Equations différentielles et stabilité

Laboratoire de Mathématiques etApplications de MetzR. ChillPh. AddaAnnée 2005/06Equations différentielles et stabilitéPartiel du 30 janvier 2006, 8h30-11h30(1) On considère l’équation différentielleẏ(t) = y(t) − 2ty(t) ,où y(t) ∈ (0, ∞).(a) Multiplier par y(t), puis poser z(t) := y(t) 2 . De quel type d’équationdifférentielle z est-elle alors solution?(b) Résoudre l’équation trouvée en (a).(c) En déduire les solutions de (E).( )−3 1(2) Soit A =.1 −3(a) Diagonaliser la matrice A. Que peut-on en conclure quant à la stabilité de 0pour l’équation différentielle(E)y ′ (t) = Ay(t) ? (E 0 )Préciser une matrice P tel que P −1 AP = D pour une matrice D diagonale.(b) Calculer e tD . En déduire e tA .(c) Trouver la solution de (E 0 ) pour une condition initiale y(0) = y 0 ∈ R 2 .Pourquoi est-ce qu’on a unicité de solutions pour ce problème?(d) Soit b ∈ R 2 un vecteur fixé. Donner une formule pour la solution deẏ(t) = Ay(t) + b, y(0) = y 0 . (E b )(e) Montrer que (E b ) admet un point d’équilibre unique ω ∈ R 2 ; préciser ω.(f) On pose z(t) := y(t) − ω (où y est solution de (E b )). De quelle équationdifférentielle la fonction z est-elle solution? En déduire que ω est globalementasymptotiquement stable.Tourner S.V.P.1

(3) Soit f ∈ C 1 (R) telle que f(0) = 0. On considère l’équation différentielle{ẋ(t) = y(t) − f(x(t)),(E)ẏ(t) = −x(t).(a) Déterminer tous les points d’équilibre de (E).(b) Soit f(x) = kx pour une constante k > 0. Montrer que le point (0, 0)est (globalement) asymptotiquement stable. Donner une majoration de‖(x(t), y(t))‖.(c) Soit f ∈ C 1 (R) arbitraire. Montrer que si f ′ (0) ≠ 0, alors on peut détérminerla nature de (0, 0) (stabilité asymptotique, instabilité) par linéarisation.(d) Soit f(x) = x 3 et V (x, y) = x 2 + y 2 . Montrer que V est une fonction deLyapunov pour (E). En déduire que toute solution existe globalement lorsquet → +∞.(e) Trouver une condition simple sur f assurant la stabilité asymptotique globalede (0, 0). Donner un exemple d’une telle fonction f, autre que les exemplesdans (b) et (d).(f) Soit f(x) = x 3 − x 5 . Montrer que toute solution issue de la boule unitéB(0, 1) y reste. En déduire que (0, 0) est asymptotiquement stable.Indication: Utiliser la fonction V définie dans (d).