Calcul du groupe fondamental de certains groupes topologiques ...

e 0 sur {0} × [0,1]. La restriction de H à {1} × [0,1] est alors un chemin dans F de Γ(1) à Γ ′ (1),or [0,1] étant connexe et F discret, il s’agit d’un chemin constant et donc Γ(1) = Γ ′ (1). Donc àun élément e 0 de F et un élément γ de Π 1 (B,b 0 ) on peut associer un élément de F que l’on note¯γ.e 0 . Vérifions que l’on a ainsi défini une action de Π 1 (B,b 0 ) sur F :– si e 0 ∈ F et γ 1 et γ 2 sont deux lacets de B d’origine b 0 , soit Γ 1 un relèvement de γ 1d’origine e 0 et Γ 2 un relèvement de γ 2 d’origine ¯γ 1 .e 0 , alors Γ 2 ◦ Γ 1 est un relèvement deγ 2 ◦ γ 1 d’origine e 0 . Ceci prouve ¯γ 2 .( ¯γ 1 .e 0 ) = ( ¯γ 2 ◦ ¯γ 1 ).e 0 .– le lacet constant égal à e 0 est clairement un relèvement du lacet constant égal à b 0 , donc¯x 0 .e 0 = e 0 .On dispose donc bien d’une action de groupes.Proposition 4 Dans cette action, si e 0 ∈ F , le stablisateur de e 0 est Π(p)(Π 1 (E,e 0 ), et si E estconnexe par arcs, cette action est transitive.Preuve : En effet ¯γ.e 0 = e 0 ⇔ Γ est un lacet de E d’origine e 0 , et comme γ = p(Γ), on enconclut que ¯γ.e 0 = e 0 si et seulement si ¯γ ∈ Im(Π(p)). Supposons maintenant E connexe pararcs, alors si e 0 et e 1 sont deux éléments de F , il existe un chemin Γ allant de e 0 à e 1 , p ◦ Γ estalors un lacet de B d’origine b 0 et e 1 = p ◦ Γ.e 0 , donc l’action est transitive.Remarque : Ainsi si E est connexe par arcs, F est isomorphe à Π 1 (B,b 0 )/Π 1 (E,e 0 ). Si F estfinie de cardinal n, on dit qu’on a un revêtement à n feuillets.5 Annexe 2 : Algèbre de Clifford et groupe des spineurs5.1 ConstructionSoit E un espace euclidien orienté de dimension n. On admet qu’il existe une R-algèbre Cde dimension 2 n munie d’une base (e i ) i∈P([1,n]) , où e ∅ = 1 et (e i ) 1≤i≤n est une base orthonormaledirecte de E.On a de plus pour tout (x,y) ∈ E × E, 1 (xy + yx) =< x,y >. On en déduit les règles de calcul2suivantes :– si 0 ≤ α 1 ≤ ... ≤ α r ≤ n, e {α1 ,...α r} = e α1 ...e αr– si x ∈ E, x 2 = ||x|| 2– si x et y sont orthogonaux, xy = −yx5.2 Le groupe des spineursSoit a ∈ E, si f désigne la réflexion par rapport à {a} ⊥ , alors si x ∈ E, f(x) = x − 2 a,||a|| 2donc f(x) = x − ax+xa a = x − ( axa + x) = −axa −1 . Tout élément de SO||a|| 2||a|| 2 n (R) étant un produitpair de telles réflexions, si f est un élément de SO n (R), on peut toujours trouver un élément qde C, produit d’un nombre pair de vecteurs unitaires de E tel que ∀x ∈ E, f(x) = qxq −1 .Définition 6 On appelle groupe des spineurs d’ordre n et on note Spin n , l’ensemble des produitspairs de vecteurs unitaires de E, il est facile de voir que cet ensemble est muni d’une structurede groupe.Il est clair que la multiplication étant continue dans C (car bilinéaire et C est de dimensionfinie), et vu que si a ∈ E, a −1 =a , Spin||a|| 2 n est un groupe topologique.Si q ∈ Spin n , l’application x ↦−→ qxq −1 laisse E invariant, et si x ∈ E, ||qxq −1 || 2 =(qxq −1 )(qxq −1 ) = qx 2 q −1 = ||x|| 2 . Elle induit donc une isométrie φ q sur E. De plus φ :9