Calcul du groupe fondamental de certains groupes topologiques ...

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On a donc montré que si n ∈ N ∗ , SU n (C) est simplement connexe. Comme U n (C) esthoméomorphe à SU n (C) × S 1 , on a le théorème suivant :Théorème 7 Si n ∈ N ∗ , alors SU n+1 (C) est simplement connexe, et Π 1 (U n (C)) est isomorpheà Z.3.4 Groupes fondamentaux des groupes orthogonauxOn sait que SO 2 (R) est homéomorphe à S 1 donc son groupe fondamental est isomorphe àZ. On a vu aussi que Π 1 (SO 3 (R)) est isomorphe à Z/2Z. Supposons avoir démontré que pour n(n ≥ 3), le groupe fondamental de SO n (R) est isomorphe à Z/2Z. On a vu que SO n+1 (R) est unefibration au dessus de S n de fibre SO n (R), on a donc la suite exacte suivante : Π 1 (SO n (R)) −→Π 1 (SO n+1 (R)) −→ Π 1 (S n ), c’est à dire Z/2Z −→ Π 1 (SO n+1 (R)) −→ {0}. Ainsi Π 1 (SO n+1 (R))est soit isomorphe à Z/2Z, soit à {0}. Or on sait qu’il existe un groupe topologique connexeSpin n+1 (R), formant un revêtement à deux feuillets de SO n+1 (R), qui n’est donc pas simplementconnexe. Π 1 (SO n+1 (R)) est donc isomorphe à Z/2Z. Par récurrence, si n ≥ 3, Π 1 (SO n (R)) ∼ =Z/2Z.Comme O n (R) a deux composantes connexes homéomorphes à SO n (R), pour n ∈ N ∗ , on a lethéorème suivant :Théorème 8 Si n ∈ N ∗ , Π 1 (SO n (R),Id) et Π 1 (O n (R),Id) sont isomorphes. Plus précisément,ils sont isomorphes à {0} si n = 1, Z si n = 2 et Z/2Z pour n ≥ 3.3.5 Décomposition polaire et groupes linéairesNous admettons le résultat classique suivant :Lemme 2 Soit n ∈ N ∗ , alors– GL n (R) est homéomrphe à O n (R) × SDP n (R) où SDP n (R) est l’ensemble des matricessymétriques définies positives.– GL n (C) est homéomorphe à U n (C) × HDP n (C) où HDP n (C) est l’ensemble des matriceshermitiennes définies positives.HDP n (R) et SDP n (C) étant convexes, ils sont simplement connexes, et on peut donc en déduirele théorème :Théorème 9 Si n ∈ N ∗ , alors– le groupe fondamental de GL n (C) est isomorphe à Z.– GL n (R) a deux composantes connexes homéomorphes dont le groupe fondamental est isomorpheà {0} pour n = 1, Z pour n = 2 et Z/2Z pour n ≥ 3.CONCLUSIONLes invariants topologiques que sont les groupes fondamentaux permettent de voir, au delàde la connexité, les différences profondes entre espaces topologiques. Ils permettent par exemplede différencier topologiquement une droite d’un cercle, un plan épointé d’un plan... La méthodeque l’on a employée pour déterminer les groupes fondamentaux de SO n (R), SU n (C) est dedécomposer localement ces espaces en produit d’espaces dont on connaît les groupes fondamentaux,ici les sphères et les groupes “d’ordre” inférieur. Ensuite la décomposition polaire, qui estcette fois-ci globale, nous donne les groupes fondamentaux de GL n (R), GL n (C).6
Références[1] C. Godbillon : Eléments de topologie algébrique[2] R. Mneimné F. Testard : Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques[3] A. Gramain : Topologie des surfaces[4] C. Chevalley : The algebraic theory of spinors and Clifford algebras[5] S. Lang : Algebra[6] R. et A. Douady : Algèbre et théories galoisiennes7
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