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Chapitre 1 : ElectrostatiqueComme Q= λ2πa représente la charge totale de l’anneau :Cours de A.TilmatineEQb=4 πε (2 2) 3/ 20 a + bPV. DIPOLE ELECTRIQUELe dipôle électrique est une disposition très intéressanteconstituée de deux charges égales et opposées séparées parune très petite distance, qu’on retrouve particulièrement àl’échelle atomique.r 2 – r 1r 2rr 1Le moment électrique dipolaire est donné par :p = q a,où a est dirigé de la charge négative vers la charge positive.-qθ'Oaθ+qFigureLe potentiel crée par le dipôle au point P est :1 ⎛ q q ⎞V = ⎜ − ⎟=4πε⎝ ⎠0 r1r240( −r)1 q r2πε r r121On peut écrire d’après la figure : r 2 – r 1 = a cosθ’Si la distance a est très petite par rapport à r, on peut poser:r 2 – r 1 = a cosθ et r 1 r 2 = r 2qacosθCe qui donne : V =4πεr20Le calcul en coordonnées polaires donne deux composantes du champ électrique :• Une composante radiale E r : V 2pcosθEr = − ∂ = ;∂r4πεr3• Une composante transversale E θ :01 V psinθEθ = − ∂ =r ∂θ4πεr30rE θEPE ru rθUn dipôle placé dans un champ électrique est soumis à un couple qui tend à l’aligner suivant la ligne de cechamp.u θPFigureZEn présence d’un champ électriqueSans un champ électriqueF = - q EF = q EFigureFigure8

Chapitre 1 : ElectrostatiqueCours de A.TilmatineVI. POTENTIEL ELECTRIQUEOn considère une charge q 1 placée à l’origine d’un repère. On apporte une autre charge q 2 del’infini jusqu’à une distance r = R de q 1 .Supposons q 1 et q 2 positives.Le travail fourni W pour vaincre la force de répulsion de q 1 estWavecq 1R=−∫∞FdrR=−∫∞q1E1=4πεr∞0Fdr2R=−∫∞q 2 E 1 drRRq1q2q1q2W =−∫dr = − dr4πε r2∫ r24πε0Rq 20 ∞q q− 1πε r1 2= [ − ] R4 0∞Figureq1q2=4πε R0q 2Suivant le principe de conservation de l’énergie, le travail fourni W est emmagasiné par la charge q 0sous forme d’énergie potentielle E p ,Soit W = E p .q1q2On pose donc : Ep = = q1V24 πε Rq2avec V2= potentiel crée par q 24πε R0On peut également écrire : Ep= q 2 V10q1avec V1= potentiel crée par q 14πε0RqV = est donc l’expression du potentiel crée par une charge q4πε 0 Ret Ep= qVest l’énergie potentielle d’une charge q soumise à un potentiel V.Unitésoit en J/C car par définition V = Ep / qou bien en Volt, qui est l’unité la plus utilisée.Le potentiel crée par plusieurs charges en un point P peut être déterminé à partir de l’expressionsuivante :nq1q2q3q1qiV = + + + ... =4πεr 4πεr 4πεr 4πε∑r0 102030 i=1 iConclusion : Une charge ponctuelle produit :q• Un champ (vectoriel) E= u .4πεr2q• Un potentiel (scalaire) V = .4πε 0 rExercice :Les charges Q 1 = +4 µC, Q 2 = -4 µC, Q 3 = +5 µC, et Q 4 = -7 µC sontplacées sur un rectangle de longueur 5cm et de largeur 3cm, commereprésenté à la figure. Calculer l'énergie potentielle de cetteconfiguration de charges.0Figure9

Chapitre 1 : ElectrostatiqueCours de A.TilmatineExercice :Trois charges ponctuelles sont apportés de l'infini aux positions suivantes sur l'axe des abscisses: Q1 =5,2.10 -6 C à x = -1 m, Q2 = 2,6.10 -6 C à x = 0 m, et Q3 = 5,2.10 -6 C à x = 1 m. Quelle est l'énergiepotentielle de cette configuration de charges?Exercice :Deux charges Q 1 = 1 C et Q 2 = -1 C sont placées aux sommets d’un triangle équilatéral, de 4 cm decôté.1. Calculer le potentiel au point P.2. Quelle est la direction du champ électrique au point P?Exercice :Aux sommets d’un carré ABCD de coté 2m sont placées lesYQ 1 Qcharges suivantes :2MQ 1 = 2.10 -8 C ; Q 2 = -8.10 -8 C ; Q 3 = 2.10 -8 C ; Q 4 = 4.10 -8 C ;1. Calculer le champ et le potentiel électriques au centreOO du carré.2. Calculer le potentiel au point M milieu de AB.Q 4VII. RELATION ENTRE E et VPour placer une charge q en un point où règne un potentiel V, il faut fournir un travail W :W = −∫F.drCe travail est emmagasiné par la charge q sous forme d’énergie potentielle E p :Ep= qVW = E p ⇒ dW = dEp⇒−F.dr=qdV ⇒−qE.dr=qdV ⇒dV= −E.dr1D’autre part, on peut poser que :dV = ∂Vdx+ V dy V dz V u Vx u Vy uz( dxuxdyuydzuz) gradV.drx∂ + =⎛ ∂⎞+ + =y z⎜ + +∂∂∂ x∂y∂z⎟2∂⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠D’après les équations 1 et 2, on obtient:E =−gradVConclusions:1) E= −gradV =− ∂ V u Vx− u Vy− uz∂x∂∂y∂E∂zLe champ électrostatique a le sens des potentiels décroissants.Suivant l’axe des x, nous avons : E= − ∂ V ux.V∂x1 > VV 21V 2Le champ électrique est toujours dirigé du potentiel le plusélevé au potentiel le plus bas.2) rotE = rot( −gradV ) = 0ED’après cette relation mathématique, on déduit que le champ électrostatique est non Figure rotationnel. C’est-àdireque la ligne de champ électrique ne se referme jamais sur elle même. Les lignes de champélectrique ne se referment que sur des charges électriques.Q 3FigureX+ Oui_3) ∫E. dl=0FigureEn effet, nous avons : rot E = 0⇒∫rotE.dS=0⇒∫E.dl=0Le long d’un contour fermé quelconque, dans le quel on définit deuxpoints A et B :BA∫E. dl= ∫ E.dl+∫ E.dl=( VA−VB) + ( VB−VA) = 0AFigureBNonAdldlFigure 34B10

Chapitre 1 : ElectrostatiqueCours de A.TilmatineVIII. SURFACE EQUIPOTENTIELLEDéfinition :C’est une surface où le potentiel est constant et partout le même.Exemple: charge ponctuelle qqV =4πε 0 rLe potentiel est constant si on pose r = R = constante ;Chaque sphère de rayon R constant (R 1 , R 2 , R 3 ) représente donc unesurface équipotentielle.Sens de parcours de la boucle = sens de dlEER 2R 3R1ERègle de base : le champ électrique est toujours perpendiculaire à lasurface équipotentielle.Exercice :Montrer que le champ électrique est perpendiculaire à la surface équipotentielle.Solution :Soit OPQR un plan uniformément chargé, c’est doncYune surface équipotentielle située dans le plan XOYFigureE= −gradV =− ∂ V u Vx− u Vy− uz∂x∂∂y∂∂zRComme ∂ = ∂ = 0∂V Vx ∂ydonc E=− ∂ V u∂zzLe champ électrostatique est perpendiculaire à la surface équipotentielle.V constant∂V= 0 ; ∂V= 0∂x∂yQLigne équipotentielle :OFigurePXligne équipotentielleZEFigureIX. THEOREME DE GAUSS1. Flux électriqueFlux électrique : Φ e = E. dsFlux magnétique : Φ m= B. ds∫∫(S)θBdSSurface non ferméeE.ds = Edscosθ∫∫Surface ferméeSurface globale = surface S 1 (base supérieure) + surface S 2 (base inférieure) + surface latérale S 3 .Φ e=∫ E . dS1 + ∫E.dS2+∫E.dS3S1 S2S3dS 1EdS 3dS 2Figure : Surface ferméeFigure : Surface non fermée11

Chapitre 1 : ElectrostatiqueCours de A.TilmatineRemarques:• Les vecteurs dS relatifs à la surface fermée sont perpendiculaires à la surface considérée etsortants.• Quand le flux est positif, il est « sortant ». Quand il est négatif, le flux est « entrant ».• La notion de « flux » ne signifie pas vraiment qu’il y a un mouvement de quelque chose à traversla surface.2. Théorème de Gaussq∫ ∫ ∫ = q dScosθqΦe= E .dS=EdScosθ= dS cosθ∫ = ∫dΩ4πεr24πεr24πε0dΩ : Angle solide sous lequel on voit dS à partir de q (cône).Pour une surface fermée ∫ d Ω=4π0On obtient alorsθq qdSΦ e = 4π=4πε0ε0qqDonc ∫ E.ds = ε Figure 40Théorème de Gauss:Le flux électrique à travers une surface fermée quelconque est égal au rapport q/ε 0 , où q représente lasomme des charges se trouvant à l’intérieur de cette surface.0EAutre démonstration (plus simple) :On considère comme surface fermée une sphère de rayon r.EdSles vecteurs E et dS sont tous les deux radiauxqDonc : ϕ= ∫ E . dS=∫EdS=∫ dS4πε r20comme r est constant sur toute la surface de la sphère :q q42qϕ= dS π r4πεr2 ∫ ==4πεr2ε000rqFigure 41Cas général :Les charges se trouvant à l’extérieur de la surface fermée nesont pas considérées dans le théorème de Gauss.ϕ=Forme différentielle :Φ e=E. ds=divEdv ;∫∫Vsi la charge est uniformément répartie dans un volume V on pose :q ρ v dv=∫Vnq1 q2qnqi∫ E . dS=+ + ... + =ε∑0 ε0ε0i=1 ε0où ρ v densité de charge volumiqueqD’où ∫ divEdv== 1v∫ρdvε εVSoit donc,0ρvdivE=ε00 Vq' 2Figure 42 q' 3q nq' 1q 1q 212

Chapitre 1 : ElectrostatiqueCours de A.TilmatineExercice : Champ d’une charge ponctuelleOn choisit comme surface fermée une sphère de rayon r. La surface de Gauss doit respecter la symétriedu problème, le champ en tout point de la surface doit être constant.Exercice :On considère une sphère de rayon R possédant une charge superficielle q de densité ρ s . Déterminer lechamp électrique à l’intérieur et à l’extérieur de la sphère.Exercice :Déterminer le champ électrique produit par un filament rectiligne possédant une charge uniforme dedensité ρ, en utilisant le théorème de Gauss.3. Equations de Laplace et de Poisson( ) 2ρvdivE= div( −gradV)= ∆.−∆V=−∆ V =ε0∂2V∂2V∂2VvSoit2ρ∆ V = + + = − (Relation de Poisson)∂x2∂y2∂z2ε0∂2V∂2V∂2VSi ρ v =0 : + + = 0 (Equation de Laplace)∂x2∂y2∂z2Exercice :Utiliser l’équation de Laplace pour déterminer la distribution du potentiel et le champ électrostatiquedans la région située entre deux plans parallèles portés aux potentiels V 1 et V 2 (V 1 >V 2 ).Exercice :Résoudre l’exercice précédent, en considérant qu’il existe une charge volumique de densité ρ v entre lesdeux plans.X. CAPACITE- CONDENSATEUR1. Conducteur uniqueC = q /VC : capacité du conducteur ; q: charge du conducteur ; V: potentiel du conducteurUnité : [C] = C / V ;En général on utilise comme unité le Farad et ses sous multiplesR[C]=Farad FExemple: Sphère chargée (que ce soit en volume ou en surface)qqV = ⇒C=4πε0R4πε0R2. Deux conducteurs (condensateur) :Figure 47QSi V 1 et V 2 sont les potentiels de ces conducteurs, la capacité du système est définie par : C= V 1 −V 2.Tout système constitué de deux conducteurs quelconques séparés par un isolant est un condensateur.La capacité du condensateur est C = q / U .où U = V 1 – V 2 représente la d.d.p entre les deux conducteurs.V 1 , V 2 potentiels des deux conducteurs.Les condensateurs les plus connus sont :Cylindre interne isolantq-qSphère interneisolantSphère externeFigure : Condensateur sphériqueCylindre interneV 1V 2Figure : Condensateur cylindrique13Figure : Condensateur plan

Chapitre 1 : ElectrostatiqueCours de A.TilmatineRemarques :• Les deux armatures portent des charges Q égales mais opposées. Q est la charge ducondensateur.• La capacité est indépendante de la tension et de la charge : elle constitue seulement le facteur deproportionnalité (constant) entre les deux. Elle dépend des paramètres géométriques ducondensateur.Exercice : Déterminer la capacité d’un condensateur plan.Exercice : Calculer la capacité d’un condensateur sphérique de charge Q, constitué de deux armaturessphériques concentriques de rayons R 1 et R 2 .XI. ENERGIE ELECTROSTATIQUESoientq, V: charge et potentiel du condensateur à un instant t.Pour amener une charge supplémentaire dq au condensateur,on doit fournir un travail dW, afin de vaincre la répulsion des chargesexistantes.RappelW = −∫ F.dr =qVSi nous apportons une charge supplémentaire dq, le travail effectué est :dW = V dqdW =−F.dr= V dq⇒W=qmavec q m : charge maximalesoit en général :q2W = , 2 Cou bien comme V=q/C :W = 1 qV . 2Remarques :qmqmq ⎛ q ⎞ q21mC C⎝2 ⎠ 2C0 02∫V dq=∫ dq=⎜ ⎟ =0• W = 1qVest l’énergie emmagasinée par un système (condensateur, ensemble de charges…) suite à un travail2fourni.• W = qV est l’énergie potentielle que possède une charge q dans un potentiel V.Commeρsε 0E= et q= ρsS, il vient :( )22q SW=Sd V E V2 1 2 s21 ρsC2 1 sd S 1 ρ ⎛ ρ ⎞= = = ε 1 20 ε02 ε 2⎜ ⎟ =ε00 ⎝ ε0⎠ 2avec V volume du condensateur.W = 1 ε E20 V2Conclusion: le champ électrique emmagasine de l’énergie électrique de densité w=1 ε E 20 .2Autre démonstration :Considérons une sphère de rayon R qu’on se propose de charger. A un instant donné, supposonsque la charge de la sphère est q. Le fait de charger la sphère exige un travail dW, car pour apporter unecharge supplémentaire dq il faut vaincre la répulsion de la charge q.dW = V dq ;Comme V = q / C,14

Chapitre 1 : ElectrostatiqueqdW = dq .CLe travail fourni pour porter la charge de la sphère de 0 à q m est :qqqdqC 1m2mW = ∫ =2C0rCours de A.Tilmatineétant donné que C = 4 π ε 0 R, on obtient :⎛ q2⎞W = 1⎜⎟ (1)2⎝4πε0R⎠Calculons l’intégrale suivante : ∫ ∞ RE 2 dVLe volume d’une sphère de rayon r est : V =334 π rPar conséquent : dV = 4 π r 2 dr∞∞q2∞⎛ q ⎞q2E2dV( 4 r2dr)dr∫ = ∫⎜⎟π4 r242r242πε=00 RRR 0πε ∫ =⎝ ⎠πεRRFigureen substituant ce résultat dans l’équation (1), on obtient :∞W = ∫E202R1 ε dV .XII. INTERACTION ENTRE LE CHAMP ELECTRIQUE ET LA MATIERE1. Conducteur :Considérons un conducteur cylindrique placé entre deux plaques métalliques soumises à une tension U.le conducteur est en équilibre électrostatique, c’est-à-dire qu’il ne touche pas les deux électrodes.Autrement, les charges seront mises en mouvement et naîtra un courant. Le conducteur n’est plus enéquilibre électrostatique.E appE intpas de champ appliquéEint= 0FigureE app : champ appliqué externe;E int : champ interne crée par la nouvelle répartition de charges ;E r : champ résultantErFigure= E − E = 0app intDans un conducteur les électrons sont libres de mouvement. Dés qu’on applique un champ électrique,les électrons se déplacent sous l’action de ce champ, il en résulte une nouvelle distribution de chargesqui donne naissance à un champ interne qui annule le champ appliqué.Conclusion : le champ électrique dans un conducteur en équilibre est nul.15

Chapitre 1 : ElectrostatiqueCours de A.Tilmatine2. Isolant (diélectrique) :Polarisation électrique :Dans un atome, les centres de gravité du noyau et des électrons coïncident, par conséquent lemoment dipolaire moyen de l’atome est nul (Figure). Par contre après l’application d’un champélectrique externe, le centre de gravité des électrons est déplacé d’une certaine distance x par rapport aunoyau : l’atome est alors polarisé et devient un dipôle électrique de moment p (Figure 61). Dans chaqueatome est crée un champ E p de sens opposé au champ appliqué.Les molécules peuvent avoir un moment dipolaire permanent, de telles molécules sont dites polaires.xPas de champ extérieurFigurePrésence d’un champ extérieurLes électrons dans l’isolant sont liés aux atomes. Quand on applique un champ électrique, lesélectrons ne se libèrent pas mais sont légèrement déplacés par rapport au centre de gravité de l’atome,c’est la polarisation.E p est appelé champ de polarisation (E p

Chapitre 1 : ElectrostatiqueCours de A.TilmatineFORMULAIRE D’ELECTROSTATIQUE• Charges :Ponctuelles : Q [C] ; linéiques : λ [C/m]Surfaciques : σ [C/m 2 ] ; volumiques : ρ [C/m 3 ]• Champs : D Déplacement ou Induction électrique [C/m 2 ]E Champ électrique [V/m].D=ε E• Loi de Coulomb :F qE = ;Charge ponctuelle :qE= u et4πεr20qV =4πε 0 r• Lois de base :div D=ρ ouQ∫E. dS=ε0rot E=0 ou ∫E. dl=0• Potentiel :V = −∫ E. dl ; dV =−E. dl ; E=−gradV=− ∂ V ux− V u Vy− uz∂x∂∂y∂∂z• Tension :UAB= VA−VBB=∫AE. dl• Travail :W BA=qU AB• Capacité :qC=U• Densité d’énergie électrique : w= 1 ε202E .int17