Arbres binaires de recherche

IntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loinArbres binaires de rechercheThomas BlancTerminale de l’école Alsacienne22 novembre 2012ThomasCours d’informatique

IntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loin1 IntroductionStructures de rangementsLes arbres2 Arbres binaires de rechercheIdée générale3 Algorithmes sur les ABRMaximum, minimum, successeur et prédécesseurFusionSuppression4 Pour aller plus loinDéfauts de la structure d’ABRAutres structures de donnéesThomasCours d’informatique

IntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loinStructures de rangementsLes arbres1 IntroductionStructures de rangementsLes arbres2 Arbres binaires de rechercheIdée générale3 Algorithmes sur les ABRMaximum, minimum, successeur et prédécesseurFusionSuppression4 Pour aller plus loinDéfauts de la structure d’ABRAutres structures de donnéesThomasCours d’informatique

IntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loinComment ranger les donnéesStructures de rangementsLes arbresStructures conteneursLes listesLes tableauxLes tasComment faire une structure souple tout en gardant un accèsrapide ?ThomasCours d’informatique

DéfinitionsIntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loinStructures de rangementsLes arbresArbreUn arbre est une structure composée de nœuds. Tout nœud a uncertain nombre de fils qui sont eux aussi des nœuds. Tout nœud aun seul parent sauf un qui n’en a pas et que l’on nomme racine.Notions utilesArité : L’arité d’un nœud et le nombre de fils qu’il a. L’aritéd’un arbre est l’arité maximale de ses nœuds.Feuille : Une feuille est un nœud d’arité 0.Hauteur : La hauteur d’un nœud est sa distance à la racine (quia donc une hauteur 0). La hauteur d’un arbre est lahauteur maximale de l’arbre.Forêt : Une forêt est un ensemble d’arbres.ThomasCours d’informatique

IntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loinReprésetation en mémoireStructures de rangementsLes arbresStructure effective de l’arbreOn prend chaque nœud comme un couple comprenant d’un coté lavaleur contenu dans le nœud, de l’autre une liste ou un tableaucontenant les adresses mémoires des fils.Cette structure peut aisément être étendue puisque, tout comme laliste, le nombre d’éléments de l’arbre n’est pas déterminé àl’avance, même si l’arité est fixée.Dans certaines représentation, les nœuds ont aussi un pointeur versleur père.ThomasCours d’informatique

IntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loinIdée générale1 IntroductionStructures de rangementsLes arbres2 Arbres binaires de rechercheIdée générale3 Algorithmes sur les ABRMaximum, minimum, successeur et prédécesseurFusionSuppression4 Pour aller plus loinDéfauts de la structure d’ABRAutres structures de donnéesThomasCours d’informatique

IntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loinRecherche dichotomiqueIdée généralePrincipe de rechercheComment trouver rapidement un mot dans le dictionnaire avec unminimum de questions dont les réponses sont oui ou non ?Prendre le mot au milieu du dictionnaire, demander si le motrecherché est avant ou après, et recommencer sur la partie dudictionnaire non-encore éliminée.La découverte du mot est alors en O(log n) où n est la taille dudictionnaire.ThomasCours d’informatique

IntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loinArbre Binaire de RechercheIdée généraleDéfinitionUn arbre binaire de recherche (ABR) est un arbre d’arité 2 où pourtout nœud s étiqueté par le nombre n on a :Tous les nœuds dans le sous-arbre du fils gauche de s ont desétiquettes plus petites que n.Tous les nœuds dans le sous-arbre du fils droit de s ont desétiquettes plus grandes que n.ThomasCours d’informatique

IntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loinRecherche dans un ABRIdée généraleRechercheSi l’on cherche le nœud s étiqueté x. Le temps de recherche seraproportionnel à la hauteur du nœud s.En effet, il suffit pour chaque nœud analysé de comparer l’étiquetteà x, et de choisir en fonction si l’on descend à gauche ou à droite.Cette méthode permet aussi de mettre rapidement un nœud dansl’arbre, en ajoutant le nœud en dessous d’une feuille.ThomasCours d’informatique

IntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loinMaximum, minimum, successeur et prédécesseurFusionSuppression1 IntroductionStructures de rangementsLes arbres2 Arbres binaires de rechercheIdée générale3 Algorithmes sur les ABRMaximum, minimum, successeur et prédécesseurFusionSuppression4 Pour aller plus loinDéfauts de la structure d’ABRAutres structures de donnéesThomasCours d’informatique

IntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loinTrouver les éléments particuliers...Maximum, minimum, successeur et prédécesseurFusionSuppressionMaximum et minimumPour trouver le maximum (resp. minimum), il suffit de toujoursdescendre vers la droite (resp. la gauche).Prédécesseur et successeurPour trouver le successeur (resp. prédécesseur) d’un élément x, ilfaut prendre le minimum (resp. le maximum) du sous-arbrecontenant les éléments plus grands (resp. plus petits) que x.ThomasCours d’informatique

Fusion d’ABRIntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loinMaximum, minimum, successeur et prédécesseurFusionSuppressionFusion de deux arbresOn aimerait fabriquer un ABR contenant l’union des élémentscontenu dans deux ABR. Peut-on faire cela en un minimumd’étapes ?Et si l’on sait que tous les éléments de l’arbre A sont plus petitsque tous les éléments de l’arbre B ?ThomasCours d’informatique

IntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loinSuppression d’un élémentMaximum, minimum, successeur et prédécesseurFusionSuppressionComment supprimer un nœud ?Supprimer une feuille est facile, mais si le nœud est au milieu del’arbre ?La réponse...ThomasCours d’informatique

IntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loinDéfauts de la structure d’ABRAutres structures de données1 IntroductionStructures de rangementsLes arbres2 Arbres binaires de rechercheIdée générale3 Algorithmes sur les ABRMaximum, minimum, successeur et prédécesseurFusionSuppression4 Pour aller plus loinDéfauts de la structure d’ABRAutres structures de donnéesThomasCours d’informatique

IntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loinDéfauts de la structure d’ABRAutres structures de donnéesUn ABR peut avoir une grande hauteurProblème de l’arbre filaireSi les nœuds sont entrés dans l’arbre dans l’ordre, on aura un arbreen forme de liste. La recherche sera alors beaucoup moins efficaceque prévu !Notons que si les nœuds sont entrés au hasard, l’ABR seraéquilibré avec une bonne probabilité.SolutionsIl existe diverses méthodes pour s’assurer d’avoir un ABR équilibré.Elles consistent en général à retenir en plus de l’étiquette du nœudla hauteur de ses sous-arbre et de prendre cela en compte lorsquela hauteur est modifiée.ThomasCours d’informatique

Faciliter la fusionIntroductionArbres binaires de rechercheAlgorithmes sur les ABRPour aller plus loinDéfauts de la structure d’ABRAutres structures de donnéesStructures de données avancéesOn a vu que la fusion sur un ABR n’était pas évidente. Il existe desstructures plus complexes encore qui permettent à la fois lesmêmes performances en recherche et insertion, tout ayant unebonne vitesse de fusion.On verra peut-être certaines de ces structures à la fin de l’année...ThomasCours d’informatique