Calcul du groupe fondamental de certains groupes topologiques ...

4 Annexe 1 : RevêtementsLe théorème fondamental, également valable dans le cadre des fibrations, est celui-ci :Théorème 10 Soient B un espace topologique et (E,p) une fibration de base B, alors touteapplication continue de [0,1] dans B est relevable avec condition initiale en 0 et toute applicationcontinue de [0,1] × [0,1] dans B est relevable avec condition initiale continue sur trois côtés ducarré.La preuve de ce théorème nécessite les deux lemmes qui vont suivre.Lemme 3 Soit X un espace métrique compact et (O i ) i∈I un recouvrement de X par des ouverts,il existe ɛ > 0 tel que pour toute partie F de X de diamètre inférieur à ɛ, il existe i ∈ I tel queF ⊂ O i .Définition 5 Soit X un espace topologique, une partie A de X est un rétracte de X si etseulement si il existe une application continue r de X dans A telle que r ◦ i = Id A où i estl’injection canonique de A dans X.Lemme 4 Soient X et B deux espaces topologiques avec B connexe, f une application continuede X dans B, (E,p) une fibration triviale de base B et R un relèvement de f | A où A est unrétracte de X, il existe alors un relèvement ˜R de f tel que ˜R | A = R.Preuve : Soit F la fibre de cette fibration, on identifie E à B × F . Posons si x ∈ A, R(x) =(f(x),g(x)), g est alors une application continue de X dans F . On définit alors si x ∈ X,˜R(x) = (f(x),g ◦ r(x)) il est clair que ˜R est continue et vérifie bien les conditions attendues.Preuve du théorème : Si b ∈ B il existe un voisinage ouvert U b trivialisant la fibration, ainsif étant continue, (f −1 (U b )) b∈B est un recouvrement ouvert de [0,1], [0,1] étant métrique compactil existe un entier n tel que la fibration soit triviale sur f([ k , k+1 ]) pour tout 0 ≤ k ≤ n − 1.n nLe lemme nous permet de construire un relèvement de f sur [0,1/n] prenant n’importe qu’ellevaleur dans p −1 (f(0)) en 0 et de le prolonger par récurrence sur [0,1], étant donné que tout pointd’un espace topologique est rétracte de celui-ci.Si f est une application de [0,1] × [0,1] dans B, on choisit de la même façon un entier n tel quepour tous 0 ≤ k ≤ n − 1 et 0 ≤ l ≤ n − 1, la fibration soit triviale sur f([ k , k+1]× [ l , l+1])n n n net en parcourant [0,1] × [0,1] de la façon suivante, on contruit par récurrence un relèvement def prenant des valeurs fixées à l’avance sur trois côtés du carré. Il est à noter que les prolongementssont effectivement possibles, puisqu’en parcourant le carré de cette manière, à chaqueprolongement seules des valeurs sur trois côtés sont imposées et trois côtés d’un carré constituentévidemment un rétracte de ce dernier.Il est impossible, par cette méthode, de relever une application avec conditions initiales surles quatre côtés du carré car les quatre côtés ne sont pas un rétracte (en effet on comprendintuitivement qu’on ne peut ramener l’intérieur d’un carré sur son bord sans déchirer l’espace).Dans le cas des revêtements, ce théorème nous permet de mettre en évidence un action dugroupe fondamental sur la fibre.Soit (E,p) un revêtement de base B, b 0 ∈ B, F la fibre au dessus de b 0 . Soit e 0 un élémentde F et γ un lacet de B, il existe alors un relèvement Γ de γ dans E tel que Γ(0) = e 0 , Γ(1) estalors un élément de F . Si γ ′ est un lacet de B de base b 0 homotope à γ, soit h une homotopie deγ à γ ′ et H un relèvement de h induisant Γ sur [0,1] × {0}, Γ ′ sur [0,1] × {1} et constant égal à8