CHAPITRE 4 Théorème des Résidus

Res ( f (z),−1/3 ) = lim (z+1/3) −i(z 2n + 1)z−→−1/3 z n (3z+1)(z+3) = lim −i(z 2n + 1) 1+32nz−→−1/3 3z n =−i(−1)n ·(z+3) 8.3 nPour z 0 = 0, qui est un pôle d’ordre n, il est préférable de faire le développement deLaurent de f au voisinage de 0.z 2n + 1Remarquant que f (z)=−iz n (3z 2 + 10z+3) =−i z n(3z 2 + 10z+3) − i 1( z n (3z 2 + 10z+3)·)z nComme 0 n’est pas un pôle de−i(3z 2 + 10z+3) , donc Res z n−i(3z 2 + 10z+3) , 0 = 0.D’où Res ( f (z), 0 ) ( )1= Res −iz n (3z 2 + 10z+3) , 0 .1On a−iz n (3z 2 + 10z+3) = 1 (−i9z n 3z 2 + 10z+3 =−i 1z 24·n 1+3z − 24·1 )1. Un développementen série entière au voisinage de zéro donne :1+z/39 124·1+3z − 24·1 11+z/3 = 9 ∞∑(−1) n 3 n z n − 1 ∞∑(−1) n (z/3) n2424n=0n=0= 1 ∞∑ ((−1) n 3 n+2 − 1 )z n , où|z|