Fonctions trigonométriques et fonctions hyperboliques

En faisant b = a on obtient les formules de multiplication par 2sin(2a) = 2 sinacosacos(2a) = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 asin(2a) = 2 tan a1+tan 2 acos(2a) = 1−tan2 a1+tan 2 atan(2a) = 2tan a1−tan 2 a .En posant a + b = p et a − b = q les formules précèdentes peuvent s’exprimer comme suit1.1.3 Formules d’EulerOn définit e iy paret en changeant y par −ycos(p) + cos(q) = 2 cos p+q2cos(p) − cos(q) = −2 sin p+q2sin(p) + sin(q) = 2 sin p+qsin(p) − sin(q) = 2 cos p+q2e iy = cosy + i sinye −iy = cosy − i siny.p−qcos2p−qsin22cos p−q2sinp−q2En ajoutant et en retrancheant membre à membre ces deux égalités, on obtient les formules d’Euler1.1.4 Formules de Moivrescosy = eiy +e −iy2etsin y = eiy −e −iy2iÀ partir des formules d’Euler on peut déduire facilement les formules de Moivre(cos x + i sinx) n = cosnx + i sinnx et (cos x − i sin x) n = cosnx − i sinnx1.2 Fonctions hyperboliques1.2.1 DéfinitionsPar définition on appelle cosinus hyperbolique de x, qu’on note coshx la quantitéde même le sinus hyperbolique de x estcoshx = ex + e −x,2sinhx = ex − e −x.2Par analogie avec les fonctions trigonométriques on définit la tangente hyperbolique de x partanhx = sinhxcoshx = ex − e −xe x + e −x,et la cotangente hyperbolique parcothx = 1tanhx .