Statistiques Flux Portuaires - LMPA - UniversitÃ© du Littoral-CÃ´te-d ...

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40 CHAPITRE 2.SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES– Utilisation du point moyenOn montre par le calcul que, pour obtenir le meilleur ajustement affine, il convient de prendre unedroite passant par le point moyen G.– Fractionnement du nuage, méthode de Mayer.2.5.2 Ajustement analytique - Méthode des moindres carrésOn considère une série statistique à deux variables représentée par un nuage justifiant un ajustementaffine. La méthode d’ajustement linéaire des moindres carrés conduit à obtenir 2 droites de régression D Y/Xet D X/Y concourantes au point moyen G(x, y) mais il est nécessaire de remarquer que ces 2 droites existentquel que soit le lien existant entre X et Y (même s’il n’y a aucune dépendance entre X et Y , on peuttoujours tracer la droite telle que la somme des carrés des distances des points M i du nuage aux points dela droite de mêmes abscisses soit minimale, ce minimum pouvant d’ailleurs être grand).Le problème peut donc être posé ainsi : “à l’aide des deux droites de régression D Y/X et D X/Y , quel critèrenumérique permet de dire si X et Y sont plus ou moins dépendantes l’une de l’autre par l’intermédiaired’une fonction f affine ?”On considère les deux graphes suivants :Définition 2.5.1 On appelle droite d’ajustement par la méthode des moindres carrés de Y parrapport à X la droite– passant par G– qui minimise la somme des carrés des écarts M i P i entre les ordonnées des points du nuage et lesordonnées des points de la droite ayant même abscisse.On dit aussi droite de régression de Y en XPropriété 2.5.1 La droite des moindres carrés de Y par rapport à X est notée D Y/X . Son équation esty = ax + bavec⎧⎨⎩a = Cov(X, Y )V (X)b = y − axcoefficient directeur de D Y/XDéfinition 2.5.2 On appelle droite d’ajustement par la méthode des moindres carrés de X parrapport à Y la droite– passant par G– qui minimise la somme des carrés des écarts Q i M i entre les abscisses des points du nuage et lesabscisses des points de la droite ayant même ordonnée.
2.5. AJUSTEMENT LINÉAIRE (OU AFFINE) 41On dit aussi droite de régression de X en YPropriété 2.5.2 La droite des moindres carrés de X par rapport à Y est notée D X/Y . Son équation estx = a ′ y + b ′avec⎧⎨⎩a ′ = Cov(X, Y )V (Y )b ′ = x − a ′ ycoefficient directeur de D X/YRemarque 2.5.1– Les deux droites D Y/X et D X/Y passent par le point moyen du nuage.– Les points du nuage sont alignés si et seulement si les droites D Y/X et D X/Y sont confondues.Propriété 2.5.3Preuve :D Y/X = D X/Y ⇔ r 2 = 1– L’équation de D Y/X peut se réécrire sous la forme y = ax + (y − ax) ⇔ a(x − x) = y − y– De même, l’équation D X/Y peut s’écrire x = a ′ y + (x − a ′ y) ⇔ x − x = a ′ (y − y)Donc, D Y/X = D X/Y ⇔ a.a ′ = 1 ⇔Cov(X, Y )2σ 2 X σ2 YOn a finalement les 5 cas graphiques suivants := 1. Or r = Cov(X, Y )σ X σ Ydonc on obtient le résultat voulu.
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Page 72 and 73: 68 CHAPITRE 4. CAS PRATIQUESFigure
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