ANALYSE FREQUENTIELLE D'UN SYSTEME

ANALYSE FREQUENTIELLE D'UN SYSTEMEOn considère la fonction de transfert suivante :FT( p)= Gp1 1avec :

Tracé du diagramme de Bode réelOn prend G = 2, T 1 =100s, τ 1 =0,1s, et τ 2 =10s. On trouve le diagramme suivant :Bode Diagrams100From: U(1)50Phase (deg); Magnitude (dB)To: Y(1)0-500-50-100-150-200-25010 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2Frequency (rad/sec)Tracé du diagramme de BlackEn ω=0, le diagramme de Black ne part pas d'un point initial, mais présente uneasymptote verticale, due à l'intégrateur (pente de –20 dB par décade pour ω < 1/T 1 , gain ∞ enω=0). L'asymptote verticale correspond à une phase initiale de –270° (cf. le Bode – gain).Il n'y a pas de difficultés majeures supplémentaires, le tracé du diagramme de Blackdécoulant naturellement de celui de Bode. On a bien entendu une asymptote verticale (phase =-180°) lorsque w→∞, correspondant à la chute vers 0 (-∞ en dB) du gain.Le tracé manuel se fait avec les phases vraies, obtenues sur le diagramme de Bode.Cependant l'utilisation d'un logiciel de calcul numérique (ici Matlab) conduit à un tracé desphase entre 90° et 360°. En effet, la phase est définie à 2π près, et lorsque la phase initiale estinférieure à –π, les logiciels rajoutent systématiquement 2π à la phase vraie. Par conséquentl'utilisation de ce genre de logiciel nécessite vérification des résultats obtenus et attitudecritique. Il est nécessaire de mener une réflexion préalable sur la fonction de transfert pourdéterminer la phase initiale (ω=0), et vérifier la cohérence des résultats donnés parl'ordinateur.

150Nichols ChartsFrom: U(1)100Open-Loop Gain (dB)To: Y(1)500-50-10080 100 120 140 160 180 200 220 240 260Open-Loop Phase (deg)Tracé du diagramme de NyquistOn trace le diagramme de Nyquist à partir du diagramme de Bode. Le point particulierauquel il faut porter attention est le suivant :FTFT( p)( jω)1. En ω=0, on a une asymptote verticale dans la direction de l'axe imaginairepositif (gain infini, pour une phase de –270°).2. L'examen du diagramme de Bode ne dit rien sur la valeur de la partie réellede FT(jω) en ω=0. En tous cas, elle n'a aucune raison d'être nulle. Il fautdonc calculer cette valeur afin de placer l'asymptote sans erreur.= Gp= G( 1+T1p), soit :( 1+τ1p)( τ2p −1)( 1+T1jω)jω( 1+τ jω)( τ jω−1)2Posons : = ω ( τ −τ)FTD'où :( jω)1122=ω2A et = ω ( 1+ττ ω )= G122( 1+T jω)12( τ −τ) − jω( 1+τ τ ω )1GB . On a alors :( 1+T jω)( A + jB) A − T ωB+ j( AT ω + B)1A2+ B2= G1A22+ B1212

Ré( FT( jω)D'où :ω= Gω= Gω222( τ1−τ2) − T1ω( 1+τ1τ2ω)42 22 2( τ1−τ2) + ω ( 1+τ1τ2ω)2( τ1−τ2) − T1( 1+τ1τ2ω)222( τ −τ) + ( 1+τ τ ω ) 21Ré212( FT( jω) = G( τ − − )ω1τ0 2T= 1Pour G=2, T 1 = 100s, τ 1 = 0.1s, τ 2 = 10s, on trouve une valeur numérique de –219,8.On obtient le diagramme suivant :200Nyquist DiagramsFrom: U(1)150100Imaginary AxisTo: Y(1)500-50-100-150-200-250 -200 -150 -100 -50 0Real AxisLà encore, il faut faire attention lors de l'utilisation d'outils de calcul numérique.L'écart entre les différentes constantes de temps (de 100s pour le zéro à 0,1s pour le pôleinstable, soit un rapport de 1000) conduit à l'écrasement des phénomènes pour les ω grandspour des raisons de facteur d'échelle.Sur la courbe ci-dessus, on a l'impression que la courbe de Nyquist tend vers (0,0) enlongeant l'axe imaginaire négatif, c'est-à-dire que le vecteur a une phase qui tend vers –π/2 etune norme qui tend vers 0 lorsque ω tend vers l'∞. Or le diagramme de Bode nous a montréque la phase tendait vers –π lorsque ω tend vers l'infini. Si l'on effectue un zoom avec lelogiciel autour de l'origine, on retrouve bien le comportement attendu (cf. figure ci-dessous).