Statistiques Flux Portuaires - LMPA - Université du Littoral-Côte-d ...

1.4.CARACTÉRISTIQUES DE DISPERSION 17V (X) = 1 np∑n i x 2 i − 2 p∑n x n i x i + 1 n x2i=1i=1i=1p∑n i ⇔ V (X) = 1 np∑n i x 2 i − 2x 2 + x 2 = 1 ni=1p∑n i x 2 i − x 2i=1Définition 1.4.4 L’écart-type d’une série statistique est la racine carrée de sa variance V (X).σ(X) = √ V (X) = √ 1 nn∑(x i − x) 2 = √ 1 ni=1p∑n i (x i − x) 2i=1Cette caractéristique de dispersion est la plus utilisée. L’expérience montre que dans une distribution unimodaleet symétrique,– l’intervalle [x − σ(X), x + σ(X)] contient environ 68% des valeurs de la série,– l’intervalle [x − 2σ(X), x + 2σ(X)] contient environ 95% des valeurs de la série.Dans une distribution relativement symétrique, les résultats restent voisins de ceux indiqués.Considérons une nouvelle fois l’exemple 1.2.4. Afin de calculer la variance et l’écart-type de la série, onréalise un tableau contenant toutes les données nécessaires à leur calcul (voir page suivante).La quatrième colonne nous permet de calculer la moyenne arithmétique de la série : sa dernière ligne nousp∑donne le nombre n i x i = 3243000. Donc x = 1 p∑n i x i = 3243000 = 3243. L’économie moyenne des 1000n1000i=1i=1clients de la banque est de 3243 euros.La cinquième colonne nous permet de calculer la variance de la série : sa dernière ligne nous donne lep∑nombre n i x 2 i = 11662000000. Donc V (X) = 1 p∑n i x 2 i − x 2 = 11662000000 − (3243) 2 = 1144951.n1000i=1On en déduit l’écart-type de la série : σ(X) = √ V (X) = √ 1144951 ≃ 1070, 02 à 10 −2 près.Ce nombre peut être interprété de la manière suivante :i=1– l’intervalle [x − σ(X), x + σ(X)] = [3243 − 1070, 02; 3243 + 1070, 02] = [2172, 98; 4313, 02] contientenviron 68% des valeurs de la série,– l’intervalle [x − 2σ(X), x + 2σ(X)] = [3243 − 2 × 1070, 02; 3243 + 2 × 1070, 02] = [1102, 96; 5383, 04]contient environ 95% des valeurs de la série.