Ensemble de Cantor

Or, on a d’autre part, d’après (2) :etS (f; n ; n ) =S f; n ; 0 n =nXf ( n (i)) 1 n = 1 nX1 = 1ni=1nXi=1i=1f 0 n(i) 1n = 1 nX0 = 0 ,ni=1et donc S (f; n ; n ) S f; n ; 0 n = 1 ,ce qui contredit l’inégalité (3). Ainsi la limite I R (f) dans (1) di¤ère selon l’ensemble n considéré, ce qui n’estpas possible.La fonction f n’est donc pas Riemann-intégrable.Par contre, l’intégrale de Lebesgue I L (f) de f s’écrit 1 :ZI L (f) = fd==ZZ[0;1][0;1]\Q[0;1]\QZfd +Z1d +[0;1] Q[0;1] Qfd= 1 ([0; 1] \ Q) + 0 ([0; 1] Q)= 1 0 + 0 1= 00d (4)Ainsi, la fonction f est bien Lebesgue-intégrable, et son intégrale est nulle. En réalité, cela provient simplementdu fait que f est une fonction nulle presque partout : on aboutirait au même résultat avec la fonction g dé…niesur [0; 1] par1 si x 2 Cg(x) =0 si x =2 Coù C est l’ensemble de Cantor, dont on montre ci-dessous qu’il est de mesure de Lebesgue nulle bien qu’il soitnon-dénombrable.Ensemble de CantorNotons C 0 l’intervalle [0; 1]. On construit C 1 à partir de C 0 en enlevant l’intervalle central ]1=3; 2=3[. On adonc C 1 = [0; 1=3] [ [2=3; 1].De la même façon, on dé…nit C 2 en enlevant de C 1 les intervalles ]1=9; 2=9[ et ]7=9; 8=9[, soit C 2 = [0; 1=9] [[2=9; 3=9] [ [6=9; 7=9] [ [8=9; 1].On construit ainsi de proche en proche C n à partir de C n 1 en enlevant dans chaque intervalle de C n 1 (delongueur 1=3 n 1 ) l’intervalle central (de longueur 1=3 n ).On pose alors :C = +1 \n=1C n1 Noter que l’expression de I L (f) donnée dans (4) provient de la construction même de l’intégrale de Lebesgue à partir defonctions dites étagées, ou simples, c’est-à-dire prenant un ensemble …ni de valeurs, sur des ensembles mesurables disjoints - maispas nécessairement adjacents.2

L’ensemble C est appelé ensemble de Cantor. Montrons maintenant qu’il possède les deux propriétés suivantes:1) l’ensemble de Cantor est de mesure de Lebesgue nulle :En e¤et, chaque ensemble C n est constitué de 2 n intervalles fermés notés (I n;k ) 1k2 n, tous de longueur (doncde mesure de Lebesgue) 1=3 n .Chaque ensemble C n est donc fermé comme réunion …nie d’intervalles fermés. Ainsi, C est également fermé(intersection dénombrable de fermés).De plus, la suite (C n ) n2Nest une suite décroissante, c’est-à-dire C n+1 C n . On a donc :(C n+1 ) (C n )où désigne la mesure de Lebesgue. D’après le théorème de continuité décroissante, on a alors :(C) = ( +1 \n=1C n ) = limn!+1 (C n) =lim2 n Xn!+1k=1 n 21=3 n = lim = 0n!+1 32) l’ensemble de Cantor n’est pas dénombrable :On commence par montrer le résultat suivant :lemme : tout élément x de C peut s’écrire de façon unique sous la forme suivante (appelée “décompositiondyadique”) :x =+1X x nn=13 n avec x n 2 f0; 2g (5)Réciproquement, tout réel x de la forme (5) est élément de C.Preuve : C est constitué des bornes des intervalles (I n;k ) 1k2 n ;n1. Tout élément x de C peut donc s’écriresous la formex =+1X x nn=13 n avec x n 2 f0; 1; 2gOn fait ainsi correspondre à x la suite (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ; : : :) 2 f0; 1; 2g N .On va alors montrer que tout élément de C associé à une suite du type (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n0 1;1; x n0+1; : : :) peut en faitêtre représenté par la suite (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n0 1; 0; 2; 2; : : : ; 2; : : :) ou par la suite (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n0 1; 2; 0; 0; : : : ; 0; : : :).Désignons donc par n 0 le premier entier (s’il existe) tel que x n0 = 1. Alors, x est une borne supérieure d’unintervalle I n0;k 0. De plus, on a :xXn 0x nn=13 n +1Xn=n 0+123 n = 2 X+1 13 n0+1 3 n = 13 = (I n0 n 0;k 0)n=0Supposons alors que les (x n ) nn0+1 ne sont pas tous nuls, et qu’il existe n n 0 + 1 tel que x n 6= 2. On a alors0 < xXn 0x nn=13 n < 1 . (6)n03Or,Pn 0n=1x n3 n représente la borne supérieure de l’intervalle I n0;k 0, et, par construction de C, l’intervalle ouvert de1longueur3se trouvant à droite de ce point n’appartient pas à C (puisque cet intervalle a été enlevé lors den 0la construction de C n0+1 à partir de C n0 ). Mais d’après (6), x “tombe”dans cet intervalle. Cela implique quex =2 C.Ainsi, x ne peut être représenté que par l’une des deux suites suivantesx 1 n n2N = (x 1; x 2 ; : : : ; x n0 1; 1; 0; 0; : : : ; 0; : : :)3

ouDans le cas dex 1 n n2N , on a : x =que l’on peut écrire sous la formeAinsi, la suiteDans le cas dex 2 n n2N = (x 1; x 2 ; : : : ; x n0 1; 1; 2; 2; : : : ; 2; : : :)x =nX0 1n=1x 1 n peut également s’écriren2Nx 2 n n2N , on a : x =nX0 1n=1x n3 n + 13 , n0x n3 n + 03 + X+1n023 nn=n 0+1x 1 n n2N = (x 1; x 2 ; : : : ; x n0 1; 0; 2; 2; : : : ; 2; : : :)Ainsi, la suite=nX0 1n=1nX0 1n=1x n3 n + 13 n0 + +1Xx n3 n + 23 n023 nn=n 0+1x 2 n s’écrit aussi sous la formen2Nx 2 n = (x n2N 1; x 2 ; : : : ; x n0 1; 2; 0; 0; : : : ; 0; : : :)On a donc bien montré que (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n0 1;1; x n0+1; : : :) pouvait être représenté par la suite (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n0 1;0; 2; 2; : : : ; 2; : : :) ou par la suite (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n0 1; 2; 0; 0; : : : ; 0; : : :).Ainsi, tout élément de C s’écrit sous la forme (5). De plus, cette décomposition est unique.En e¤et, supposons que x puisse être représenté par deux suites di¤érentes x 1 n etn2N x2 n . Soit m =n2Nmin n 2 N x 1 n 6= x 2 n . On a alors x 1 m; xm 2 = (2; 0) ou x1m ; xm 2 = (0; 2). On peut supposer que x1m ; xm 2 =(2; 0). On obtient :d’où :x =mX1n=1x 1 n3 n + 23 m + +1Xn=m+1+123 m = XOr, s’il existe n m + 1 tel que x 2 n x 1 n 6= 2, on a :+1Xn=m+1x 2 nx 1 nx 1 m 1n3 n = X x 2 n3 n + 0+13 m + Xn=m+13 n

etx 2 n n2N = (x 1; x 2 ; : : : ; x m 1 ; 0; 2; 2; : : : ; 2; : : :) ,et ces deux écritures sont équivalentes d’après (7). On choisira alors dans ce cas d’associer à x la représentation(8). La forme (5) est alors unique.Réciproquement, soit x véri…ant la relation (5). On a alors :x =lim bx N avec bx N =N!+1NXx n3 nn=1Or, d’après la construction des ensembles (C n ) n2N, on a bx N 2 C N , 8N 2 N. Puisque C = lim C N , on a bienN!+1x 2 C. Le lemme est ainsi démontré.Etant donné le lemme, C est dénombrable si et seulement si il existe une fonction bijective de N dans C telleque : : N ! Cn 7 ! x = +1 POn utilise maintenant le procédé diagonal de Cantor. A chaque entier n = 0; 1; 2; : : : est associé une suitex (n)1 ; x(n) 2 ; : : : ; x(n) k ; : : : 2 f0; 2g N qui représente ses “coordonnées”dans C :k=1x (n)k3 kn = 1 ! x (1)1 ; x(1) 2 ; : : : ; x(1) k ; : : :n = 2 ! x (2)1 ; x(2) 2 ; : : : ; x(2) k ; : : :. ..n ! x (n)1 ; x(n) 2 ; : : : ; x(n) k ; : : : Considérons alors les termes diagonaux . On dé…nit :x (n)nx n =n2N(0 si x (n)n = 22 si x (n)n = 0(9)On pose alorsx =+1X x n3 nn=1Ainsi, d’après le lemme, on a x 2 C (car on a bien x n 2 f0; 2g).Par contre, on a x =2 (N). En e¤et, si on avait x 2 (N), il existerait n 0 2 N (unique) tel que (n 0 ) = x.Or, à (n 0 ) est associé la suite x (n0)1 ; x (n0)2 ; : : : ; x (n0)n 0; : : : , et à x la suite (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n0 ; : : :). Mais d’après(9), on ax n0 6= x (n0)n 0,ce qui contredit le fait que x = (n 0 ) (puisque la décomposition dyadique est unique). Donc x =2 (N).Ainsi, il n’existe pas de bijection entre N et C, ce qui montre que C n’est pas dénombrable.5