Ensemble de Cantor

Or, on a d’autre part, d’après (2) :etS (f; n ; n ) =S f; n ; 0 n =nXf ( n (i)) 1 n = 1 nX1 = 1ni=1nXi=1i=1f 0 n(i) 1n = 1 nX0 = 0 ,ni=1et donc S (f; n ; n ) S f; n ; 0 n = 1 ,ce qui contredit l’inégalité (3). Ainsi la limite I R (f) dans (1) di¤ère selon l’ensemble n considéré, ce qui n’estpas possible.La fonction f n’est donc pas Riemann-intégrable.Par contre, l’intégrale de Lebesgue I L (f) de f s’écrit 1 :ZI L (f) = fd==ZZ[0;1][0;1]\Q[0;1]\QZfd +Z1d +[0;1] Q[0;1] Qfd= 1 ([0; 1] \ Q) + 0 ([0; 1] Q)= 1 0 + 0 1= 00d (4)Ainsi, la fonction f est bien Lebesgue-intégrable, et son intégrale est nulle. En réalité, cela provient simplementdu fait que f est une fonction nulle presque partout : on aboutirait au même résultat avec la fonction g dé…niesur [0; 1] par1 si x 2 Cg(x) =0 si x =2 Coù C est l’ensemble de Cantor, dont on montre ci-dessous qu’il est de mesure de Lebesgue nulle bien qu’il soitnon-dénombrable.Ensemble de CantorNotons C 0 l’intervalle [0; 1]. On construit C 1 à partir de C 0 en enlevant l’intervalle central ]1=3; 2=3[. On adonc C 1 = [0; 1=3] [ [2=3; 1].De la même façon, on dé…nit C 2 en enlevant de C 1 les intervalles ]1=9; 2=9[ et ]7=9; 8=9[, soit C 2 = [0; 1=9] [[2=9; 3=9] [ [6=9; 7=9] [ [8=9; 1].On construit ainsi de proche en proche C n à partir de C n 1 en enlevant dans chaque intervalle de C n 1 (delongueur 1=3 n 1 ) l’intervalle central (de longueur 1=3 n ).On pose alors :C = +1 \n=1C n1 Noter que l’expression de I L (f) donnée dans (4) provient de la construction même de l’intégrale de Lebesgue à partir defonctions dites étagées, ou simples, c’est-à-dire prenant un ensemble …ni de valeurs, sur des ensembles mesurables disjoints - maispas nécessairement adjacents.2