COURS DE PROBABILITE 2i`eme année d'économie et de gestion ...

COURS DE PROBABILITE2ième année d’économie et de gestion,semestre 2Laurence GRAMMONTLaurence.Grammont@univ-st-etienne.frApril 2, 2004

Contents1 Lois discrètes usuelles 51.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Schéma de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Schéma Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Schéma hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Loi géométrique et loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Couple de variables aléatoires discrètes 192.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.1 Loi de probabilité conjointeLois de probabilité marginales . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Fonction de répartition d’un coupleFonctions de répartition marginales . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Loi de probabilité conditionnelleEspérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1 Corrélation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Indépendance stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Equation d’analyse de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6 Fonction de 2 variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . 262.6.1 Espérance-Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6.2 Calcul de la covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Couple de variables aléatoirescontinues 293.1 Fonction de répartition du couple (X, Y )Fonction de répartition marginale . . . . . . . . . . . . . . . . 293

4 CONTENTS3.2 Fonction densité conjointeFonctions densité marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Variables conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.1 Indépendance en probabilitécovariance-coéfficient de corrélation . . . . . . . . . . . 363.3.2 Fonction de 2 variables aléatoires . . . . . . . . . . . . 384 Loi Normale ou loi de Laplace - Gauss - Généralités 394.1 Définition mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Calculs de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.1 Calculs à partir de N (0, 1) : U . . . . . . . . . . . . . . 414.2.2 Loi Normale qq N (µ, σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 Condition d’application de la loi normale 475.1 Convergence des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.1 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.2 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3 Théorème central-limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.4 Approximation d’une loi B(n, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.5 Approximation d’une loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 525.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Chapter 1Lois discrètes usuelles1.1 IntroductionOn a un phénomène aléatoire que l’on veut comprendre. Ce phénomènealéatoire est a priori complexe et on ne peut calculer directement les probabilitésde ses éventualités.ex : comprendre la dépense annuelle des ménages français pour les loisirs.Par exemple, calculer la probabilité qu’ils dépensent 5 000 F par an. Ondisposed’une population pour laquelle le modèle est destiné,d’un individu etd’un caractère étudié (représenté par une variable aléatoire X).Que fait-on ?1 - Pour avoir une première idée du phénomène représenté par une variablealéatoire X, on peut faire plusieurs observations de X.ex : X = dépense annuelle pour les loisirs d’un ménage (variable aléatoireattachée à un individu). On demande à un certain nombre de ménages sesdépenses annuelles en loisirs. On a donc la valeur de X i . X i étant la dépenseannuelle pour le ménage i.Cette suite d’observation débouche sur la définition d’une variable statistique5

6 CHAPTER 1. LOIS DISCRÈTES USUELLESx souvent décrite de la manière suivante :valeurs de xx ifréquencesn iOn étudie cette variable statistique à l’aide des techniques des statistiquesdescriptives (1 ere année)2 - Il y a quelques lois de probabilité ou lois théoriques qui décrivent assezbien un grand nombre de phénomènes aléatoires. On veut représenter lephénomène aléatoire par une loi de probabilité théorique. Cette modélisationest évidemment plus riche que la représentation par une variable statistique: ici on peut calculer la probabilité de tout événementassocié au phénomènealéatoire. Dans ce chapitre, nous allons fournir un catalogue de lois de probabilitédiscrètes (description, étude) souvent utiles en pratique.Le statisticien plus chevroné construira ses propres modèles théoriques.3 - Après le choix d’un modèle théorique se pose la question suivante : peut-onquantifier l’approximation du phénomène aléatoire par le modèle théorique.1.2 Schéma de BernoulliToute épreuve n’ayant que 2 résultats possibles peut-être considérée commeune situation d’alternative.En d’autres termes, les 2 résultats possibles sont complémentaires l’un del’autre.Il s’agit d’une situation fréquente dans la pratique dès que l’on cherche àmettre en évidence un caractère particulier au sein d’une population :tout individu de cette population peut être décrit selon une alternative : soitil présente ce caractère, soit il ne le présente pas.Exemple : Etude de l’impact d’une campagne publicitaire pour un nouveauproduit.Q1 : Est-ce que l’individu possédait ce produit auparavant ?Q2 : L’individu a-t-il été touché par la campagne ?Q3 : La campagne a-t-elle induit l’achat ?

1.3.SCHÉMA BINOMIAL 7Souvent les résultats possibles sont des objets qualitatifs. Pour les quantifier,il faut leur trouver un codage.On définit ainsi une v.a. X dites de Bernoulli (savant suisse 1654-1705) par0 11 − p pDéfinitionOn réalise une expérience aléatoire qui a 2 résultats possibles : le succès S, de probabilité. p,et l’Echec{E de probabilité 1 − p. La v.a1 si succès est une v.a. de BernoulliX :0 si échecModep > q Mode = 1p < q Mode = 0Médianep > q ⇒ q < 1/2 Me = 1p < q ⇒ q > 1/2 Me = 0PropriétéE(X) = pV (X) = p(1 − p)Remarque :La v.a. de Bernoulli est une v.a. indicatrice : elle indique la réalisationéventuelle de l’événementde probabilité p. Le shéma de Bernoulli est le plussimple des modèles probabilistes.1.3 Schéma BinomialC’est une succession d’épreuves de Bernoulli (n) indépendantes.Définition :

8 CHAPTER 1. LOIS DISCRÈTES USUELLESOn réalise n fois successivement et d’une manière indépendante une expérience aléatoirequi a 2 résultats possibles, S (succès) de probabilité p et E (échec) de probabilité 1 − pX = nombre de succès obtenus est une v.a. binomiale de paramètre n et p.Notation B(n, p).Remarque :On peut également la définir comme une somme de v.a. de Bernoulli.A chaque épreuve i, on associe la v.a. de Bernoulli X iX =n∑X i .i=1Loi de probabilité X ∼ B(n, p)X(Ω) = {0, . . . , n}P (X = k) = Cn k p k (1 − p) n−k ∀k ∈ X(Ω)n : nb d’épreuves,k : nb de S (succès),p : probabilité du succès.PropriétésE(X) = np∥ V (X) = np(1 − p)PropriétéSiX 1 ∼ B(n 1 , p) et X 2 ∼ B(n 2 , p)avecX 1 , X 2 indépendantes, alorsX 1 + X 2 ∼ B(n 1 + n 2 , p)Preuve : somme de v.a Benouilli.Il y a des tables pour éviter de calculer les probabilités d’ événements liés àla loi binomiale. On peut également, dans certains cas, approximer B(n, p)par une autre loi.Exercice :Une machine à embouteiller peut tomber en panne. La probabilité d’unepanne à chaque emploi est de 0,01. La machine doit être utilisée 100 fois.

1.3.SCHÉMA BINOMIAL 9Soit X= nb de pannes obtenues après 100 utilisations.1) Quelle est la loi de X ?Calculer P (X = 0) ; P (X = 1) ; P (X ≥ 4).2) On estime le coût d’une réparation à 500 F.Y : dépense pour les réparations après 100 utilisations.Exprimer Y en fonction de X et calculer E(Y ) V (Y ).Solution :1) X ∼ B(100, 0, 01) ; P (X = 0) = C 0 100(0, 01) 0 0, 99 100 = 0, 366P (X = 1) = C 1 1000, 01 0, 99 99 = 100 × 0, 01 × 0, 99 99 = 0, 377P (X ≥ 4) = 1 − (. . .) = 0, 0612) Y = 500XE(Y ) = 500 E(X) = 500 × 100 × 0, 01 = 500V (Y ) = 500 2 V (X) = 500 2 0, 99 = 247500Exercice :Dans une pépinière 95% des scions (jeunes arbres greffés) sont supposés sansvirus. Par commodité les scions sont rangés par paquets de 2. Un paquet estdit sain si les 2 scions le sont.1) Proba d’avoir un paquet sain ?2) X = nb de paquets sains sur un lot de 10Quelle est la loi de X ?3) Un lot de 10 est accepté par l’acheteur si 9 au moins des paquets sontsains. Proba qu’un lot soit accepté ?Solution :1) p = 0, 95 × 0, 95 = 0, 90252) X ∼ B(10, p)3) P (X ≥ 9) = P (X = 9) + P (X = 10)= 0, 7361RemarqueLe schéma binomial correspond au processus de tirage d’un échantillon aléatoireavec remise :N 1 : nb d’individus ayant la propriété SN 2 : nb d’individus n’ayant pas la propriété SN = N 1 + N 2 : nb total d’individusOn fait n tirages avec remiseSoit X = nb d’individus ayant la propriété S

10 CHAPTER 1. LOIS DISCRÈTES USUELLESX ∼ B(n, p) avec p = N 1NPropriétéCalcul en chaine des probalités de la loi binomiale.Si X ∼ B(n, p) alors(n − k + 1)pP (X = k) = P (X = k − 1)k(1 − p)P (X = k)Preuve :P (X = k − 1) = n − k + 1 pk 1 − p1.4 Schéma hypergéométriqueExemple : En pratique lorsque l’on tire un échantillon de taille n parmi unepopulation de taille N, le bon sens veut que l’on ne prenne pas 2 fois lemême individu. Cela signifie que le tirage se fait sans remise. Les v.a deBernoulli associées aux différents éléments de l’échantillon et indicatrices dela présence ou absence d’un caractère donné, sont alors dépendantes. Leschéma binomiale n’est plus adapté.Le schéma hypergéométrique est une succession d’épreuves de Bernoulli nonindépendantes.DéfinitionSi dans une population de taille N,on a 2 types de populationsN 1 individus type 1 en proportion p = N 1N etN 2 individus type 2 : N 2On fait n tirages sans remise dans la population et la v.aX = nb individus de type 1 dans l’échantillonX obéit au schéma hypergéométrique H(N, n, p)X = ∑ iX i , avec X i des v.a de Bernoulli non indépendantes.Loi de probabilité

1.4.SCHÉMA HYPERGÉOMÉTRIQUE 11Si X ∼ H(N, n, p), alors{ n < N2Les valeurs de X sont les entiers compris entre 0 et n sin < N 1P (X = k) = Ck N 1× C n−kN 2(dénombrement classique)CNnPropriétésE(X) = npV (X) = np(1 − p) N − nN − 1Théorème :etQuand N → +∞ avec n, p fixes, alorsla loi hypergéométrique H(N, n, p) tend vers la loi binomiale B(n, p).Que signifie une loi qui tend vers une autre loi ? (cf chap. conditiond’application)Dans la pratique, on utilise l’approximation dès que n N < 0, 1preuve :(Np)!(Nq)!n!(N − n)!P (X = k) =k!(Np − k)!(n − k)!(Nq − n + k)! N!∼ (Np)k (Nq) n−k n!∼ p k q n−k n!k!(n − k)!N n k!(n − k)! = Ck np k q n−kExemple 1A un guichet SNCF se présentent 2 femmes et 3 hommes. On choisit auhasard 2 personnes ≠ pour une enquête.Soit X = nb de femmes.a) Probabilité de choisir une femme au moins.b) Calculer E(X) et σ(X).(a) X ∼ H 5, 2, 2 5□P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) = C1 2C 1 3C 2 5b) E(X) = np = 2 × 3 5 = 4 5 = 0, 8+ C2 2C 0 3C 2 5= 7 10 = 0, 7

12 CHAPTER 1. LOIS DISCRÈTES USUELLESV (X) = npq N − nN − 1 = 2 × 2 5 × 3 5 × 3 4 = 9 25σ(X) = 0, 6= 0, 36Exemple 2On choisit au hasard 10 étudiants de DEUG ≠ pour un entretien : 304étudiants sont inscrits en 1ère année, 233 en 2ème .X = nb d’étudiants de 1ère année parmi les 10.Calculer la probabilité d’avoir 5 étudiants de 1ère année et déterminer E(X)et σ(X).X ∼ H(537, 10, 304537 )P (X = 5) = C5 304C 5 233C 10537≃ 0, 227Mais on peut utiliser l’approximationComme n N = 10(537 < 0, 1, on peut approximer HP (X = 5) = C 5 10( 304537E(X) = np = 10 × 304537V (X) = npq N − n) 5 ( 233537= 5, 661) 5≃ 0, 225.304= 10 ×537 × 233537 × 527536N − 1σ(X) = 1, 554avec l’approximation σ(X) = √ npq = 1, 567.537, 10, 304 )537≃ 2, 415(par B 10, 304 )5371.5 Loi géométrique et loi de PascalOn se place dans une optique différente.A la base, il y a toujours l’épreuve de Bernoulli qui a 2 résultats possibles :un événementde probabilité p et l’autre. Mais cette fois, on ne connait pasle nombre d’épreuves.DéfinitionX suit la loi géométrique de paramètre p, G(p), si elle est égale au nombre d’épreuves deBernoulli indépendantes qu’il faut réaliser pour obtenir pour la 1ère fois l’événementdeprobabilité p.

1.5. LOI GÉOMÉTRIQUE ET LOI DE PASCAL 13Loi de probabilitéX(Ω) = N ∗ , (l’ensemble des valeurs est ∞ dénombrable)P (X = k) = q k−1 pk ∈ N ∗fonction de répartitionn∑P (X ≤ n) = q k−1 p = pk=1F X (n) = 1 − q ncaractéristiques∑n−1K=0q k = p 1 − qn1 − q = 1 − qnE(X) = 1 pV (X) = 1 − pp 2La loi de Pascal est la généralisation de la loi géométrique lorsque l’ons’intéresse à l’obtention pour la k ième fois de l’événementde probabilité pDéfinitionX suit la loi de Pascal G(k, p), si elle est égale au nombre d’épreuves de Bernoulliindépendantes qu’il faut réaliser pour obtenir pour la kèm fois l’événementdeprobabilité p.Loi de probabilitéX(Ω) = {k, . . . , ∞}P (X = j) = C k−1j−1 pk−1 q j−k p j ≥ kCaractéristiquesE(X) = k pk(1 − p)V (X) =p 2Remarque : la ressemblance avec la loi binomiale n’est qu’apparente. Lagrande différence est que le nombre de répétitions de l’épreuve élémentairede Bernoulli n’est pas connu, et c’est lui qui représente l’aléatoire du problème

14 CHAPTER 1. LOIS DISCRÈTES USUELLES!• ApplicationCes 2 lois interviennent particulièrement en contrôle de qualité mais aussidans la surveillance des événements dont une certaine fréquence de survenueest interprétée en terme de signal d’alarme.• Remarque de modélisationLa probabilité de l’événement qui nous intéresse est toujours p, elle estconstante au cours du temps. Cette propriété de stationnarité n’est passystématique dans les situations réelles que l’on doit modéliser.ExempleSupposons que 5 % des pièces en sortie d’une chaine de production soientdéfectueuses. On souhaite connaitre la probabilité qu’un échantillon de 20pièces issu de cette chaine ne contienne aucune pièce défectueuse.On peut traiter cet exemple en utilisant soit la loi Binomiale,soit la loi géométrique.- chaque pièce est indentifiée par un caractère à 2 modalités :défectueusenon défectueuseLa modélisation de base est donc le schéma de Bernoulli avec p = 0, 05. Onpeut faire l’hypothèse de l’indépendance des épreuves de Bernoulli (grandetaille de la population). Soit la v.a X = nb de défectueux après la réalisationde 20 épreuves de Bernoulli. On aX ∼ B(20, 0, 05)P (X = 0) = 0, 95 20 = 0, 3585.- On garde la modélisation des pièces par les aléas de Bernoulli. On faitl’hypothèse d’indépendance (gd nb de pièces). Mais le nombre de piècesn’est plus donné : c’est un aléa.Soit la v.a Y = nombre de pièces observées jusqu’à l’obtention d’une piècedéfectueuse.Y ∼ G(0, 05)

1.6. LOI DE POISSON 15P (Y ≥ 21) =∞∑k=210, 95 k−1 201 − 0, 95∞0, 05 = 0, 95 × 0, 051 − 0, 95200, 05= 0, 95 = 0, 35850, 051.6 Loi de PoissonSiméon-Denis Poisson(1781-1840)est un probabiliste, mathématicien et physicienfrançais à qui l’on doit d’importants développements sur la loi des grandsnombres, les suites d’épreuves de Bernoulli mais aussi sur les applications desprobabilités dans le domaine du droit.définitionX est une v.a. de Poisson de paramètre m si et seulement siX(Ω) = N etP (X = k) = mkk! e−mNotation : P(m)On est dans la situation X(Ω) infini dénombrable.On peut maintenant poser la loi de Poisson comme modèle d’une épreuvealéatoire :Théorème d’approximationSoit X ∼ B(n, p)quand n → +∞ etp → 0 tq np → m,alors X L → P(m)ModélisationLorsqu’un événement a une faible probabilité p d’apparition lors d’une épreuvede Bernoulli et si l’on répète un grand nombre de fois cette épreuve (n) lenombre total de réalisations de l’événement considéré suit à peu près une loide Poisson de paramètre m = np.Dans la pratique :n > 50p < 0, 1

16 CHAPTER 1. LOIS DISCRÈTES USUELLESRmq : plus p est petit, meilleure est l’approximation.la loi de Poisson a été appelée loi des phénomènes rares.Pour cette raisonLes processus de Poisson sont fréquents dans les problèmes de gestion :- nb de pièces défectueuses dans un échantillon de grande taille prélevé dansune production où la proportion des défectueuses est faible.- nb de quadruplés, quintuplés par an dans un pays donné.- nb d’appels intercontinentaux sur une ligne pendant une durée donnée.- nb d’erreurs commises au cours d’une longue suite d’opérations (inventaire).- pannes de machine.- émission de particules radio-actives.caractéristiques Si X ∼ P(m),alors E(X) = mV (X) = mIl faut savoir que ∑ k≥0E(X)V (X)= ∑ k≥0= ∑ k≥0= m 2 ∑ k≥2= mm kk!= e mk mkk! e−m = e −m m ∑ k≥1m k−1(k − 1)! = mk 2 mkk! e−m − m 2 = ∑ k(k − 1) mkk! e−m + ∑K≥1k≥1m k−2(k − 2)! e−m + m ∑ k≥1m k−1(k − 1)! e−m − m 2k mkk! e−m − m 2Propriété : somme de v.a de PoissonSi X 1 et X 2 sont 2 variables de Poisson P(m 1 ), P(m 2 ) indépendantes alorsX 1 + X 2 ∼ P(m 1 + m 2 )(ceci est vrai pour une somme finie quelconque de v.a de Poisson indépendantes)Preuve :

1.6. LOI DE POISSON 17P (Y = k) = P (X 1 + X 2 = k)PropriétéSi X ∼ P(m)P (X = k)P (X = k − 1) = m k[ k]⋃= P {X 1 = i} ∩ {X 2 = k − i}=i=0k∑P (X 1 = i).P (X 2 = k − i)i=0K∑ m i 1 m k−i=i! e−m 1 2(k − i)! e−m 2i=0K∑= Ckm i i 1m k−i e −(m 1+m 2 )2k!i=0= (m 1 + m 2 ) ke −(m 1+m 2 )□.k!Conséquence statistiqueOn peut envisager une loi de Poisson comme modèle représentatif de données statistiquesdiscrètes pour lesquelles la variable ne prend que des valeurs entières, positivesou nulles et pour lesquelles- la moyenne ≃ la variance etf k- est proportionnel à 1 f k−1 kExemple 1f k étant les fréquences.Lors d’un sondage portant sur un grand nombre de personnes, on sait que 2%des personnes interrogées acceptent de ne pas rester anonymes. Sachant quel’un des sondeurs a interrogé 250 personnes (en les choisissant de manièreindépendante), calculer la probabilitéa) que ces 250 personnes souhaitent rester anonymesb) 3 personnes acceptent de ne pas rester anonymesc) plus de 10 personnes acceptent de ne pas rester anonymesX = nb de personnes ne souhaitant pas rester anonymes.X ∼ B(250, 0, 02) P(5).−5 50P (X = 0) = e = e −5 = 0, 0067,0!

18 CHAPTER 1. LOIS DISCRÈTES USUELLES−5 53P (X = 3) = e = 0, 14,3!P (X ≥ 10) = 1 − P (X < 10) = 1 − P (X ≤ 9).Exemple 2Dans un hôpital parisien, il arrive en moyenne 1,25 personnes à la minuteaux urgences entre 9 h et 12 h.X : nb de personnes observées à la minute à l’entrée de ce service.On admet X ∼ P(m) avec m = 1, 25Déterminer les probabilités suivantesa) En 1mn il arrive 2 personnes b) 4 personnes au plus c) 3 personnes aumoins.a) P (X = 2) = 0, 2238b) P (X ≤ 4) = 0, 9909c) P (X ≥ 3) = 1 − P (X ≤ 2)= 1 − 0, 8685= 0, 1315.

Chapter 2Couple de variables aléatoiresdiscrètes2.1 GénéralitésOn se consacre à l’étude simultanée de 2 variables aléatoires X, Y discrètes.(X, Y ) est appelé couple aléatoire ou variable aléatoire à 2 dimensions ouvecteur aléatoire de dimension 2.Exemples :Expérience aléatoire : choisir un individu dans une population P,X : taille d’un individu, Y : poids d’un individu.Expérience aléatoire : 2 jets successifs d’un dé,X = nb de points du 1 er jet,Y = somme des points.Soient X, Y deux v.a. discrètes. Dans la suite, on utilisera les notationssuivantes:X(Ω) = {x 1 , . . . , x n }Y (Ω) = {y 1 , . . . , y p }19

20CHAPTER 2.COUPLE DE VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES2.1.1 Loi de probabilité conjointeLois de probabilité marginalesDéfinitionLa loi de probabilité conjointe de X et Y ou loi du couple (X, Y ) est définie par1) les valeurs de (X, Y ) {(x i , y i ) i ∈ {1, . . . , n} j ∈ {1, . . . , p}}2) les probabilités correspondantesp ij = P ((X, Y ) = (x i , y i ))= P (X = x i , Y = y j )= P ((X = x i ) ∩ (Y = y j ))Présentation : dans un tableau :valeurs de Xvaleurs de Y y 1 y 2 . . . y px 1 p 11 p 12 + + p 1px 2 p 21 p 22 p 2p.x n p n1 p n2 p npQuestion 1 :Si on a la loi de probabilité du couple (X, Y ), peut-on en déduire la loi deprobabilité de X et la loi de probabilité de Y ?réponse : oui mais l’inverse n’est pas vrai.DéfinitionSi on donne la loi du couple (X, Y ), la loi de probabilité de X et celle de Y sont appeléeslois de probabilité marginales.Propriétépour X : P (X = x i ) =pour Y : P (Y = y j ) =preuve : TVAp∑j=1n∑i=1p ijp ij(somme d’une ligne du tableau)(somme d’une colonne)

2.2. FONCTION DE RÉPARTITION D’UN COUPLEFONCTIONS DE RÉPARTITION MARGINNotationsp i• = P (X = x i ) =p •j = P (Y = y j ) =Propriétép∑j=1n∑i=1p ijp ijn∑ p∑p ij = 1i=1 j=12.2 Fonction de répartition d’un coupleFonctions de répartition marginalesDéfinitionLa fonction de répartition du couple (X, Y ) est définie parF X,Y (x, y) = P [(X ≤ x) ∩ (Y ≤ y)]PropriétéF (X,Y ) (x, y) =∑ i tqx i ≤x∑j tqy j ≤yp ijQuestion 2 : Si on a F (X,Y ) (x, y) peut-on en déduire F X (x) et F Y (y) lesfonctions de répartition marginales.réponse : ouiF X (x) = lim F (X,Y )(x, y)y→+∞F Y (y) = lim F (X,Y )(x, y)x→+∞

22CHAPTER 2.COUPLE DE VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES2.3 Loi de probabilité conditionnelleEspérance conditionnelleDéfinitionOn appelle variable aléatoire conditionnelle X sachant Y = y j , notée X|Y = y jla v.a. discrète de valeurs {x i , i = 1, . . . , n}et dont les probabilités sontP (X = x i |Y = y j ) = p ijp •jPropriétésn∑P (X = x i |Y = y j ) = 1i=1p∑P (Y = y j |X = x i ) = 1j=1∀y j∀x iDéfinitionOn appelle espérance conditionnelle de X sachant Y = y j la quantitéE(X|Y = y j ) =n∑x i P (X = x i |Y = y j ).i=1Théorème de l’espérance conditionnellep∑E(X) = E(X|Y = y j )P (Y = y j )preuve :j=1p∑E(X|Y = y j ) P (Y = y j ) =j=1p∑j=1n∑i=1x ip ijp •j× p •j ==n∑i=1x i∑ Pp ijj=1n∑p i• x i = E(X)i=1

2.4.INDÉPENDANCE STOCHASTIQUE 232.3.1 Corrélation linéaireDéfinitionOn appelle covariance du couple (X, Y ) la quantitécov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y )On appelle corrélation linéaire entre X et Yρ(X, Y ) = cov(X, Y )√V (X)V (Y )Propriétés−1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1 (1)V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2cov(X, Y ) (2)cov(a X, Y ) = a cov(X, Y ) (3)2.4 Indépendance stochastiqueDéfinition2 v.a.d. X et Y sont indépendantes en probabilité (ou stochastiquement) si l’une de cespropriétés équivalentes est vérifiée (si elle a un sens) :(i)∀i ∈ {1, . . . , n}∀j ∈ {1, . . . , p}P (X = x i |Y = y i ) = P (X = x i ).(ii) ∀i, ∀j P (Y = y j |X = x i ) = P (Y = y j ).(iii) ∀i, ∀j P (X = x i ∩ Y = y j ) = P (X = x i ) × P (Y = y j ).Propriétés(1) Si X et Y sont indépendantes en probabilité alors ρ(X, Y ) = 0(2) Si ρ(X, Y ) ≠ 0 alors X et Y ne sont pas indépendantes en probabilité(3) Si ρ(X, Y ) = 0 alors X et Y ne sont pas forcément indépendantes en probabilité.ExempleUne urne contient b boules blanches (B) et r boules rouges (R).On tire une boule au hasardB → 0Soit X :R → 1Si la boule tirée est B on la remet accompagnée de n autres boules blanches.

24CHAPTER 2.COUPLE DE VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTESSi elle est R, on la remet avec n autres rouges.On tire alors une boule.B → 0Soit Y :R → 1a) Donner la loi de probabilité de (X, Y ).b) Lois marginales.c) indépendance stochastique ?solutionX prend les valeurs 0 et 1 etY prend les valeurs 0 et 1. On aP (X = 0 ; Y = 0) = P (X = 0 ∩ Y = 0)= P (Y = 0|X = 0) × P (X = 0)↑la v.a. Y est conditionnée à la valeur de XP (Y = 0|X = 0)⇒ P (X = 0, Y = 0) = bb + rP (X = 0) = P (B) =bb + r= proba de tirer une blanche sachant qu’on a tiré une B au 1er tirage= proba de tirer une blanche dans une urne qui comprend r rouges etb + n blanches= b + nb + r + n .b + nb + r + nP (X = 1 ∩ Y = 1) = P (Y = 1|X = 1) × P (X = 1)= r + n r.b + r + n b + rX \ Y 0 1 Loi de Xb(b + n)r bb0(b + r)(b + r + n) (b + r)(b + r + n) b + rb r(r + n)r r1(b + r)(b + r + n) (b + r)(b + r + n) b + rbrLoi de Y1b + rb + rSi X et Y étaient indépendantes on aurait par exemple

2.5. EQUATION D’ANALYSE DE LA VARIANCE 25( )b bb + n × =b + rb(b + n)b + r(b + n + r)⇔bb + r = b + nb + n + r⇔ b(b + n + r) = (b + n)(b + r)⇔ b 2 + bn + br = b 2 + nb + nr + br⇔ nr = 0 (impossible)2.5 Equation d’analyse de la varianceDéfinitionOn appelle variance conditionnelle de X|Y = y j la variance de la variable aléatoireconditionnelle X sachant Y = y j soit :n∑V (X|Y = y j ) = x 2 i P (X = x i |Y = y j ) − E 2 (X|Y = y j )i=1PropriétéEquation d’analyse de la variance.V (X) = V inter (X) + V intra (X)oùp∑V inter (X) = E(X|Y = y j ) 2 P (Y = y j ) − E(X) 2V intra (X) =j=1p∑V (X|Y = y j )P (Y = y j )j=1Preuve :

26CHAPTER 2.COUPLE DE VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTESV (X) ===n∑p∑x 2 i P (X = x i ) − E 2 (X) or P (X = x i ) = P (X = x i ∩ Y = y j )(j=1n∑ p∑)x 2 i P (X = x i |Y = y j )P (Y = y j ) − E 2 (X)j=1)p∑x 2 i P (X = x i |Y = y j ) P (Y = y j ) − E 2 (X)i=1i=1( n∑j=1 i=1p∑ (= V (X|Y = yj ) + E 2 (X|Y = y j ) ) P (Y = y j ) − E 2 (X)=j=1p∑V (X|Y = y j )P (Y = y j ) +j=1} {{ }V intra (X)p∑E 2 (X|Y = y j )P (Y = y j ) − E 2 (X)j=1} {{ }V inter (X)2.6 Fonction de 2 variables aléatoires discrètes2.6.1 Espérance-VarianceSoit Z = ϕ(X, Y ) avec ϕ : R 2 → R, une v.ade valeurs z ij = ϕ(x i , y j )P (Z = z ij ) = P (ϕ(X, Y ) = ϕ(x i , y j )).On peut calculer E(Z) et V (Z) sans avoir à calculer la loi de Z :PropriétéE(Z) = ∑ i,jV (Z) = ∑ i,jp ij ϕ(x i , y i )p ij ϕ 2 (x i , y i ) − E(Z) 22.6.2 Calcul de la covariancecov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ),E(XY ) = ∑ x i y i p ij . Propriétéi,j

2.6. FONCTION DE 2 VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES 27E(XY ) ==n∑x i E(Y |X = x i )P (X = x i )i=1n∑y j E(X|Y = y j )P (Y = y j )j=1Preuve :n∑x i E(Y |X = x i )P (X = x i )i=1j= ∑ ∑x i y j P (Y = y j |X = x i )P (X = x i )i= ∑ x i y j P (Y = y j ∩ X = x i )i,j= ∑ i,jx i y j p ij □.

28CHAPTER 2.COUPLE DE VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

Chapter 3Couple de variables aléatoirescontinuesSoient (X, Y ) deux variables aléatoires continues.exemple : Pour décrire la position d’un point aléatoire M dans un repèrecartésien, on utilise le couple de variables aléatoires (X, Y ) où X désignel’abscisse et Y l’ordonnée.Remarque : si on est dans l’espace, on repère un point à l’aide d’un triplet devariables aléatoires (X, Y, Z). On peut ainsi généraliser à un vecteur aléatoireà n composantes : par exemple un circuit électrique composé de n composantesen série. Si X i : durée de vie de la composante i alors la durée devie du circuit se décrit à l’aide du vecteur aléatoire (X 1 , . . . , X n ).3.1 Fonction de répartition du couple (X, Y )Fonction de répartition marginaleDéfinitionLa fonction de répartition du couple (X, Y ) (ou fonction de répartition conjointe)est une fonction de R 2 dans [0, 1] définie par F X,Y (x, y) = P (X ≤ x ∩ Y ≤ y)Propriétés29

30CHAPTER 3.COUPLE DE VARIABLES ALÉATOIRESCONTINUESlimx→+∞y→+∞F X,Y (x, y) = 1lim F X,Y (x, y) = 0y→−∞lim F X,Y (x, y) = 0x→−∞PropriétésSi F X est la fonction de répartition de X etF Y la fonction de répartition de Y ,F X (x) = lim F X,Y (x, y)y→+∞F Y (y) = lim F X,Y (x, y)x→+∞Dans le cas d’une variable continue, on pouvait calculer la probabilité desévénements {a < X ≤ b} avec la fonction de répartition : P (a < X ≤ b) =F (b) − F (a).Est-ce le cas ici ?Question : que vaut P [a < X ≤ b, c < Y ≤ d] ?F X,Y (b, d) = P [] − ∞, b]∩] − ∞, d]]= P ((] − ∞, a]∪]a, b]∩] − ∞, d]))= P (] − ∞, a]∩] − ∞, d]) + P (]a, b]∩] − ∞, d])= F (a, d) + P (]a, b]∩] − ∞, c]) + P (]a, b]∩]c, d])or F (b, c) = P (] − ∞, b]∩] − ∞, c]) = P (] − ∞, a]∩] − ∞, c]) + P (]a, b]∩] −∞, c])d’où P (]a, b]∩] − ∞, c]) = F (b, c) − F (a, c)AinsiP (a < X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) = F (b, d) − F (b, c) + F (a, c) − F (a, d).Mais c’est une formule difficile à retrouver.C’est pourquoi on préfèrera passer par la fonction densité conjointe pourcalculer les probabilités.3.2 Fonction densité conjointeFonctions densité marginalesDéfinition

3.2. FONCTION DENSITÉ CONJOINTEFONCTIONS DENSITÉ MARGINALES31fonction densité du couple (X, Y ) est définie , si elle existe, par pour presque tout x ety,f X,Y (x, y) = d2 F X,Y (x, y).dx dyOn peut également donner la fonction de répartition conjointe en fonctionde la fonction densité:F X,Y (x, y) =On a alors∫ x−∞∫ y−∞P (a < X ≤ b ∩ c ≤ Y ≤ d) =que l’on peut également écrireP ((X, Y ) ∈]a, b]×]c, d]) =f X,Y (u, v)du dv ∀(x, y) ∈ R 2 .∫ b ∫ da∫ b ∫ daccf X,Y (x, y)dx dyf X,Y (x, y)dx dy.Question : peut-on calculer la probabilité P ((X, Y ) ∈ D) où D est un domainede R 2 différent d’un rectangle ?Propriété∫ ∫P ((X, Y ) ∈ D) =Exemple 1 aiguille de BuffonDf X,Y (x, y)dx dyExemple 2 Soit (X, Y ) un couple dont la loi conjointe est une loi uniformesur [0, 1] × {[0, 1]1 (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]f(x, y) =0 ailleursSoit D = {(x, y) ∈ R 2 : x > 0 y > 0 et x + y < 1}Calculer P ((X, Y ) ∈ D).

32CHAPTER 3.∫ ∫P ((X, Y ) ∈ D) =COUPLE DE VARIABLES ALÉATOIRESCONTINUES==∫ D 1(∫ 1−x∫0101dx dy)dy dx01 − x dx =[x − x22] 10= 1 2 .A partir de la fonction densité conjointe, peut-on retrouver les fonctions densitémarginales de X et Y ?f X (x) =f Y (y) =Propriété∫ +∞∫ −∞ +∞−∞∫ +∞ ∫ +∞−∞−∞f X,Y (x, y)dyf X,Y (x, y)dxf X,Y (x, y)dx dy = 1Exemple :{ kxf(x, y) =2 + y 2 − xy x ∈ [−1, 1] et y ∈ [−1, 0]0 sinona) déterminer k pour que f soit effectivement une fonction densité d’un couple(X, Y ).b) calculer P [{0 < X < 1} ∩ {−1/2 < Y < 0}]c) fonctions densité marginales.d) fonction de répartition conjointe.

3.2. FONCTION DENSITÉ CONJOINTEFONCTIONS DENSITÉ MARGINALES33sol : a)b)∫ 1 ∫ 00∫ ∫f(x, y)dx dy = 1∫R 2 ∫⇔ kx 2 + y 2 − xy dy dx = 1∫ D 1(∫ 0)⇔ kx 2 + y 2 − xy dy dx = 1−1 −1∫ 1⇔ (kx 2 + 1−1 3 + x 2 ) dx = 1[ x3⇔ k + 1 [ x23 3 [x]1 −1 +4−1/2] 1−1] 1−1= 1 ⇔ 2 3 k + 2 3 = 1⇔ k = 1 2 .x 2∫ 12 + x 2y2 − xy dy dx =0 4 + 1 24 + x 8 dx[ [ x3x2c)On a f X (x) =∫ +∞−∞f(x, y)dy.Si x /∈ [−1, 1], f X (x) = 0.Si x ∈ [−1, 1], f X (x) =On a f Y (y) =∫ +∞−∞∫ 0f(x, y)dx.Si y /∈ [−1, 0], f y (y) = 0.y ∈ [−1, 0], f y (y) =d) F X,Y (x, y) =∫ x−∞∫ y−∞∫ 1−1−1= 1 43] 10+ 1 24 + 1 8= 1 12 + 1 24 + 1 16 = 3 24 + 1 16 = 1 8 + 1 16 = 3 16 .2] 10x 22 + y2 − xy dy = x22 + 1 3 + x 2 .12 x2 + y 2 − xy dx = 1 2f(u, v)dv du.• Si x < −1 ou y < −1, F X,Y (x, y) = 0• Si (x, y) ∈ [−1, 1] × [−1, 0],[ x33] 1−1= 1 3 + 2y2 .[ x+ y 2 [x] 1 2−1 − y2] 1−1

34CHAPTER 3.COUPLE DE VARIABLES ALÉATOIRESCONTINUESF (x, y) ===∫ x ∫ y∫−1x∫−1x−1= y + 12F X,Y (x, y) = y + 12• Si y > 0 et x ∈ [−1, 1],F X,Y (x, y) = x3 + 16(ku 2 + v 2 − uv) dv du−1 [ ] vku 2 [v] y 3 y [ v2−1 + − u3−12(y + 1)ku 2 + y3 + 1[ 3u3+ x + 13] x−13x 3 + 13• Si y ∈ [−1, 0] et x > 1,F (x, y) = y + 1 + 2 3 3 (y3 + 1).• Si y > 0 et x > 1,F (x, y) = 1.] ydu−1− u y2 − 1du2+ y3 + 1(x + 1) − y2 − 132+ (x + 1) y3 + 13+ 1 4 (x2 − 1).− y2 − 12[u 2 /2 ] xx 2 − 1.2−13.3 Variables conditionnellesOn veut définir la loi de probabilité de la variable conditionnelle Y |X = xavec X, Y deux variables aléatoires de fonction densité conjointe f X,Y .• fonction de répartition conditionnelle de Y |X = xP (Y ≤ y|X = x) a priori n’est pas défini car P (X = x) = 0, X étant unevariable continue.On note F X=x cette fonction de répartition conditionnelle, que l’on définitde la manièresuivante:

3.3. VARIABLES CONDITIONNELLES 35F X=x (y)= limɛ→0η→0= limɛ→0η→0= limɛ→0η→0dF(x, y)= dx =f X (x)P (Y ≤ y|x − ɛ ≤ X ≤ x + η) = limɛ→0P (Y ≤ y ∩ X ∈ [x − ɛ, x + η])F X (x + η) − F X (x − ɛ)F X,Y (x + η, y) − F X,Y (x − ɛ, y)F X (x + η) − F X (x − ɛ)dF X,Y(x, y)dx .f X (x)η→0P (Y ≤ y ∩ x − ɛ ≤ X ≤ x + η)F X (x + η) − F X (x − ɛ)DéfinitionLa fonction de répartition de la variable conditionnelle Y |X = x, si elle existe, est égale àF X=x (y) =dF X,Ydx(x, y)f X (x).• Fonction densité de la variable conditionnelle Y |X = xNotation : f X=x (y) ou f(y|X = x)On a f X=x (y) = ddy F X=x(y) =f(x, y)f X (x) .DéfinitionLa fonction densité de la variable conditionnelle Y |X = x estf X=x (y) =f(x, y)f X (x)Y |X = x est une variable aléatoire définie par sa fonction densité ; on peutcalculer E(Y |X = x) , V (Y |X = x) et des probabilités associées à cettevariable :P (a < Y < b|X = x) =∫ baf X=x (y) dy, E(Y |X = x) =∫ +∞−∞y f X=x (y) dy

36CHAPTER 3.COUPLE DE VARIABLES ALÉATOIRESCONTINUESExemple : reprendre f(x, y) = kx 2 + y 2 − xy.e) Donner la fonction densité conditionnelle de X|Y = 0.f) Calculer P (0 < X < 1|Y = 0).g) Calculer l’espérance de X|Y = 0.f(x, 0)sol : e) f Y =0 (x) =f Y (0) = x2 /21/3 = 3x2⎧2⎨ 3x 2f Y =0 (x) =x ∈ [−1, 1]⎩20 sinonf) P (0 < X < 1|Y = 0) =g) E(X|Y = 0) =∫ +∞−∞∫ 103x 22 dx = 3 2x f Y =0 (x)dx =∫ 1−1six ∈ [−1, 1]. Ainsi[ x3] 1033x 3= 1 2 .2 dx = 3 2[ x44] 1−1= 0.Théorème de l’espérance conditionnelleE(X) =Preuve :∫ +∞−∞E(X|Y = y) =∫ +∞−∞E(X|Y = y)f Y (y) dy∫ +∞−∞x f Y =y (x)dx =E(X|Y = y)f Y (y)dy ==∫ +∞x∫−∞+∞ ∫ +∞∫ −∞ +∞−∞−∞ ∫ +∞x (f(x, y)f Y (y) dx.x f(x, y)dy dxf(x, y)dy)dx .}−∞{{ }f X (x)3.3.1 Indépendance en probabilitécovariance-coéfficient de corrélationComme dans le cas des variables discrètes, intuitivement on peut penser queX et Y sont indépendantes si et seulement si tout événement lié à X estindépendant de tout événement lié à Y .

3.3. VARIABLES CONDITIONNELLES 37i.e. {X ≤ x} et {Y ≤ y} sont indépendants ∀x, yi.e. P ({X ≤ x} ∩ {Y ≤ y}) = P (X ≤ x)P (Y ≤ y).Définition-propriété2 v.a. X, Y continues sont indépendantes en probabilité si et seulement sil’une despropriétés suivantes équivalentes sont vérifiées (si elles ont un sens)(1) f X,Y (x, y) = f X (x) × f Y (y) ∀x, y(2) F X,Y (x, y) = F X (x) × F Y (y) ∀x, y(3) f X=x (y) = f Y (y) partout où cela a un sens(4) f Y =y (x) = f X (x) partout où cela a un sens.preuve :(2) ⇒ (1)(1) ⇒ (2)d 2dxdy∫ x−∞∫ y−∞(1) ⇒ (3) f X=x (y) =f(u, v)du dv =∫ x−∞∫ yf X (u)du f Y (v)dv−∞f(x, y)f X (x) = f Y (y) ∀x, y tq f X (x) ≠ 0(3) ⇒ (1) on a f(x, y) = f X (x) × f Y (y) ∀x, y tq f X (x) ≠ 0(4) ⇔ (1) pareil.ThéorèmeSi X et Y sont indépendants alors(1) cov(X, Y ) = 0(2) ρ(X, Y ) = 0(3) E(XY ) = E(X)E(Y )(4) V (X + Y ) = V (X) + V (Y ).Comme dans la chapitre précédent, la covariance est :cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).Ici, cela se traduit par∫xy fR 2 X,Y (x, y) dxdy − E(X)E(Y ).

38CHAPTER 3.COUPLE DE VARIABLES ALÉATOIRESCONTINUESOn peut également exprimer la covariance à l’aide de l’espérance conditionnelle:∫cov(X, Y ) = x E(Y |X = x)f X (x)dx − E(X)E(Y ).R3.3.2 Fonction de 2 variables aléatoiresSoit Z = ϕ(X, Y ) avec (X, Y ) couple aléatoire de densité f(x, y).Z n’est pas forcément une variable aléatoire. Si cela en est une, on a lesformules∫∫E(ϕ(X, Y )) = ϕ(x, y) f(x, y) dxdy∫∫V (ϕ(X, Y )) = ϕ 2 (x, y) f(x, y) dx dy − E 2 (ϕ(X, Y ))

Chapter 4Loi Normale ou loi de Laplace -Gauss - GénéralitésLa loi Normale est une des distributions que l’on rencontre le plus souventen pratique.C’est la loi qui s’applique en général à une variable qui est la résultante d’ungrand nombre de causes indépendantes dont les effets s’additionnent et dontaucune n’est prépondérante.Exemple :Diamètres et poids de pièces fabriquées en série.Fluctuations accidentelles d’une grandeur économique autour de sa tendance.Historiquement elle apparaît vers 1773 comme limite de la loi binomiale.Gauss en 1809 et Laplace en 1812 lui donnèrent sa forme définitive.4.1 Définition mathématique• La variable Normale X est une v.a absolument continue pouvant prendren’importe quelle valeur dans ] − ∞, +∞[ avec la densité de probabilitéf(x) = 1 √2πσe1−2( x − µσ) 239

40CHAPTER 4. LOI NORMALE OU LOI DE LAPLACE - GAUSS - GÉNÉRALITÉSCette v.a dépend donc de 2 paramètres µ et σ.notation : X ∼ N (µ, σ).• représentation graphiquela courbe en cloche. (cf T.D)→ La valeur de µ détermine la position de la courbe, x = µ est axe desymétrie pour la courbe (f(µ + x) = f(µ − x) ∀x)→ σ détermine la dispersion de la courbe.• Fonction de répartitionF (x) =∫ x−∞f(t)dt =• caractéristiquesE(X) = µV (X) = σ 2preuve :(T.D)Propriété 1∫ x−∞( ) 21 t − µ−1σ √ 2π e 2 σ dtX suit la loi N (µ, σ) si et seulement si X − µσpreuve : T.D.suit la loi N (0, 1)La loi N (0, 1) s’appelle loi Normale centrée réduite. f(x) = 1 √2πe − x 22 .Elle est importante car la propriété signifie que tout calcul de probabilitéassocié à la loi N (µ, σ) se ramène à un calcul de probabilité associé à la loiN (0, 1) en faisant un changement de variable.Propriété 2X 1 ∼ N (µ 1 , σ 1 ), X 2 ∼ N (µ 2 , σ 2 ), X 1 , X 2 indépendantes,alors X 1 + X 2 ∼ N (µ 1 + µ 2 , √ σ 2 1 + σ 2 2)preuve : (T.D.)généralisation

4.2. CALCULS DE PROBABILITÉ 41X i ∼ N (µ i , σ i ), X i sont indépendantes alorsn∑n∑n∑X i ∼ N (µ, σ) avec µ = µ i et σ 2 = σi 2 .i=1i=1i=14.2 Calculs de probabilité4.2.1 Calculs à partir de N (0, 1) : ULe problème vient du fait qu’il n’existe pas de fonction analytiquement exprimablequi corresponde à une primitive de f(x) = √ 1 x 2e − 2 . 2πComment calculer P (a < U < b) = ∫ bf(t)dt = F (b)−F (a) si l’on ne connaitapas d’expression de F ?La seule possibilité est d’utiliser des méthodes numériques permettant defaire le calcul approché de l’intégrale.Ainsi des spécialistes ont établi des tables permettant de faire les calculs deprobabilité.On a à notre disposition 2 tables :La fonction de répartition (table 1) et les fractiles(table 2):La table 1On lit les valeurs de la fonction de répartition F de N (0, 1).C’est une table à double entrée qui donne P (U ≤ u) pour u donné.↓N (0,1)→ on cherche la ligne correspondant à la partie entière et au 1 erdécimal de u.→ la colonne correspondant au 2 eme chiffre décimal de u.puis à l’intersection, on lit la probabilité cherchée.ex : P (U ≤ 0, 38) = 0, 6480P (U ≤ 1, 29) = 0, 9015Que fait-on pour calculer P (U < −1) si U ∼ N (0, 1) ?chiffrePropriété 1

42CHAPTER 4. LOI NORMALE OU LOI DE LAPLACE - GAUSS - GÉNÉRALITÉSU ∼ N (0, 1) u > 0P (U < −u) = F (−u) = 1 − F (u)P (U < −1) = 1 − P (U < 1) = 0, 1587Propriété 2 u > 0P (U > u) = 1 − P (U < u) = 1 − F (u)Propriété 3P (u 1 ≤ U ≤ u 2 ) = F (u 2 ) − F (u 1 )Propriété 4F (u) ≥ 1/2 ⇔ u ≥ 0F (u) ≤ 1/2 ⇔ u ≤ 0Remarque 1 : pour les probabilités d’intervalles, il est indifférent de considérerdes intervalles fermés, ouverts ou mixtes puisque la probabilité d’unpoint est nulle.Remarque 2 : Si on a à calculer P (U ≤ u)avec U ∼ N (0, 1) avec 3 décimales :(ex P (U < 1, 645)) on fait une interpolation linéaire :Supposons que figurent dans la table 1 u 1 et u 2 tq u 1 < u < u 2 on considèreque F (u) − F (u 1)≃ F (u) − F (u 2)ce qui donnerau − u 1 u − u 21F (u) = [(u − u 2 )F (u 1 ) + (u 1 − u)F (u 2 )].u 1 − u 2Pour l’exemple: 1, 64 < u < 1, 65F (u) − F (1, 64) F (u) − F (1, 65)≃0, 05−0, 050, 095⇒ F (u) ≃F (1, 65) + F (1, 64)2=Propriété 5 U ∼ N (0, 1)P (|U| < u) = 2F (u) − 1ex : P (|U| < 1.96) = 2F (1, 96) − 1 = 2.0, 9750 − 1 = 0, 95Propriété 6 U ∼ N (0, 1)P (|U| > u) = 2[1 − F (u)]

4.2. CALCULS DE PROBABILITÉ 43C’est la probabilité pour qu’une loi Normale centrée réduite s’écarte de samoyenne de plus de u fois son écart type.Remarque : pour les grandes valeurs de u, on dispose d’une ligne supplémentairemais détaillée. Pour u > 3, les valeurs de F (u) varient peu et sont prochesde 1.La table 2Elle donne les fractiles de la loi N (0, 1).Définition : on appelle fractile d’ordre α (0 ≤ α ≤ 1),pour une fonction de répartition F , la valeur u α tq F (u α ) = α i.e P (U ≤ u α ) = α.ExempleP (U < t) = 0, 01 ⇒ u 0,01 = −2, 3263P (U < t) = 0, 96 ⇒ u 0,96 = 1, 7507}P (U < t) = 0, 975 ⇒ u 0,975 = 1, 96(fractile très important en statistiqueP (U < t) = 0, 95 ⇒ u 0,95 = 1, 6449inférentielle)Ces calculs de fractiles seront particulièrement utiles pour l’obtention desintervalles de confiance et réalisation des tests.4.2.2 Loi Normale qq N (µ, σ)X ∼ N (µ, σ)1 er étape : se ramener à la loi N (0, 1) : on sait que si X ∼ N (µ, σ) alorsX − µ∼ N (0, 1).σ2 e étape : Utiliser les tables 1 et 2.3 e étape : Donner le résultat.• X ∼ N (3, 2) Calculer ( P (X < 6, 24) )X − 3 6, 24 − 3P (X < 6, 24) = P

44CHAPTER 4. LOI NORMALE OU LOI DE LAPLACE - GAUSS - GÉNÉRALITÉS• X ∼ N (−4, 5) Calculer P ((X < 1, 65) )X + 41 er étape : P (X < 1, 65) = P < 1, 1352 e étape : X + 4 = U ∼ N (0, 1) P (U < 1, 13) = F (1, 13) = 0, 870853 e étape : P (X < 1, 65) = 0, 8708• P (X > 4, 94) X ∼ N (−2,( 4)X + 21 er étape : P (X > 4.94) = P42 e étape : P (U > 1, 735) = 1 − F (1, 735)or 1, 73 < 1, 735 < 1, 74F (u) − F (1, 73)0, 05≃F (u) − F (1, 74)−0, 05)> 1, 735F (1, 73) = 0, 9582F (1, 74) = 0, 9591⇒ F (u) =3 e étape : P (X > 4, 94) = 1 − 0, 95865 = 0, 04135Par interpolationF (1, 74) + F (1, 73)2= 0, 9586• X ∼ N (−3, 2) P (4 < X < 0)1 er étape : P (−4 < X < 0) = P (−0, 5 < X+3 < 1, 5)22 e étape : P (−0, 5 < U < 1, 5) = F (1, 5) − F (−0, 5)= F (1, 5) − [1 − F (0, 5)]= F (1, 5) + F (0, 5) − 1 = 0, 9332 + 0, 6915 − 1 = 0, 62473 e étape : P (−4 < X < 0) = 0, 6247• X ∼ N (1, 3) P (0 < X < 2|X > −2) =P (0 < X < 2)P (X > −2)1 e étape : P (0 < X < 2) = P [1/3 < X−1 < 1/3] = P (|U| < 1/3)3P (X > −2) = P ( X−1> −1 ) = P (U > −1)32 e étape : P (|U| < 1/3) = 2F (1/3) − 1P (U > −1) = P (U < 1)3 e étape : Proba ≃ 0, 31• X ∼ N (2, 0, 5) calculer le fractile d’ordre 0,675 de XP (X ≤ u 0,675 ) = 0, 675( X − 21 er étape : P (X ≤ x 0,675 ) = 0, 675 ⇔ P0, 5 ≤ x )0,675 − 2= 0, 675.0, 52 e étape : P (U < u 0,675 ) = 0, 675 ⇒ u 0,675 = 0, 4538

4.2. CALCULS DE PROBABILITÉ 453 e étape : 2[x 0,675 − 2] = u 0,675 = 0, 4538 ⇒ x 0,675 = 2, 2269

46CHAPTER 4. LOI NORMALE OU LOI DE LAPLACE - GAUSS - GÉNÉRALITÉS

Chapter 5Condition d’application de laloi normale5.1 Convergence des variables aléatoiresLes variables aléatoires sont des applications de Ω dans R, Ω étant l’universdéfini par l’expérience aléatoire.On peut concevoir une suite d’épreuves aléatoires définissant des univers Ω net donc des v.a. aléatoires X n .On peut se demander quel est le comportement limite de ces v.a. quandn → +∞.Il existe plusieurs notions de convergence.5.1.1 Convergence en loiDéfinition(X n ) n∈N converge en loi vers une v.a. X ssilim F n(x) = F (x) ∀x tq F (x) est continue.n→+∞F n : fonction de repartition de X nLF : fonction de repartition de X (notation : X n −→ X)PropriétésPour les v.a. discrètes X nL−→ X ⇔ P (X n = x) −→ P (X = x) ∀x.n→∞Pour les v.a continues X n −→ X ⇔ ∀(a, b) ∈ R 2L47P (a ≤ X n < b) −→n→+∞P (a ≤ X < b).

48CHAPTER 5. CONDITION D’APPLICATION DE LA LOI NORMALE5.1.2 Convergence en probabilité• Définition(X n ) converge en probabilité vers X si et seulement si∀ɛ > 0, P (|X n − X| > ɛ) −→n→∞0P(notation : X n −→ X)Propriétéla convergence en probabilité ⇒ convergence en loiLa réciproque est fausse.Théorème ⎧⎨Si⎩E(X n ) −→n→+∞ µ alors X nV (X n ) −→n→+∞ 0P−→ µPreuve : il s’agit de démontrer que P (|X n − µ| > ɛ)0. Pour simplifieron supposera que E(X n ) = µ ∀n.Pour cela, on a besoin du résultat suivant :Inégalité de Bienaymé-TchebychevSoit la v.a Z telle que E(Z) = µ, σ(Z) = σ,∥ alors P (|Z − µ| > kσ) ≤ 1 ∀k ∈ R +∗ .k 2preuve de l’inégalité de B.J admise−→n→+∞Fin de la preuve du théorème : soit σ n = σ(X n ), soit k n ∈ R tq k n σ n =ɛ. On a 1 k n= σ nɛ , d’oùP (|X n − µ| > ɛ) = P (|X n − µ| > k n σ n ).D’après l’inégalité B.T, on a0 < P (|X n − µ| > k n σ n ) ≤ 1 } {{ } kn2↓ n → +∞0= σ2 nɛ = 1 ɛ V (X n)} {{ }↓ n → +∞0□.

5.2. LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES 495.2 Loi faible des grands nombresThéorème Loi faible des grands nombresSoient (X i ) i=1,...,n n v.a indépendantes telles que E(X i) = µ iV (X i ) = σi2Si 1 ∑i=nµ i −→nµ et 1n∑σn→+∞ n 2 i2 −→ 0,n→+∞i=1i=1alors 1 ∑i=nPX i −→ µ.npreuve :i=1Soit S n = 1 n□n∑X i .i=1on aE(S n ) = 1 nV (S n ) = 1 n 2n∑µ i → µi=1n∑σi 2 → 0i=1Corollaire : Théorème de Moivre-LaplaceSoit ξ une expérience aléatoire qui a2 résultats possibles S et E etP (S) = p.On répète n fois ξ de façon indépendante.Soit F n : proportion de S.PAlors F n −→ p.preuve :F n = 1 nn∑i=1X iE(F n ) = 1 n∑E(Xi ) = 1 n np = p⎫⎪⎬⇒ S n → P µ⎪⎭Application du théorème du paragraphe précédent.X i : variables de Bernoulli indépendantes.V (F n ) = 1 ∑V (Xi ) = 1 n 2 n np(1 − p) = 1 p(1 − p) → 02 nDonc d’après la loi faible des grands nombresF nP−→ p□

5.4. APPROXIMATION D’UNE LOI B(N, P ) 51En pratique : npq > 18oun > 30p ∈ [0, 1 ; 0, 9]Comment procède t-on pour approcher une loi discrète par une loi continue ?En effet pour les lois discrètes, les probabilités sont concentrées en des pointset pour les lois continues tout point a une probabilité nulle !Exemple : soit X ∼ B(100, 0, 4) alors X ≈ N (40, 4, 9)Comment approche-t-on P (X = 50) ?On fait ce qu’on appelle une correction de continuitéProposition : correction de continuitéSoit X une v.a.d telle que E(X) = µ, σ(X) = σ et X(Ω) ⊂ Nque l’on approche par Y uneloi N (µ, σ) alors(P (X < k) = P Y ≤ k − 1 )( 2P (X ≤ k) = P Y ≤ k + 1 )( 2P (X = k) = P k − 1 2 ≤ Y ≤ k + 1 )(2P (k 1 ≤ X ≤ k 2 ) = P k 1 − 1 2 ≤ Y ≤ k 1 + 1 )2Exemple : Dans une population bovine, on admet que la robe d’un animal secaractérise par la présence d’un gène dominant S (robe unie) ou d’un gènerécessif s (robe tachetée bleue).Selon la théorie de Mendel un croisement d’animaux hétérozygotes (S, s) ×(S, s) donne 3/4 robes unies et 1/4 robes tachetées bleues.Sur un échantillon de 160 bovins issus de croisements (S, s) × (S, s) on noteX = nombre d’animaux ayant une robe tachetée bleue.a) Déterminer la loi de X (X ∼ B(160, 1/4))b) Par quelle loi peut-on approximer X (par N (40, √ 30) car n > 30 p ∈[0, 1, 0, 9] ou npq = 30 > 18)c) Probabilité que parmi 160 bovins le nombre de tachetées de bleues soit entre35 et 50:

52CHAPTER 5. CONDITION D’APPLICATION DE LA LOI NORMALEP (35 ≤ X ≤ 50) ≈ P (35 − 1/2 ≤ Y ≤ 50 + 1/2)= P (34, 5 ≤ Y ≤ 50, 5)= P= F= F(−5,5√30≤ U ≤ 10,5(10,5)√30− F( )√10,530−√30)(−5,5√30)[1 − F()]√5,5305.5 Approximation d’une loi de PoissonThéorèmeSi m ≥ 20 alors la loi de Poisson P(m) peut être approximée par N (m, √ m).La formulation mathématique est: si X ∼ P(m) alors X − m √ mL−→ N (0, 1).La preuve rigoureuse peut se faire mais demande des connaissances en analysemathématique.On admettra le théorème.Remarque : comme précédemment on fait la correction de continuité.5.6 ExercicesExemple 1Les gains mensuels en francs G d’un représentant sont supposés suivre uneloi Normale. Il a pu constater, sur un grand nombre de mois, la répartitionsuivante des gains en F :P (gain > 18000) = 4, 46%P (15800 < gain ≤ 18000) = 93, 26%P (gain ≤ 15800) = 2, 28%1 - Calculer la moyenne et l’écart type de G qui suit N (µ, σ).2 - Si on suppose que les gains du représentant sont indépendants d’un moisà l’autre, quelle est la loi de proba de X = gain durant 3 mois ?3 - P (X ≥ 53000) ?Exercice 2Un vigneron commercialise 2 types de vin :

5.6. EXERCICES 53les vins ”du terroir” et les vins ”grand cru” et vendus à 30 F la bouteille. Ilsubsiste des erreurs d’étiquetage et on admet qu’un acheteur de vin ”grandcru” aura une probabilité p = 0, 12 d’avoir en fait une bouteille de vin ”duterroir”.1) Un restaurateur achète 200 bouteilles ”grand cru”X : nb de bouteille de vin du terroir parmi ces bouteillesQuelle est la loi de probabilité de X ? Calculer E(X) V (X)Par quelle loi peut-on approcher X ?2) Calculer P (X > 20) et P (X < 30|X > 20)3) Au fur et à mesure de la consommation des 200 bouteilles, le restaurateura pu détecter chacune des bouteilles ”du terroir”. Il décide alors de ne payerque les bouteilles ”grand cru” et de refuser de payer les bouteilles du terroir.Calculer, avec cette hypothèse, la probabilité d’un bénéfice néanmoins positifpour le vigneron ”sachant que” chaque bouteille de grand cru lui revient à 18F et terroir 8 F.