Exercices - Pgcd - ppcm - nombres premiers entre eux : - Bibmath

Exercices - Pgcd - ppcm - nombres premiers entre eux :corrigéExercice 7 - - L1/Math Sup - ⋆⋆1. On écrita = p α 11 . . . pαr r , b = p β 11 . . . pβr r , c = p γ 11 . . . pγr r .La condition c|ab signifie que γ j ≤ α j + β j pour tout j. De plus, on aa ∧ c = p min(α 1,γ 1 )1 . . . p min(αr,γr)rb ∧ c = p min(β 1,γ 1 )1 . . . p min(βr,γr)ret donc on a c|(a ∧ c)(b ∧ c) si et seulement si, pour tout j de 1, . . . , r, on aγ j ≤ min(α j , γ j ) + min(β j , γ j ).Mais si min(α j , γ j ) = γ j ou min(β j , γ j ) = γ j , c’est trivial. Sinon on apar hypothèse. Ceci prouve le résultat.min(α j , γ j ) + min(β j , γ j ) = α j + β j ≥ γ j2. On reprend les notations de la question précédente, et on note aussia ∧ c = p δ 11 . . . pδr r et a ∧ (bc) = p η 11 . . . pηr ravec δ j = min(α j , γ j ) et η j = min(α j , γ j + β j ). L’hypothèse a ∧ b = 1 nous dit quemin(α j , β j ) = 0 pour tout j, et on cherche à prouver que δ j = η j pour tout j. Si β j = 0,c’est clair. Sinon, on a α j = 0 et donc δ j = η j = 0. Ainsi, on a bien a ∧ (bc) = a ∧ c.Exercice 8 - Equation avec pgcd et ppcm - L1/Math Sup - ⋆⋆On pose d = x ∧ y et on écrit x = dx ′ , y = dy ′ et x ′ ∧ y ′ = 1. L’équation devientd(x ′ y ′ + 11) = 203 = 7 × 29.On a donc d = 1, 7, 29 ou 203 et on sépare les cas.– Les cas d = 29 et d = 203 ne conduisent pas à une solution, puisqu’on a alors x ′ y ′ =7 − 11 < 0 ou x ′ y ′ = 1 − 11 < 0, ce qui est impossible puisque x ′ et y ′ sont positifs.– Pour d = 1, on a x ′ y ′ = 192 = 2 6 × 3. Puisque x ′ ∧ y ′ = 1, on obtient que (x ′ , y ′ ) est undes couples (192, 1), (3, 2 6 ), (2 6 , 3) ou (192, 1).– Pour d = 7, on a x ′ y ′ = 18 = 2 × 3 2 . Puisque x ′ ∧ y ′ = 1, on obtient que (x ′ , y ′ ) est un descouples (18, 1), (2, 9), (9, 2) ou (1, 18).En remultipliant par d, on trouve que l’ensemble des solutions est constitué par les couples(1, 192), (3, 64), (7, 126), (14, 63) et leurs symétriques.Exercice 9 - Liens entre deux pgcd - L1/Math Sup - ⋆⋆1. On écritce qui prouve le résultat.a n − a r = a r (a mq − 1) = a r ((a m ) q − 1)()= a r (a m − 1) a m(q−1) + a m(q−2) + · · · + 1http://www.bibmath.net 3

Exercices - Pgcd - ppcm - nombres premiers entre eux :corrigé2. De la relation précédente, on tire(a n − 1) − (a r − 1) = Q (a m − 1)où Q ∈ N. Ainsi, si s divise a r − 1 et a m − 1, il divise a n − 1. Réciproquement si s divisea n − 1 et a m − 1, alors il divise a r − 1. Ainsi, d = (a m − 1) ∧ (a r − 1) (on utilise ici le mêmeraisonnement que pour prouver que si a = bq + c, alors a ∧ b = b ∧ c). Mais, poursuivantles divisions euclidiennes successives, en notant (r k ) la suite des restes obtenus, on ad = (a r k− 1) ∧ (a r k+1− 1), jusqu’à ce que a r k+1= 0. On a donc d = a r k 0 − 1, où r k0 estle dernier reste non-nul dans l’algorithme d’Euclide, c’est-à-dire que r k0 est le pgcd de net m.3. On a la suite d’équivalences :a m − 1|a n − 1 ⇐⇒ d = a m − 1⇐⇒⇐⇒n ∧ m = mm|n.http://www.bibmath.net 4