Examen préparatoire - Département de science politique

POL1800 Examen préparatoire 2 H-20091. On estime qu’il y a une corrélation linéaire entre le prix d’une voiture et sonkilométrage. La moyenne des kilomètres des voitures est de 56 300 km et le prix moyenest de 12 000 dollars. On obtient l’équation suivante :Yc = 17.1 + - .0902 (X). Quel serait le prix d’une voiture de 45 000 km?a)$12 927 b)$16 198 et $18 002 c)$13 041 d) $21 159 e) Aucune de ces réponsesRÉPONSE : Il s’agit bien d’une corrélation. La variable dépendante est le prix (Y) alorsque la variable indépendante est le kilométrage (X). En effet le prix dépend dukilométrage. On vous donne la formule tel que Yc = 17.1 + -.0902 (X) Remarquez queles montants ont été réduits sur une base de mille. Aussi 17.1 = 17,100. Les deuxmoyennes sont non nécessaires dans la résolution du problème. Il s’agit donc toutsimplement d’utiliser la formule en remplaçant X par 45 puisque 45,000 = 45. Donc :Yc = 17.1 + - .0902 (45) = 17.1 + - 4.059 = 13.041 ou $13 041. Il ne faut pas oublier qu’ils’agit d’une dépréciation et que, conséquemment, la pente est négative.2. Pour cette même étude on retrouve un r de -0.756. cela veut dire :a) que la pente est de -0.756 b) que 75.6% de la variation du prix est dû aukilométrage c) que la corrélation entre les deux variables est importanted) b et c e) Aucune de ces réponsesRÉPONSE : Par définition r indique le coefficient de corrélation. Le coefficient decorrélation prend le signe de la pente. La réponse est donc c). Le r2 serait de .869 et donc86.9% de la variation de Y (la variation du prix) serait attribuable à la variation de X (lavariation du kilométrage).3. Pour une autre marque de voiture on estime, grâce à un calcul basé sur une régressionlinéaire, que la valeur d’une voiture de 100,000 km est $8,500. L’erreur type est de$1,500. Alors 95% des voitures auraient une valeur se situant entre :RÉPONSE : Il s’agit simplement d’appliquer la formule de l’intervalle de prédiction telque :8,500 ± (1.96) (1500) On utilise 1.96 puisque la question porte sur 95%. Donc nousavons 8,500 ± 2940. Ainsi, 95% des voitures de 100 000 km auront un prix qui oscilleraentre $5 560 et $11 440.3. Selon l’institut de la statistique du Québec, l’île de Montréal compte près de 1 millionde femmes, ce qui représente 51.5% de la population totale de la région. Les hommesforment donc 48.5% de la population. La région de Montréal dénombre 1.9 milliond’habitants, ce qui constitue le quart de la population du Québec. En utilisant unebinomiale, quelle est la probabilité que dans un échantillon de 10 personnes choisies auhasard il y ait exactement 7 femmes?

RÉPONSE : Il y a 2 éléments importants à retenir dans la question : 1) Il s’agitd’une binomiale; 2) il y a 51.5% de femmes dans la population et donc 48.5%d’hommes. Bien qu’il soit possible de déterminer le nombre de femmes (51.5% de 1.9millions), la question vise de répondre par le biais d’une binomiale. Donc :⎛10⎞⎜ ⎟⎝7⎠13.2%(.515) 7 (.48.5) 3= 120 (.00960839) (.114084125) = 120 (.001096165) =.1315 ou4. On effectue une analyse de variance et on obtient le résultat suivant :F (2,7) = 1,67 ns (0,05). Ceci veut dire :a. Qu’avec 2.7 degrés de liberté et un résultat de 1,67 la relation entre lesdeux variables n est significative à 0.05.b. Que le degré de liberté intergroupe est de 2 et celui de l’intragroupe est de7 que le résultat est de 1,67 et que le tout est non significatif à 0.05c. Que la fréquence est de 27 et que le t de Student (F) est de 1,67 et qu’avecun n de cette taille le tout est significatif (s) 95% des foisd. Que les deux variables sont dépendantese. Aucune de ces réponsesRÉPONSE : F confirme qu’il s’agit bien d’une analyse de variance; (2,7) signifie qu’il ya 2 degré de liberté intergroupe et 7 degré de liberté intra groupe; 1,67 est le résultat ducalcul de l’analyse de variance; n.s. signifie « non significatif »; (0.05) signifie à unniveau alpha de 5%. Une vérification dans la table du F pour alpha .05 confirme que lerésultat est effectivement non significatif à ce niveau. La bonne réponse est b)5. Combien y avait-il de personnes dans ce calcul?RÉPONSE : Il s’agit de faire une simple règle de trois. Sachant que le dl intergroupe estégal à k-1 donc k-1= 2 ainsi 2+1 = k. Il y a donc trois groupes. Sachant que le dlintergroupe est égal à N-k donc N-3=7 N= 7+3 =10 Il y a donc 10 observations. La bonneréponse est donc 10.6. Un fonctionnaire du ministère du revenu sélectionne au hasard 3 personnes à partird’une liste de 16 personnes. Ce qu’il ignore, c’est que 6 de ces personnes ont fraudé lefisc. Quelle est la probabilité qu’il sélectionne exactement deux contribuables qui ontfraudé le fisc? (Fournir le calcul)RÉPONSE : Il est possible de connaître le nombre de fraudeurs dans la liste. Il y a 6personnes sur 16 qui ont fraudés le fisc donc 10 qui n’ont pas fraudés le fisc. Sachant cela(nous le savons mais l’inspecteur lui l’ignore) nous pouvons donc calculer la probabilitégrâce à une hypergéométrique.

⎛6⎞⎛10⎞⎜ ⎟⎜⎟⎝2⎠⎝1⎠= .2678 ou 26,8%⎛16⎞⎜ ⎟⎝3⎠7. Le gouvernement estime qu’il faut absolument corriger la croissance de l’endettementdu pays, car si rien n’est fait, l’endettement sera catastrophique en l’an 2030. Pour arriverà cette conclusion le ministre des finances a fait un calcul sur la croissance del’endettement sur une période de 11 ans avec comme point de référence central l’an 2000.Il en a dérivé l’équation suivante : Yt = 230 + 12 (X) milliards de dollars. L’endettementdu pays serait donc en 2030 de :a) Impossible de faire le calcul b) 24590 c) 590 d) 24200 e) 2760 f) aucune de cesréponses (Fournir le détail de votre réponse calculs ou une explication)RÉPONSE : Il s’agit ici d’un trend puisque le calcul s’effectue en fonction des années.L’évaluation s’est fait sur une période de 11 ans et comme point milieu l’an 2000. L’an2000 est donc la 6 e années d’observation. Dans le cadre d’un trend on sait que la variabledépendante X est représentée par le nombre d’années avant ou après l’année de référence.Cette dernière prend alors la valeur de X=0. Donc l’an 2000 = 0. Dans le présent cas, Xpour l’an 2030 = 30. Alors, Yt = 230 + 12 (30) = 230 + 360 = 590. La bonne réponse estc). NOTE : Il est important de se souvenir que le calcul du a et du b de l’équation estdifférent que pour une régression simple.8. Des groupes environnementaux affirment qu’il y a un changement majeur dans latempérature et que cela s’observe par plus de pluie dans certaines régions. La moyennedes précipitations pour un échantillon de 10 régions est de 130 cm alors que la moyennenationale est de 120 cm. L’écart type est de 19,67. Les environnementalistes ont-ilsraison? Pour répondre à cette question vous calculez un t de Student. Ce dernier est de :9. Suite à votre calcul les environnementalistes ont-ils raison?a) Oui car on rejette Ho b) Non car on accepte Ho c) Impossible de savoir pcq le calculest impossible à faire d) Aucune de ces réponsesRÉPONSE : Il est effectivement possible de faire un t de Student ici puisque nous avonsles deux moyennes, la taille de l’échantillon et l’écart type. Nous avons donc :X i− µ 130 −120 10 10= == = 1,6076s 19,67 19,67 6,2202...n 10 3,1622..

Il y a 9 dl (10-1=9). En consultant la table du t de Student on remarque que la valeurcritique pour un test bilatéral à alpha .05 est de 2.262. Comme le résultat du t de Studentest plus petit que la valeur critique on accepte l’hypothèse nulle (Ho) et on affirme qu’iln’y a pas de différence statistiquement significative entre les moyenne. Lesenvironnementalistes, dans ce cas ci, ont tort. La réponse à la question 9 est b).10. Une compagnie pharmaceutique est fière d’annoncer la découverte d’un nouveaumédicament pour combattre une maladie infectieuse. De plus, il annonce qu’une dose de81mg est plus efficace qu’une dose de 72g. Le chercheur a effectué un t de Student surdeux échantillons différents et de taille inégale afin de valider son affirmation. Lechercheur obtient un t de 2,66 avec 15 dl alors avec un test bilatéral à un seuil de 5% :a) On accepte Ho b) On rejette Ho c) Impossible d’interpréter ce résultat d) aucune de cesréponsesRÉPONSE : Il s’agit ici de simplement interpréter le résultat. En consultant la table onnote que la valeur critique est de 2.131 pour un test bilatéral à alpha .05. Le résultat du test de 2,66 donc plus grand que la valeur critique. On rejette Ho. La réponse est b) Note :On rejette également Ho à un niveau alpha .02 bilatéral, puisque la valeur critique est de2.602.11. On désire savoir s’il existe une différence entre les hommes et les femmes concernantun projet d’agrandissement d’un centre commercial dans leur quartier. Voici les résultatsd’une enquête sur le sujet :D’accord Pas d’accord TotalHommes 100 350 450Femmes 85 365 450Total 185 715 900Est-ce qu’il y a une différence statistiquement significative entre les deux sexes.Expliquez. Quelle est la marge d’erreur de cette enquête?RÉPONSE : Nous sommes en présence de deux variables utilisant une échelle nominale.Il est alors tout à fait logique de calculer un khi deux. Il faut donc compléter le tableau encalculant les fréquences théoriques. Nous représentons les Fe entre parenthèse. Onobtient les Fe en multipliant le total de la rangé par le total de la colonne et divisant letout par le grand total. On répète l’opération pour chacune des cellules. À titre d’exemplela Fe pour la cellule Hommes/d’accord est 450x185/900 = 92,5 (Nous allons obtenir lemême Fe pour Femmes/D’accord pcq il y a les totaux sont identiques). Le tableau seprésente donc comme suit :

D’accord Pas d’accord TotalHommes 100350450(92,5)(357,5)Femmes 8536545092,5)(357,5)Total 185 715 900Nous sommes donc en mesure de calculer le khi deux :( 100 − 92,5)92,52+ ( 85 − 92,5 )92,52+ ( 350 − 357,5 )357,52+ ( 365 − 357,5 )357,52=( 7,5)92,52+ ( )2− 7,5 ( − 7,5)92,5 357,52+ ( ) 27,5=357, 556,25+92,556,2592,5+56,25+357,556,25357,5= ,6081 + ,6081 + 0,1573 + 0,1573 = 1,53Le Khi deux est de 1,53. Il y a 1 dl puisque (2-1)* (2-1) = 1La valeur critique à un seuil de 0,05 est de 3,84. Comme le Khi deux est plus petit que lavaleur critique nous acceptons l’hypothèse nulle Ho et affirmons qu’il n’y a pas dedifférence statistiquement significative entre les hommes et les femmes et leur niveaud’accord ou de désaccord.12. Dans un texte sur les médecins on explique que « Des résultats de chi-deux (sic)concernant les caractéristiques socioprofessionnelles, on peut retenir que les médecinstrès expérimentés, soit ceux qui comptent 20 ans de pratique et plus se distinguent deceux qui ont moins de 20 ans de pratique sur le nombre et la durée de la consultation, laclientèle et la formation. » Plus loin les auteurs affirment que les médecins moinsexpérimentés « ont une plus grande proportion de leur clientèle composées d’adolescentsalors que les médecins très expérimentés est davantage composée d’adultes et depersonnes âgées » Enfin les auteurs affirment que « les (médecins) hommes ontd’avantage une clientèle majoritairement composée de personnes âgées alors que laclientèle des femmes est composée d’avantage d’adolescent » Clientèle personnes âgéesχ2 (2) 23,452 p

13. Suite à un sondage auprès d’un échantillon de 50 travailleurs on calcule que lamoyenne des salaires de l’ensemble des 500 travailleurs qui composent la population estde $35,425. L’écart type de l’échantillon est $1,937. Calculez la marge d’erreur etétablissez la moyenne des salaires de la population avec un intervalle de confiance de95%.RÉPONSE : Il s’agit ici de déterminer l’intervalle de confiance. Nous avons l’écarttype s qui est égal à $1,937. L’écart type estimé de la population est obtenu par la^n sformule suivante : σ y = 1−N n50 19371937Donc 1− = 1− .10 = , 90 273.933167 =500 50 7,07106...(0,948683298) * 273.933167 = 259,88^L’intervalle est obtenu par y ± 2σ y donc $ 35,425 ± 2(259,88)= $ 35,425 ± 519, 76La moyenne de la population se situe entre $34 905,24 et $35 944,7614. La dépréciation pour une certaine voiture est de $2,647 par année. Combien vaut unevoiture de 4 ans Si cette dernière vaut au départ $20,000?RÉPONSE : Nous pouvons construire l’équation de régression comme suit:Yc = a + b(X) tel que Yc = 20000 + - 2647 (4) = 20000 – 10588 = 9412. La voiture vaut$9 412.15. Si l’erreur type est de $1,960 alors 95% des voitures de 5ans valent entre$_______________ et $_________________RÉPONSE: Yc = a + b(X) tel que Yc = 20000 + - 2647 (5) = 20000 – 13235 = 6765Une voiture de 5 ans vaut $6 765 ± (1.96) (1 960) = $6 765 ± 3 841,60. La voiture vautdon centre $2 923,40 et $10 606,6016. Si le coefficient de corrélation est de .90 entre la valeur de la voiture et le nombred’année alors cela signifie :a) que 90% de la variation de la valeur de la voiture est attribuable à la variation dunombre d’année b) que 95% de la variation de la valeur de la voiture est attribuable à lavariation du nombre d’année c) que 81% de la variation de la valeur de la voiture estattribuable à la variation du nombre d’année d) Impossible d’interpréter le résultat e)Aucune de ces réponsesRÉPONSE : La réponse est c puisque r 2 = ,90 2 = 0,81