1 ∪ X 2 est engendré par les groupes Π(p 1 )(Π 1 (X 1 )) et Π(p 2 )(Π 1 (X 2 )).Ceci nous permet de connaître à isomorphisme près les groupes fondamentaux des sphèresde dimension supérieure ou égale à 2. Prenons en effet pour X 1 la sphère S n privée d’un point,et pour X 2 la même sphère privée d’un autre point. Par projection stéréographique, on sait queces deux espaces sont homéomorphes à R n , donc simplement connexes. De plus leur intersectionest alors homéomorphe à R n privée d’un point qui est connexe par arcs (car on pris 2 ≤ n).Ainsi Π 1 (S n ) est engendré par le neutre, c’est donc un singleton et S n est simplement connexe.Cependant ceci ne nous donne pas le groupe fondamental du cercle S 1 .Théorème 5 Le groupe fondamental du cercle S 1 est isomorphe à Z.Preuve : On note e l’application de R dans S 1 définie par e(x) = e 2iπx . Soit U = (]1− 1,1+ 1[×]−2 21,1[)∩S 1 un voisinage de 1 (on plonge S 1 dans le plan complexe). Il est clair que U = e(]− 1, 1[).6 6La restriction s de e à ] − 1 , 1 [ est alors un homéomorphisme de cet intervalle sur U. Comme6 6e −1 (U) = ∑ n∈Z ]n − 1 ,n + 1 [, l’application Z×] − 1 , 1 [ −→ 6 6 e−1 (U)est un homéomorphisme,6 6 (n,x) ↦−→ n + xce qui prouve que l’on a un revêtement du cercle de fibre Z.Soient γ 1 et γ 2 deux éléments de Π 1 (S 1 ,1) représentés par γ 1 et γ 2 . Soit Γ 1 un relèvement de γ 1tel que Γ 1 (0) = 0 et Γ 2 un relèvement de γ 2 tel que Γ 2 (0) = Γ 1 (1) = γ 1 .0. Alors Γ 2 .Γ 1 est un[0,1] −→ Rrelèvement de γ 2 .γ 1 s’annulant en 0, donc Γ 2 (1) = γ 2 .γ 1 .0. Or l’applicationt ↦−→ Γ 2 (t) − γ 1 .0est un relèvement de γ 2 s’annulant en 0, donc γ 2 .0 = Γ 2 (1) − Γ 1 (1), d’où (γ 2 .γ 1 ).0 = γ 1 .0 + γ 2 .0.ΠL’application d : 1 (S 1 ,1) −→ Zest un morphisme de groupes. Il est injectif car siγ ↦−→ γ.0d(γ) = 0, alors Γ est un lacet de R. Or R est simplement connexe, donc Γ est homotope au lacetconstant, et donc γ aussi. d est donc injectif. De plus, il est clair, si n ∈ Z, que d(t ↦−→ e 2iπnt ) = n,donc d est surjective et c’est un isomorphisme.Pour amorcer la récurrence qui suivra nous aurons besoin du groupe fondamental de SO 3 (R)que nous obtiendrons en amettant l’existence d’un revêtement simplement connexe connu deSO 3 (R).Théorème 6 La sphère S 3 est un revêtement à deux feuillets du groupe SO 3 (R).La sphère S 3 étant simplement connexe, on en conclut que le groupe fondamental de SO 3 (R)est de cardinal 2, c’est donc Z/2Z.On peut montrer de la même façon que pour n ≥ 2, il existe un groupe topologique Spin nconstituant un revêtement à deux feuillets de SO n (R), on s’en servira par la suite.3.3 Groupes fondamentaux des groupes unitairesSU 1 (C) étant réduit à l’identité, il est simplement connexe. Supposons avoir démontré pourn (n ≥ 1) que SU n (C) est simplement connexe. Etant donné que SU n+1 (C) est un revêtementde S 2n+1 de fibre SU(n), on a une suite exacte : Π 1 (SU n (C)) −→ Π 1 (SU n+1 (C)) −→ Π 1 (S 2n+1 ),c’est à dire, vu ce que l’on conaît : {0} −→ SU n+1 (C) −→ {0}. SU n+1 (C) est donc forcément unsingleton, et SU n+1 (C) est simplement connexe.5

On a donc montré que si n ∈ N ∗ , SU n (C) est simplement connexe. Comme U n (C) esthoméomorphe à SU n (C) × S 1 , on a le théorème suivant :Théorème 7 Si n ∈ N ∗ , alors SU n+1 (C) est simplement connexe, et Π 1 (U n (C)) est isomorpheà Z.3.4 Groupes fondamentaux des groupes orthogonauxOn sait que SO 2 (R) est homéomorphe à S 1 donc son groupe fondamental est isomorphe àZ. On a vu aussi que Π 1 (SO 3 (R)) est isomorphe à Z/2Z. Supposons avoir démontré que pour n(n ≥ 3), le groupe fondamental de SO n (R) est isomorphe à Z/2Z. On a vu que SO n+1 (R) est unefibration au dessus de S n de fibre SO n (R), on a donc la suite exacte suivante : Π 1 (SO n (R)) −→Π 1 (SO n+1 (R)) −→ Π 1 (S n ), c’est à dire Z/2Z −→ Π 1 (SO n+1 (R)) −→ {0}. Ainsi Π 1 (SO n+1 (R))est soit isomorphe à Z/2Z, soit à {0}. Or on sait qu’il existe un groupe topologique connexeSpin n+1 (R), formant un revêtement à deux feuillets de SO n+1 (R), qui n’est donc pas simplementconnexe. Π 1 (SO n+1 (R)) est donc isomorphe à Z/2Z. Par récurrence, si n ≥ 3, Π 1 (SO n (R)) ∼ =Z/2Z.Comme O n (R) a deux composantes connexes homéomorphes à SO n (R), pour n ∈ N ∗ , on a lethéorème suivant :Théorème 8 Si n ∈ N ∗ , Π 1 (SO n (R),Id) et Π 1 (O n (R),Id) sont isomorphes. Plus précisément,ils sont isomorphes à {0} si n = 1, Z si n = 2 et Z/2Z pour n ≥ 3.3.5 Décomposition polaire et groupes linéairesNous admettons le résultat classique suivant :Lemme 2 Soit n ∈ N ∗ , alors– GL n (R) est homéomrphe à O n (R) × SDP n (R) où SDP n (R) est l’ensemble des matricessymétriques définies positives.– GL n (C) est homéomorphe à U n (C) × HDP n (C) où HDP n (C) est l’ensemble des matriceshermitiennes définies positives.HDP n (R) et SDP n (C) étant convexes, ils sont simplement connexes, et on peut donc en déduirele théorème :Théorème 9 Si n ∈ N ∗ , alors– le groupe fondamental de GL n (C) est isomorphe à Z.– GL n (R) a deux composantes connexes homéomorphes dont le groupe fondamental est isomorpheà {0} pour n = 1, Z pour n = 2 et Z/2Z pour n ≥ 3.CONCLUSIONLes invariants topologiques que sont les groupes fondamentaux permettent de voir, au delàde la connexité, les différences profondes entre espaces topologiques. Ils permettent par exemplede différencier topologiquement une droite d’un cercle, un plan épointé d’un plan... La méthodeque l’on a employée pour déterminer les groupes fondamentaux de SO n (R), SU n (C) est dedécomposer localement ces espaces en produit d’espaces dont on connaît les groupes fondamentaux,ici les sphères et les groupes “d’ordre” inférieur. Ensuite la décomposition polaire, qui estcette fois-ci globale, nous donne les groupes fondamentaux de GL n (R), GL n (C).6

Références[1] C. Godbillon : Eléments de topologie algébrique[2] R. Mneimné F. Testard : Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques[3] A. Gramain : Topologie des surfaces[4] C. Chevalley : The algebraic theory of spinors and Clifford algebras[5] S. Lang : Algebra[6] R. et A. Douady : Algèbre et théories galoisiennes7

4 Annexe 1 : RevêtementsLe théorème fondamental, également valable dans le cadre des fibrations, est celui-ci :Théorème 10 Soient B un espace topologique et (E,p) une fibration de base B, alors touteapplication continue de [0,1] dans B est relevable avec condition initiale en 0 et toute applicationcontinue de [0,1] × [0,1] dans B est relevable avec condition initiale continue sur trois côtés ducarré.La preuve de ce théorème nécessite les deux lemmes qui vont suivre.Lemme 3 Soit X un espace métrique compact et (O i ) i∈I un recouvrement de X par des ouverts,il existe ɛ > 0 tel que pour toute partie F de X de diamètre inférieur à ɛ, il existe i ∈ I tel queF ⊂ O i .Définition 5 Soit X un espace topologique, une partie A de X est un rétracte de X si etseulement si il existe une application continue r de X dans A telle que r ◦ i = Id A où i estl’injection canonique de A dans X.Lemme 4 Soient X et B deux espaces topologiques avec B connexe, f une application continuede X dans B, (E,p) une fibration triviale de base B et R un relèvement de f | A où A est unrétracte de X, il existe alors un relèvement ˜R de f tel que ˜R | A = R.Preuve : Soit F la fibre de cette fibration, on identifie E à B × F . Posons si x ∈ A, R(x) =(f(x),g(x)), g est alors une application continue de X dans F . On définit alors si x ∈ X,˜R(x) = (f(x),g ◦ r(x)) il est clair que ˜R est continue et vérifie bien les conditions attendues.Preuve du théorème : Si b ∈ B il existe un voisinage ouvert U b trivialisant la fibration, ainsif étant continue, (f −1 (U b )) b∈B est un recouvrement ouvert de [0,1], [0,1] étant métrique compactil existe un entier n tel que la fibration soit triviale sur f([ k , k+1 ]) pour tout 0 ≤ k ≤ n − 1.n nLe lemme nous permet de construire un relèvement de f sur [0,1/n] prenant n’importe qu’ellevaleur dans p −1 (f(0)) en 0 et de le prolonger par récurrence sur [0,1], étant donné que tout pointd’un espace topologique est rétracte de celui-ci.Si f est une application de [0,1] × [0,1] dans B, on choisit de la même façon un entier n tel quepour tous 0 ≤ k ≤ n − 1 et 0 ≤ l ≤ n − 1, la fibration soit triviale sur f([ k , k+1]× [ l , l+1])n n n net en parcourant [0,1] × [0,1] de la façon suivante, on contruit par récurrence un relèvement def prenant des valeurs fixées à l’avance sur trois côtés du carré. Il est à noter que les prolongementssont effectivement possibles, puisqu’en parcourant le carré de cette manière, à chaqueprolongement seules des valeurs sur trois côtés sont imposées et trois côtés d’un carré constituentévidemment un rétracte de ce dernier.Il est impossible, par cette méthode, de relever une application avec conditions initiales surles quatre côtés du carré car les quatre côtés ne sont pas un rétracte (en effet on comprendintuitivement qu’on ne peut ramener l’intérieur d’un carré sur son bord sans déchirer l’espace).Dans le cas des revêtements, ce théorème nous permet de mettre en évidence un action dugroupe fondamental sur la fibre.Soit (E,p) un revêtement de base B, b 0 ∈ B, F la fibre au dessus de b 0 . Soit e 0 un élémentde F et γ un lacet de B, il existe alors un relèvement Γ de γ dans E tel que Γ(0) = e 0 , Γ(1) estalors un élément de F . Si γ ′ est un lacet de B de base b 0 homotope à γ, soit h une homotopie deγ à γ ′ et H un relèvement de h induisant Γ sur [0,1] × {0}, Γ ′ sur [0,1] × {1} et constant égal à8

e 0 sur {0} × [0,1]. La restriction de H à {1} × [0,1] est alors un chemin dans F de Γ(1) à Γ ′ (1),or [0,1] étant connexe et F discret, il s’agit d’un chemin constant et donc Γ(1) = Γ ′ (1). Donc àun élément e 0 de F et un élément γ de Π 1 (B,b 0 ) on peut associer un élément de F que l’on note¯γ.e 0 . Vérifions que l’on a ainsi défini une action de Π 1 (B,b 0 ) sur F :– si e 0 ∈ F et γ 1 et γ 2 sont deux lacets de B d’origine b 0 , soit Γ 1 un relèvement de γ 1d’origine e 0 et Γ 2 un relèvement de γ 2 d’origine ¯γ 1 .e 0 , alors Γ 2 ◦ Γ 1 est un relèvement deγ 2 ◦ γ 1 d’origine e 0 . Ceci prouve ¯γ 2 .( ¯γ 1 .e 0 ) = ( ¯γ 2 ◦ ¯γ 1 ).e 0 .– le lacet constant égal à e 0 est clairement un relèvement du lacet constant égal à b 0 , donc¯x 0 .e 0 = e 0 .On dispose donc bien d’une action de groupes.Proposition 4 Dans cette action, si e 0 ∈ F , le stablisateur de e 0 est Π(p)(Π 1 (E,e 0 ), et si E estconnexe par arcs, cette action est transitive.Preuve : En effet ¯γ.e 0 = e 0 ⇔ Γ est un lacet de E d’origine e 0 , et comme γ = p(Γ), on enconclut que ¯γ.e 0 = e 0 si et seulement si ¯γ ∈ Im(Π(p)). Supposons maintenant E connexe pararcs, alors si e 0 et e 1 sont deux éléments de F , il existe un chemin Γ allant de e 0 à e 1 , p ◦ Γ estalors un lacet de B d’origine b 0 et e 1 = p ◦ Γ.e 0 , donc l’action est transitive.Remarque : Ainsi si E est connexe par arcs, F est isomorphe à Π 1 (B,b 0 )/Π 1 (E,e 0 ). Si F estfinie de cardinal n, on dit qu’on a un revêtement à n feuillets.5 Annexe 2 : Algèbre de Clifford et groupe des spineurs5.1 ConstructionSoit E un espace euclidien orienté de dimension n. On admet qu’il existe une R-algèbre Cde dimension 2 n munie d’une base (e i ) i∈P([1,n]) , où e ∅ = 1 et (e i ) 1≤i≤n est une base orthonormaledirecte de E.On a de plus pour tout (x,y) ∈ E × E, 1 (xy + yx) =< x,y >. On en déduit les règles de calcul2suivantes :– si 0 ≤ α 1 ≤ ... ≤ α r ≤ n, e {α1 ,...α r} = e α1 ...e αr– si x ∈ E, x 2 = ||x|| 2– si x et y sont orthogonaux, xy = −yx5.2 Le groupe des spineursSoit a ∈ E, si f désigne la réflexion par rapport à {a} ⊥ , alors si x ∈ E, f(x) = x − 2 a,||a|| 2donc f(x) = x − ax+xa a = x − ( axa + x) = −axa −1 . Tout élément de SO||a|| 2||a|| 2 n (R) étant un produitpair de telles réflexions, si f est un élément de SO n (R), on peut toujours trouver un élément qde C, produit d’un nombre pair de vecteurs unitaires de E tel que ∀x ∈ E, f(x) = qxq −1 .Définition 6 On appelle groupe des spineurs d’ordre n et on note Spin n , l’ensemble des produitspairs de vecteurs unitaires de E, il est facile de voir que cet ensemble est muni d’une structurede groupe.Il est clair que la multiplication étant continue dans C (car bilinéaire et C est de dimensionfinie), et vu que si a ∈ E, a −1 =a , Spin||a|| 2 n est un groupe topologique.Si q ∈ Spin n , l’application x ↦−→ qxq −1 laisse E invariant, et si x ∈ E, ||qxq −1 || 2 =(qxq −1 )(qxq −1 ) = qx 2 q −1 = ||x|| 2 . Elle induit donc une isométrie φ q sur E. De plus φ :9

Spin n −→ O n (R)x ↦−→ φ xest un morphisme continu de groupes. Comme une isométrie de R n est unproduit d’au plus n réflexions, Spin n est compact.5.3 Le corps des quaternionsDéfinition 7 Soit C l’algèbre de Clifford de R 3 muni de sa structure euclidienne canonique,posons H = vect(1,e 1 e 2 ,e 2 e 3 ,e 1 e 3 ). Les éléments de H sont appelés les quaternions.Posons i = e 1 e 2 , j = e 2 e 3 et k = e 1 e 3 .Dans ce cas de petite dimension, la situation est particulièrement simple, puisque les quaternionssont exactement les produits de deux éléments de R 3 . En effet (x 1 e 1 + y 1 e 2 + z 1 e 3 )(x 2 e 1 +y 2 e 2 + z 2 e 3 ) = (a + bi + cj + dk) est équivalent à⎛⎝z 1x 1y 1⎞⎛⎠ . ⎝z 2x 2y 2⎞⎛⎠ = a et ⎝z 1x 1y 1⎞⎛⎠ ∧ ⎝⎛x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , z 1 , z 2 si a ≠ 0 ou ⎝bc−dz 2x 2y 2⎞⎞⎛⎠ = ⎝⎧⎪⎨x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = ax 1 y 2 − x 2 y 1 = by 1 z 2 − y 2 z 1 = c⎪⎩x 1 z 2 − x 2 z 1 = d⎞bc−d, c’est à dire à⎠. Or on peut toujours trouver de tels⎠ ≠ 0, c’est à dire si a + bi + cj + dk ≠ 0. Ainsi toutquaternion non nul est le produit de deux vecteurs non nuls de R 3 . Or si a est un vecteurs non nulde R 3 est inversible dans C, puisque a 2 = ||a|| 2 ≠ 0, donc tout quaternion non nul est inversible.On a donc montré que H est un corps non commutatif.On en déduit également que Spin 3 est alors exactement le groupe des unités de H et homéomorpheà S 3 vu que H est de dimension 4. On en conclut donc que Spin 3 est simplement connexe etdonc que Π 1 (SO 3 (R) est de cardinal 2. D’où Π 1 (SO 3 (R)) ∼ = Z/2Z.5.4 Non simple connexité de SO n (R)Nous aurons besoin par la suite de la connaissance du centre de C.Lemme 5 Le centre de C est l’espace R + Re [1,n] si n est impair, R si n est pair.Preuve : Soit x un élément du centre de C, posons x = ∑ i∈P([a1,n]) λ ie i . Si j ∈ P([1,n]), les familles(e j e i ) i∈P([1,n]) et (e i e j ) i∈P([1,n]) sont des bases de C dont les éléments diffèrent uniquement parleur signe. Soit alors 1 ≤ r ≤ n et {α 1 ,...,α r } ∈ P([1,n]). Si r est pair, alors e αr e α1 ...e αr =(−1) r−1 e α1 ...e 2 α r= −e α1 ...e αr e αr , d’où λ {α1 ,...,α r} = −λ {α1 ,...,α r}, donc λ {α1 ,...,α r} = 0. Si r estimpair et r ≠ n, soit 1 ≤ j ≤ n tel que j /∈ {α 1 ,...,α r }, alors e j e α1 ...e αr = −e α1 ...e αr e j , donce j x = xe j nous donne λ {α1 ,...,α r} = 0. Ainsi, si n est pair, x ∈ R. Sinon x ∈ R + Re [1,n] . Et il estfacile de voir que dans ce cas e [1,n] commute avec tous les e i , donc avec C.Proposition 5 Si n ≥ 2, le groupe Spin n est connexe par arcs.Preuve : En effet le groupe SO n (R) étant inclus dans l’image de φ, il est clair que φ induit uneaction naturelle de Spin n sur la sphère S n−1 où le stabilisateur d’un élément est isomorphe àSpin n−1 . Spin n étant compact, on en conclut que Spin n /Spin n−1 est homéomorphe à S n−1 . Parrécurrence on en déduit, Spin 3 étant connexe par arcs, que Spin n l’est également.Théorème 11 Le morphisme φ arrive dans SO n (R), est surjectif de noyau {−1,1} et (Spin n ,φ)est un revêtement à deux feuillets de SO n (R).10

Preuve : Par connexité de Spin n et continuité de φ, on voit d’abord que l’image de φ est inclusedans la composante connexe de Id, c’est à dire dans SO n (R). La surjectivité de φ est alorsdémontrée par ce qui précède en début de section.Cherchons le noyau de φ. Si q ∈ Kerφ, alors pour tout x de E, qx = xq, C étant engendrée parE et 1, q est dans le centre de C, donc q ∈ R si n est pair et q ∈ R + Re [1,n] si n est impair. Or qest un produit pair d’éléments de E, donc dans tous les cas, q ∈ R. On a donc Kerφ = {−1,1}.Il reste à montrer que l’on obtient un revêtement de SO n (R). Soit y 0 ∈ SO n (R) et x 0 ∈ Spin ntel que φ(x 0 ) = y 0 . Spin n étant un groupe topologique métrique compact, il existe un voisinageV de x 0 tel que V ∩ (−V ) = ∅. Soit x ∈ V , φ −1 ({φ(x)}) = {x, − x}. Comme V ∩ (−V ) = ∅, larestriction de φ à V est injective et réalise donc une bijection continue de V sur φ(V ). De plusV étant compact et φ| V continue, c’est un homéomorphisme de V sur φ(V ). Il ne reste alorsplus qu’à montrer que φ(V ) est un ouvert de SO n (R), c’est clair vu que son complémentaire estl’image continue par φ du compact Spin n \ (V ∪ −V ). φ induit donc un homéomorphisme deV ∪ −V sur φ(V ) × {−1,1} et Spin n est donc un revêtement à deux feuillets de SO n (R).On peut en conclure que le quotient de Π 1 (SO n (R)) par Π 1 (Spin n ) est de cardinal 2, doncque SO n (R) n’est pas simplement connexe.11