TD N 8 : Lois de probabilité classiques - lpthe

Mention Physique - L2 - Année 2010-2011Licence de Sciences et TechnologiesLP 207: Mathématiques pour physiciens 2TD N ◦ 8 : Lois de probabilité classiques1. Marche aléatoire.Un mobile évolue de façon aléatoire le long d’un axe gradué. À t = 0 il est en 0 ; à chaqueinstant entier t = k, (k ≥ 0), son abscisse varie de +1 avec la probabilité p et de −1 avecla probabilité q = 1 − p. On note X n son abscisse au temps t = n.(a) Montrer que les valeurs prises par X n sont les entiers relatifs 2k − n (0 ≤ k ≤ n).Calculer p(X n = 2k − n).(b) On pose Y n = X n + n2i. Reconnaître la loi de Y n .ii. Donner 〈Y n 〉 et var(Y n ).iii. En déduire 〈X n 〉 puis var(X n ).(c) Pour quelle valeur de p la v.a. est-elle centrée ? Ce résultat vous étonne-t-il ?2. Péage d’autoroute (loi de Poisson).Un péage d’autoroute comporte m guichets. On suppose que le nombre N de voituresarrivant en 1 heure suit la loi de Poisson de paramètre λ. On suppose, de plus, que lesconducteurs choisissent leur poste au hasard, et que ces choix sont indépendants. Soit X i(1 ≤ i ≤ m), le nombre de voitures passant par le poste numéro i .(a) En calculant successivement p(X i = k|N = n) , ((k, n) ∈ N 2 ), puis p(X i = k),déterminer la loi de X i .(b) Donner 〈X i 〉 et var(X i ).3. Distribution des vitesses de Maxwell-BoltzmannA l’équilibre thermodynamique, la fonction de distribution des vitesses v des moléculesd’un gaz est donnée par :f(v) = 4πNoù N est le nombre de molécules.( m) 3/2v 2 exp (− mv22πkT2kT )(a) La fonction f(v) est-elle une densité de probabilité?(b) Quelle est le mode u de cette distribution ? (c’est-à-dire la valeur de la vitesse laplus probable)1

(c) Quelle est la vitesse moyenne? la vitesse quadratique moyenne? l’écart type ?4. Calculs de moments de la loi gaussienne.Montrer queφ(b) =∫ ∞−∞dx e − x22σ 2 +bx = Ce 1 2 b2 σ 2avec une constante C que l’on déterminera, puis par dérivation par rapport à b, calculerles moments m k = 〈x k 〉 de la distribution gaussienne.Montrer que φ(b) = ∑ ∞ m kk=0 k! bk , ou encore dk φ(b) ∣ db k b=0= m k . La fonction φ(b) est ditefonction génératrice des moments .5. Loi multinomialeOn considère une généralisation de la loi binomiale où la v.a. X peut prendre v valeursl 1 , · · · , l v avec des probabilités p 1 , · · · , p v , ∑ i p i = 1. La probabilité d’avoir k i tirages deX = l i en N essais estp(k 1 , k 2 , · · · , k v ) =N!k 1 ! · · · k v ! pk 11 · · · p kvv (1)(a) Démontrer queN!k 1 !···k v! = Ck 1N Ck 2N−k 1 · · · C kvN−k 1 −···−k v−1et justifier la loi (5).(b) Calculer la valeur moyenne 〈k i 〉 et sa variance.(c) Applications au jeu de dés.2