Apprendre et s'entraîner à résoudre des problèmes

APPRENDRE ET S’ENTRAINERA RESOUDRE UN PROBLEME MATHEMATIQUEAnimation pédagogiqueBrest IroiseMarianne André, Psychologue Scolaire ERMichel Malgorn, Maître E puis Enseignant ClisNadia Météry, Coordonnatrice RRSSylvaine Talarmin CPCIUFM Brest 28/11/2012

Enjeux de la formation:Comment faire progresser tous les élèves en proposant dessituations adaptées de résolution de problème.Présentation:Compte-rendu d’une expérimentationRéflexions, aspects théoriques…

APPRENDRE À RÉSOUDRE UNPROBLÈME MATHÉMATIQUEExpérimentation « Ecole de Pen ar Streat »« Faire un problème, ce n’est pas un problème ». (Un élève de cycle 3)

Contexte• Mauvais résultats aux évaluations nationales CM2 de janvier 2010.Nouvelle passation en juin 2010; mesure de progrès en numération,calcul et géométrie mais pas en organisation et gestion des données(résolution de problèmes.)Questionnement ! Interrogations!Comment faire progresser tous les élèves enproposant des situations adaptées?

Réflexions, aspect théorique…Les membres du RASED proposent à l’équipe du cycle 3 une expérimentation.Celle -ci débute par une évaluation.Cette première évaluation diagnostique proposée, a été construite en tenantcompte des travaux menés par le groupe de recherche auquel Michel Malgornparticipait et les réflexions et travaux de Marianne André menés depuisplusieurs années.15 problèmes sont proposés aux élèves de CM1 et CM2Listes problèmes.docxMise en situation ( questionnement écrit individuel):« A votre avis, quelles sont les difficultés rencontrées par lesélèves dans chacun des problèmes suivants ? »

6 : Trente-six enfants et quatre adultes montent dans un bus decinquante places. Combien reste-il de places libres dans le bus ?8 : Un maraîcher range ses pommes dans des caissettes qui encontiennent 24. Combien de pommes range-t-il dans 3 caissettes ?10 : 5 enfants partagent 20 bonbons. Combien de bonbons chaqueenfant aura-t-il ?14 : Pour faire un bracelet, Marion utilise 10 perles vertes, 7 perlesrouges et 9 perles bleues. Combien de perles lui faudrait-il pourfabriquer 3 bracelets ?15: Une école souhaite organiser un spectacle avec 5 artistes. Chaqueartiste sera payé cinquante euros. Le voyage des artistes coûtera deuxcents euros. Les parents d’élèves donnent à l’école cent-dix euros et lamairie donne deux-cents quarante euros. Combien d’argent manque-t-ilà l’école pour payer le spectacle ? Vous avez 5 mn...

14: Pour faire un bracelet, Marion utilise 10 perles vertes, 7 perles rouges et 9 perlesbleues. Combien de perles lui faudrait-il pour fabriquer 3 bracelets ?15: Une école souhaite organiser un spectacle avec 5 artistes. Chaque artiste sera payécinquante euros. Le voyage des artistes coûtera deux cents euros. Les parents d’élèvesdonnent à l’école cent-dix euros et la mairie donne deux-cents quarante euros. Combiend’argent manque-t-il à l’école pour payer le spectacle ?

Analyse de l’évaluation d’une classe de CM2 de Brest IroiseSur 25 élèves:- 8 ont réussi entre 7 et11problèmes- 17 ont réussi entre 12 et 15 problèmes- 12 élèves n’ont pas réussi le problème de partage des bonbons- 19 n’ont pas réussi les perles- 23 sur 25 n’ont pas réussi le 15 (spectacle APE)- 4 élèves ont un utilisé un seul schéma et tous pour résoudre le problèmedu partageLes erreurs:- Sens de l’opération- Phrase réponse ne correspondant pas à la question posée: pas dereprésentation mentale- Problèmes complexes: arrêt à la première partie et donc un réponse nerépondant pas à la question posée.

Expérimentation de Pen Ar StréatAnalyse des évaluationsSur 21 élèves , 14 n’ont pas réussi à résoudre la moitié des problèmes.On constate par ailleurs que le recours au schéma est inexistant.Les élèves n’écrivent pas toujours d’opération.La phrase réponse n’apparaît pas toujours ou est incorrecte.Constats- n’utilisent pas le schéma- pour la plupart d’entre eux n’ont ni méthode ni rigueur- ont peur des problèmes- ont de grandes difficultés à analyser une situation mathématique- n’ont pas pour un certain nombre d’entre eux le sens des opérations

Pour pallier à ces difficultés , deux axes de travailsont à privilégier:• Mobiliser des ressources cognitives• Favoriser des attitudes pour apprendre

Les ressources cognitives à mobiliser.• Utiliser les nombres entiers et décimaux• Comprendre le sens des opérations et les utiliser à bonescient• Utiliser les mesures de longueur, masse• Aborder la notion de tout ou partie• Travailler la compréhension de textes• Travailler sur le lexique

Les attitudes pour apprendre.• Se faire des images mentales• Schématiser( lire et réaliser des schémas )• Se concentrer et réfléchir• Travailler seul• Argumenter et expliquer sa démarche• Savoir demander de l’aide de façon pertinente• Accepter l’erreur comme étape de l’apprentissage• Mobiliser des compétences transversales• Combattre des habitudes• Avoir de la rigueur• Dédramatiser le terme « problèmes »• Développer la notion de plaisir pour les élèves• et les enseignants

• Classe de CM2:3 groupes :L’expérimentation. 5 élèves en difficulté sont pris en charge par Marianne André, psychologuescolaire du RASED. 5 élèves en difficulté sont pris en charge par Michel Malgorn, enseignant maîtreE du RASED 15 élèves plus performants mais groupe hétérogène pris en charge par MaryseLe Guen, enseignante de la classeLes séances se déroulent deux fois par semaine et durent 45 minutes« S’entraîner c’est essentiel sinon il n’y a pas d’apprentissage. »

La démarche: une séance avec des élèves en difficultéPrésentation des enjeux de la séance :( clarté cognitive)‣Pourquoi sommes-nous là?‣ De quels outils dispose-t-on pour résoudre ces problèmes?Phase de manipulation:‣Travail sur le sens des opérations et l’organisation du nombre (cartesopérations + objets)‣Travail sur le lexique ( cartes-mots )Phase de transposition‣Apprendre à lire et à réaliser des schémasPhase de réinvestissement‣Résolution de problèmes(Def Clarté cognitive.docx)

Quels Outils ? Pourquoi les utiliser?Les cartes mots : Pourquoi ?Pour travailler le lexique et associer une opération mathématique au mot ou àl’expression.Les objets pour la manipulation: (jetons, bûchettes, tableaux de Montessori)Les cartes opérations : Pourquoi ?‣ Pour travailler le sens des opérations.‣ Pour travailler l’organisation du nombreLes carnets de schémas Pourquoi ?‣ Pour apprendre à lire un schéma‣ Pour apprendre à faire un schémaLe But : Associer un schéma et une opération afin de les utiliser dans larésolution des problèmes

Les carnets de problèmes: Pourquoi ?‣Pour travailler la résolution de problèmes‣Pour favoriser le transfert des compétences acquises par les cartes mots,cartes opérations et carnet de schémas.Les batteries de situations utilisées en CM2Les élèves travaillent en autonomie. Chacun avance à son rythme, lessituations sont déclinées sur un même thème avec une graduation de ladifficulté.Les exigences‣1 schéma pour concrétiser l’opérationDes controverses existent sur cette question mais dans le champ de la difficulté,le choix de cette étape permet de donner aux élèves toutes les clefsnécessaires. On pourra faire l’économie de cette étape pour les plus forts.

Ce schéma permet d’exiger des explications car le calcul ne suffit pas, pouréviter l’intuition et être sur de la pensée et des images mentales.‣La présence des opérations‣1 phrase réponse sans faute d’orthographe‣les carnets de problèmes : lire 3 fois le texte, souligner la question,échanger sur la situation en reformulantLa calculatrice est utilisée pour casser la mauvaise habitude du calcul à toutprix, montrer que c’est le raisonnement le plus important, gagner du temps.Nous ne sommes pas dans la technique

Entraînement à la résolution de problèmes CM1 - CM2De septembre 2010 - juin 2011Groupes RASEDLes premières séances : 1 ère période(pendant 10 semaines à raison de 2 fois par semaine)

1. Rappel du but de ces séances :« Pourquoi êtes-vous là ? »Pour apprendre à résoudre des problèmes.« De quoi dispose-t-on pour résoudre les problèmes ? »• on dispose de 4 opérations : addition, soustraction, multiplication, division• il est nécessaire d’ apprendre et de mémoriser les termes exacts(et non plus : plus, moins, fois…).

2. Manipulation : (pendant 10 à 15 minutes)Les élèves reçoivent une carte opérationo ils doivent l’illustrer avec des bûchettes, des jetons, des pions, du matérielMontessori…o et donner le nom de l’opération en y associant le terme somme, différence, produitou quotient et verbaliser leur action.Ces situations ont conduit à des discussions et à des réflexions sur lacommutativité de l’addition et de la multiplication

3. Lecture et réalisation de schémas (pendant 10 à 15 minutes)→ pour comprendre le sens des opérationsFiches que les élèves complètent : (6 présentations par fiche / 3 à 4 fiches parséance)

4. Résolution de problèmes : (15 à 20 minutes)• Pour commencer des extraits de problèmes sont proposés aux élèves.Au début de l’expérimentation, nous avons proposé d’emblée des énoncés complets auxenfants mais ces derniers rencontraient d’importantes difficultés à trier les informationsdonnées et à se faire des images mentales, d’où la mise en place de cette étape « Extraitsde problèmes ».On leur demande de se faire des images puis de schématiser ce qui est écrit et d’écrirel’opération qui correspond au schéma.

• Durant cette période, ce sont des problèmes simples qui ont été donnés auxélèves (1 ou 2 opérations).On leur demandait de :-lire le texte au minimum 2 fois,-d’être capable de le reformuler,-de surligner la question- de faire un schéma-d’écrire l’opération correspondante au schéma-d’écrire la phrase réponse sans erreur (exigence au niveau de la formulation et del’orthographe).A noter que les élèves disposaient des calculatrices pour gagner du temps et biense focaliser sur le raisonnement mathématique.

Pendant une période assez longue, il a fallu lutter contre l’habitudequ’avaient développée les élèves à vouloir à tout prix trouver le résultat etcela sans prendre le temps de vraiment réfléchir et raisonner…Nous avons aussi tenté de leur apprendre à ne plus avoir « peur » desproblèmes et à ce que cela entraînait : " C’est trop dur." "Je n’aime pas lesproblèmes." "De toute façon, je n’y arriverai jamais." "Je suis nul(le) enmathématiques." "Je n’y comprends rien.«Durant ces séances, nous avons tenté de faire de la résolutionde problèmes un moment de plaisir et de réussite.

Lorsque nous avons commencé cette expérimentation, nous pensions pouvoird’emblée aborder la résolution de problèmes.Mais il nous a fallu revoir ce que nous avions prévu et construire les séancesau fur et à mesure de l’évolution des élèves .Nous avons dû commencer par reprendre :‣l’étude du sens des 4 opérations,‣revoir des notions que nous supposions acquises et qui ne l’étaient pas(autant, de plus, de moins, le triple, la moitié…). Certes les élèvesconnaissaient ces mots mais n’en connaissaient pas vraiment le sens, ne lesvisualisaient pas ou peu ou mal et se trouvaient dans l’incapacité de lesexpliciter et de les représenter.‣Leur apprendre à schématiser et à différencier schéma et dessin.

Nous savons que:‣ certains élèves n’ont pas besoin de schématiser pour comprendre etrésoudre des problèmes‣ certains auteurs estiment que ces représentations sont avant tout desreprésentations d’adultes et donc peu accessibles aux enfants des classesélémentaires…Cependant nous avons décidé d’exiger cette étape dans notreexpérimentation afin de donner aux élèves un outil supplémentaire pour larésolution.

Les séances suivantes : 2 ème périodeRappel du but de ces séances :« Pourquoi êtes-vous là ? »- pour apprendre à résoudre des problèmes« De quoi dispose-t-on pour résoudre les problèmes ?- pour résoudre les problèmes, on dispose de 4 opérations : addition,soustraction, multiplication, division« Comment fait-on pour résoudre un problème ? »- pour résoudre un problème, il faut d’abord lire le texte 2 ou 3 fois,comprendre en se faisant des images…

2. Travail sur le lexique : (5 minutes)Les élèves reçoivent une carte qu’ils lisent à voix haute et à laquelle ils doivent associerune opération.Un jeu d’une cinquantaine de cartes a été réalisé. Les enseignantes ont un exemplaire etl’utilisent également dans leur classe pendant les séances-problèmes.

3. Carnet de schémas : (15 minutes)→ Pour apprendre à lire et à réaliser des schémas.Jusqu’alors les schémas se faisaient sur des feuilles volantes données àchaque élève au fur et à mesure de ses progrès et cela devenait difficile àgérer d’où l’idée de réaliser ces carnets.Au cours de chaque séance, l’adulte demande à chacun d’inventer un énoncéde problème pour illustrer un ou deux des schémas qu’il a réalisés ou qu’il atraduits en opération.

4. Résolution de problèmes : (15 à 20 minutes)• Un problème collectif est proposé (texte présenté sur un pupitre).Les élèves le lisent 2 à 3 fois silencieusement,l’adulte le lit à voix haute puis le texte est cachéon leur demande de le reformuler, d’expliquer ce qui se passe et où cela sepasse et enfin ce qu’ils vont devoir chercher.Ceci a pour but d’aider les enfants-à se faire des images mentales-- à acquérir un savoir-faire face à un problème en travaillant notamment surle vocabulaire et l’attitude-- à comprendre un énoncé

Texte proposé:Jean achète une cravate qui coûte 26 euros, un bermuda valant 38 euros et troispaires de chaussettes à 8 euros chaque. Il donne un billet à la vendeuse et celle-cilui rend 12 euros. Un billet de combien d’euros Jean a-t-il donné à la vendeuse ?Texte caché-De qui parle-t-on ? → De Jean.- Où est-il ? → Dans un magasin.-Dans quel genre de magasin ? → Un magasin de vêtements ou un rayonvêtements d’un grand magasin.- Qu’a-t-il fait ? → Il a acheté des chaussettes, une cravate et un bermuda.- Dans quel endroit du magasin exactement est-il ? → Il est à la caisse.- Que cherche-t-on ? → On cherche combien d’euros il a donnés à lavendeuse-De quoi devra parler la réponse? → D’euros.Face à ce genre d’énoncé, il a fallu à plusieurs reprises, jouer la scène en utilisant des pièces et desbillets, les enfants ayant des difficultés à comprendre et accepter que lorsqu’on achète quelque chose,on entre et on sort du magasin avec la même somme : une partie de cette somme s’étant transforméeen achats, l’autre partie étant l’argent rendu…

• Travail sur le « tout et partie »Depuis le mois d’avril, les notions de « tout » et « partie » ont été introduites ettravailler à chaque séance.- Pour chercher un « tout », on dispose de 2 opérations : l’addition et lamultiplication. »- Pour chercher une « partie », on dispose de 2 opérations : la soustraction et ladivision.Ces notions sont travaillées et entraînées avec une batterie de problèmes courtslus 2 fois par l’adulte.Les élèves ne voient pas le texte travail sur la mémoire de travail, lareprésentation mentale, le sens des opérations et le raisonnementmathématique.Les élèves résolvent rapidement ces problèmes sur ardoise (dans cet exercice, onleur demande de faire un schéma et l’opération correspondante).

Quelques exemples-Pour faire 7 pulls identiques, il faut 56 pelotes de laine. Combien de pelotes fautilpour faire 14 pulls ?-- Il a acheté un pantalon à 27€ et une chemise à 19€. On lui rend 4€. Combiend’euros a-t-il donnés ?-- Il a perdu 27 cartes. A présent, il en a 19. Combien de cartes avait-il au départ ?-- Sachant qu’il faut 162 perles pour réaliser 6 bracelets identiques, combien fautilde perles pour faire un bracelet ? 12 bracelets ? 18 bracelets ?-- Elle a rempli 3 cartons contenant chacun 24 boîtes de 6 œufs. Combien a-t-elled’œufs ?-- Sachant qu’une brique mesure 45 cm de long, combien faut-il de briques pourfaire une bordure de 540 cm de long ?

• Carnet de problèmes :Comme précédemment, on leur demande de :-lire le texte au minimum 2 fois,-d’être capable de le reformuler,-de surligner la question-de faire un schéma ou des schémas-d’écrire l’opération (ou les opérations) correspondante(s) au(x) schéma(s)-d’écrire la phrase réponse sans erreur (exigence au niveau de laformulation et de l’orthographe).

• Les problèmes déclinés La déclinaison consiste à proposer un même problèmes dont l’énoncése complexifie. Il y a donc six versions du même problème à disposition de chaqueélève. Quand un élève a résolu le problème 1, il le présente à l’enseignante.Si le raisonnement est validé il passe au suivant et ainsi de suite. Cela permet à chacun de progresser à son rythme et d’avoir unéchange individuel avec l’enseignante à chaque étape.La répétition des situations-problèmes constitue en soi un apprentissage.En partant d’un même énonce qui se complexifie, on élimine l’effet desurprise qui peut désarçonner certains élèves: on facilite ainsi la penséeet le raisonnement.

Evaluation CM2 janvier 2011- Résultats en hausse- Les élèves sont plus performants- Des efforts dans la présentation- Des traces de réflexion (schémas)Premiers ConstatsDe la part des élèves et des enseignants- Du plaisir partagé par tous (élèves et enseignants) « les enfants souhaitent finir àla maison entre 12h et 14h parfois » « ils aiment les problèmes, moi aussi »- Moins de réticences des enseignants pour « faire des problèmes »- Des exigences fortes- Ambition pour les élèves et lutter contre le déterminisme- Tous les élèves cherchent « ils savent ce que résoudre un problème signifie : onconstruit du sens »- Une différentiation est proposée grâce à l’organisation- Plaisir de raisonner sans danger- Autonomie des élèves- Sens des opérations

BibliographieAppuis théoriques-Comptes pour petits et grands (Ed Magnard) Stella Baruk-Le nombre et la numération (Ed Papyrus) Michelle Bacquet et Bernadette Gueritte-Hess-Difficultés en mathématiques : Evaluation et rééducation ( Ed Papyrus, ISOSCEL)Hélène Koppel-L’enfant en difficulté d’apprentissage en mathématiques C.Van Nieuwerhoven etS.De Vriendt-Troubles du langage et dyscalculies chez l’enfant ( Ed Masson) Anne Van Hout etClaire Meljac-Ouvrages de Montessori-Psychologie des apprentissages scolaires sous la direction de M.Crahay et M.Dutrévis

Apprendre et s’entraîner à résoudre des problèmes:Des propositions de travail pour une progressivité des apprentissages:Niveau 1 : Transposition de la démarche expérimentée à Pen-ar-Stréat• Premiers apprentissages pour tous sur quelques séances à partir du CE2 jusqu’au CM2• Elèves fragiles : aussi longtemps que nécessaire en différenciation de classe (CE2,CM1,CM2)• Elèves en difficulté : en aide personnalisée. (CE2,CM1,CM2)Niveau 2: Carnets de problèmes (Type Macmaths RRS)Problèmes Macmaths CE2\Carnets problèmes Niv 2.docNiveau 3: Problèmes déclinés et 100% ProblèmesProblèmes Macmaths CE2\Problèmes Niv 3.docNiveau 4: Démarche automatisée, vers une complexification des problèmes proposés.