CHAPITRE 4 Théorème des Résidus

Exemple 4.3.4 Calculer l’intégraleRéponse :I=∫ 2π0dθ, et a>|b|.a+b sinθLes pôles depar,z 1 = −a+√ a 2 − b 2bf (z)= 1 iz·1a+b z−z−12i=2bz 2 + 2aiz−b·2bz 2 + 2aiz−b sont obtenus en résolvant bz2 + 2aiz−b=0et sont donnési et z 2 = −a−√ a 2 − b 2i,bseul z 1 est à l’intérieur du cercle, car|z 1 |=a1.ce sont deux pôles simples, le résidu en z 1 est donc ;−a+ √ a 2 − b 2∣ ∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣ ∣b ∣ = ba+ √ < 1, cara 2 − b 22Res( f, z 1 )= lim (z−z 1 )z−→z1 bz 2 + 2aiz−b = lim 2z−→z 1 2bz+2ai = 1i √ ,a 2 − b 21d’où I=2πii √ finalement,a 2 − b 2Exemple 4.3.5 Calculer :Réponse :∫ 2π0dθa+b sinθ = 2π√ , et a>|b|.a2 − b 2I=∫ 2π0cos nθ dθ5+3 cosθ , n∈N.La formule de Moivre donne cos nθ= zn + z −n, d’où en substituant dans notre intégrale,2on a :z n + z −nf (z)=iz·1 2z 2n + 1=−i5+3 z+z−1 z n (3z 2 + 10z+3)·2Pôles de f :z 0 = 0, est un pôle d’ordre n.3z 2 + 10z+3=(3z+1)(z+3)=0, deux pôles simples z 1 =− 1 3 et z 2=−3 ; seul z 2 =−3 aun module supérieur à 1, d’où :I=2πi ( Res ( f (z), 0 ) + Res ( f (z),−1/3 )) .Calcul des résidus :Pour z 1 =−1/3, il s’agit d’un pôle simple, donc ;31 M r AMROUN NOUR-EDDINE