Licence de Physique Année 2005-2006 LP 207: METHODES ... - lpthe

Licence de PhysiqueAnnée 2005-2006LP 207: METHODES MATHEMATIQUES POUR PHYSICIENS.Examen du 3 juillet 2006 (Durée: 2 heures)Problème 1.1) Montrer que les oscillateurs coup’es de la Fig.1 vérifient un système d’équations dela forme:⎛ ⎞⎛ ⎞mẍ(t)x(t)⎜ mÿ(t)= −γ · M⎟⎜ y(t)(1)⎟⎝ ⎠⎝ ⎠m¨z(t)z(t)où les composantes de la matrice M sont à déterminer. γ est un coefficient d’élasticité,le même pour les ressorts R 1 et R 2 , Fig.1.2) Vérifier que les valeurs propres de la matrice M, déterminée en 1), sont λ 1 = 0,λ 2 = 1, λ 3 = 3. Trouver les vecteurs propres de M. En utilisant ces résultats, interpreterles modes propres des mouvements du système d’oscillateurs dans la Fig.1.Problème 2.Soit un système d’équations différentielles, pour les trois fonctions x(t), y(t), z(t)inconnues:ẋ(t) = 10x − 10zẏ(t) = 12x + 4y − 24zż(t) = 2x − y + z (2)En utilisant la méthode matricielle (diagonalisation de la matrice M construite àpartir des coefficients apparaissant dans la partie droite du système (2); définition desmatrices de passage P , P −1 ; etc.) trouver la solution du système (2), les fonctions x(t),1

y(t), z(t), pour les conditions initiales suivantes:x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 1 (3)Problème 3.1.Soit une urne avec des boules de 3 couleurs (vert, bleu et rouge) de nombres respectifsN v , N b , N r .On effectue 2 tirages successifs, sans remise après le 1er tirage. Notons A v , A b , A r lesévénements de tirer, respectivement, une boule verte, une boule bleue, une boule rougeau 1er tirage et B v , B b , B r les événements correspondants au 2ème tirage.1) Trouver la probabilité P r(A v ) de tirer une boule verte au 1èr tirage, indépendammentdu résultat du 2ème tirage.2) Trouver la probabilité P r Av (B r ) de tirer une boule rouge au 2ème tirage, à conditionqu’une boule verte a été tirée au 1er tirage. Trouver également les probabilités P r Ab (B r )et P r Ar (B r ).3) En utilisant les résultats de 1), 2), en déduire la probabilité P r(B r ) de tirer uneboule rouge au 2ème tirage, dans le cas où le résultat du 1er tirage est inconnu.Problème 3.2Soit N 0 atomes radioactifs identiques, à t = 0. La densité de probablité de durée devie d’un atome particulier est donnée par la loi exponentielle:f(t) = 1 t τ e− τ (4)où τ est un paramètre, qui est characteristique pour une substance radioactive donnée.1) Calculer la durée de vie moyenne d’un atome, < t >.2) Trouver la probabilité qu’un atome particulier se désintègre entre t 1 = τ et t 2 = 2τ.3) Trouver combien d’atomes, en moyenne, se désintègrent après t 2 = 2τ (on rappellequ’à t = 0, il y a N 0 atomes).2