Fonctions trigonométriques et fonctions hyperboliques

1.3 Égalités utilesPar définition on aet par conséquentDe cette relation on en déduit quecoshx + sinhx = e x et coshx − sinhx = e −x ,cosh 2 x − sinh 2 x = 1.1cosh 2 = 1 − tanh2 x et que1sinh 2 = coth2 x − 1.1.4 Relation entre les fonctions hyperboliquescosh(a + b) = coshacoshb + sinhasinhbcosh(a − b) = coshacoshb − sinhasinhbsinh(a + b) = sinhacoshb + cosh a sinhbsinh(a − b) = sinhacoshb − cosh a sinhb2 Exercicescosh(p) + cosh(q) = 2 cosh p+q p−q2cosh2cosh(p) − cosh(q) = 2 sinh p+q p−q2sinh2sinh(p) + sinh(q) = 2 sinh p+q2cosh p−q2sinh(p) − sinh(q) = 2 cosh p+q p−q2sinh21. Démontrer les formules de Moivres, puis les utiliser pour calculer cos(3θ) et sin(3θ) en fonctionde cosθ et sin θ.2. Déduire à partir des formules d’Euler l’expression de sin(2x) et cos(2x) en fonction de sinxet cosx.3. θ étant compris entre −πque2et π 2, exprimer sinhx, coshx et tanhx en fonction de θ, sachant[ θx = ln tan2 + π ].44. Résoudre le système pour a, α ∈ R.{ coshx + coshy = a coshαsinhx + sinhy = a sinhα5. Déterminer l’expression de (coshx − sinhx) n et de (cosh x + sinhx) n en fonction de coshnxet sinh nx.