Calcul du groupe fondamental de certains groupes topologiques ...

tives dans X 1 ∪ X 2 . Si X 1 ∩ X 2 est non vide et connexe par arcs alors le groupe fondamental deX 1 ∪ X 2 est engendré par les groupes Π(p 1 )(Π 1 (X 1 )) et Π(p 2 )(Π 1 (X 2 )).Ceci nous permet de connaître à isomorphisme près les groupes fondamentaux des sphèresde dimension supérieure ou égale à 2. Prenons en effet pour X 1 la sphère S n privée d’un point,et pour X 2 la même sphère privée d’un autre point. Par projection stéréographique, on sait queces deux espaces sont homéomorphes à R n , donc simplement connexes. De plus leur intersectionest alors homéomorphe à R n privée d’un point qui est connexe par arcs (car on pris 2 ≤ n).Ainsi Π 1 (S n ) est engendré par le neutre, c’est donc un singleton et S n est simplement connexe.Cependant ceci ne nous donne pas le groupe fondamental du cercle S 1 .Théorème 5 Le groupe fondamental du cercle S 1 est isomorphe à Z.Preuve : On note e l’application de R dans S 1 définie par e(x) = e 2iπx . Soit U = (]1− 1,1+ 1[×]−2 21,1[)∩S 1 un voisinage de 1 (on plonge S 1 dans le plan complexe). Il est clair que U = e(]− 1, 1[).6 6La restriction s de e à ] − 1 , 1 [ est alors un homéomorphisme de cet intervalle sur U. Comme6 6e −1 (U) = ∑ n∈Z ]n − 1 ,n + 1 [, l’application Z×] − 1 , 1 [ −→ 6 6 e−1 (U)est un homéomorphisme,6 6 (n,x) ↦−→ n + xce qui prouve que l’on a un revêtement du cercle de fibre Z.Soient γ 1 et γ 2 deux éléments de Π 1 (S 1 ,1) représentés par γ 1 et γ 2 . Soit Γ 1 un relèvement de γ 1tel que Γ 1 (0) = 0 et Γ 2 un relèvement de γ 2 tel que Γ 2 (0) = Γ 1 (1) = γ 1 .0. Alors Γ 2 .Γ 1 est un[0,1] −→ Rrelèvement de γ 2 .γ 1 s’annulant en 0, donc Γ 2 (1) = γ 2 .γ 1 .0. Or l’applicationt ↦−→ Γ 2 (t) − γ 1 .0est un relèvement de γ 2 s’annulant en 0, donc γ 2 .0 = Γ 2 (1) − Γ 1 (1), d’où (γ 2 .γ 1 ).0 = γ 1 .0 + γ 2 .0.ΠL’application d : 1 (S 1 ,1) −→ Zest un morphisme de groupes. Il est injectif car siγ ↦−→ γ.0d(γ) = 0, alors Γ est un lacet de R. Or R est simplement connexe, donc Γ est homotope au lacetconstant, et donc γ aussi. d est donc injectif. De plus, il est clair, si n ∈ Z, que d(t ↦−→ e 2iπnt ) = n,donc d est surjective et c’est un isomorphisme.Pour amorcer la récurrence qui suivra nous aurons besoin du groupe fondamental de SO 3 (R)que nous obtiendrons en amettant l’existence d’un revêtement simplement connexe connu deSO 3 (R).Théorème 6 La sphère S 3 est un revêtement à deux feuillets du groupe SO 3 (R).La sphère S 3 étant simplement connexe, on en conclut que le groupe fondamental de SO 3 (R)est de cardinal 2, c’est donc Z/2Z.On peut montrer de la même façon que pour n ≥ 2, il existe un groupe topologique Spin nconstituant un revêtement à deux feuillets de SO n (R), on s’en servira par la suite.3.3 Groupes fondamentaux des groupes unitairesSU 1 (C) étant réduit à l’identité, il est simplement connexe. Supposons avoir démontré pourn (n ≥ 1) que SU n (C) est simplement connexe. Etant donné que SU n+1 (C) est un revêtementde S 2n+1 de fibre SU(n), on a une suite exacte : Π 1 (SU n (C)) −→ Π 1 (SU n+1 (C)) −→ Π 1 (S 2n+1 ),c’est à dire, vu ce que l’on conaît : {0} −→ SU n+1 (C) −→ {0}. SU n+1 (C) est donc forcément unsingleton, et SU n+1 (C) est simplement connexe.5