Annexe IV Modèle de Hubbard standard et états cohérents - Toubkal

RemerciementsCette thèse a été réalisée au sein du laboratoire de physique théorique (LPT) dela faculté des Sciences de Rabat.En premier lieu, je tiens beaucoup à remercier Monsieur Le Professeur YassineHassouni. En sa qualité de Directeur du Laboratoire et aussi de directeur de mestravaux de recherches, Monsieur le Professeur Yassine Hassouni a dirigé ce travailavec toute compétence, patience et générosité d’âme. Il m’a toujours apporté lesconseils précieux, les encouragements et l’aide précieuse qui ont permit à ce travail devoir le jour. Qu’il trouve ici le témoignage de toute ma gratitude et de ma profondereconnaissance.Mes remerciements à Monsieur Mourad El Baz, Professeur assistant à la facultédes Sciences de Rabat. Je dois témoigner du grand contentement que j’ai eu encollaborant avec lui. Qu’il trouve ici l’expression de mon grande estime.Je remercie tous les Professeurs du Laboratoire de physique théorique pourl’encouragement et l’aide qu’ils m’ont apporté durant les années de préparation de mathèse. Je veux surtout exprimer ma profonde gratitude et ma reconnaissance àMonsieur le Professeurs H. Boutaleb et Monsieur le Professeur A. Hassouni.Je remercie Mme R. Charkaoui, Professeur à la faculté des Sciences de Rabat etmembre de la l’académie Hassan II des Sciences et techniques pour avoir accepter deprésider le jury de ma thèse. J’avoue que c’est un grand honneur pour moi.Je remercie Monsieur M. Mdarsi Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat,Mme W. Lazrak Professeur à l’Ecole Normale Supérieure de Rabat et Monsieur A.2

Marrakchi Professeur à la Faculté des Science de Fès pour l’honneur qu’ils me font enacceptant de faire partie de mon jury.Je remercie également Monsieur le Professeur A. Trabelsi, Faculté des Sciencesde Tunis et Directeur du CNSTN (Tunisie). Professeur Trabelsi et malgré ses diversesoccupations a accepté de faire partie du jury de ma thèse. J’avoue que c’et un grandhonneur pour moi.Mes remerciements vont aussi à Monsieur G. Baskaran, Senior Professor,Institute of Mathematical Sciences, Chennai (Inde) et membre de l’Indian NationalScience Academy pour l’honneur qu’il me fait pour avoir accepter d’écrire un rapportsur mes travaux de recherches.Je remercie le Centre International de Physique Théorique (ICTP, Trieste) pourson hospitalité et pour l’aide dont j’ai bénéficié pour réaliser une bonne partie dutravail de recherche.L’Université de Tunis a toujours subventionné mes visites scientifiques aulaboratoire de Physique théorique pour permettre d’avancer dans mon travail derecherche. Je saisie cette occasion pour remercier vivement Monsieur Le Président del’université de Tunis.Je remercie également Monsieur le Professeur Said Belgacem, Directeur deL’IPEIT, Université de Tunis pour son aide et ses encouragements. Je remercie aussitous les collègues de l’IPEIT qui m’ont remplacé pour assurer mon cours lors de mesmultiples visites au Laboratoire de Physique Théorique. Mon collègue Tarek Sbeoueljiest particulièrement remercié.3

Table de matièresIntroduction générale 1Chapitre I : Autour des généralisations des états cohérentset de leurs applications 5I-1 Introduction……………………………………………………………… ……5I-2. Etats de Glauber……………………………………………………………….6I-3. Généralisation de la notion d’EC …………………………………………….7I-3.1. ECC et rapport avec les groupe de Weyl-Heisenberg……………… ………8I-3.2. Les EC et leur rapport avec la théorie des groupes…………………............ 9I-3.3. Applications des EC en physique…………………………………… ……...11I-4. Aperçu sur les groupes quantiques et les oscillateurs déformés ……………12I-4.1. Les groupes quantiques……………………………………………………. 12I-4.2. Les oscillateurs harmoniques déformés……………………………………..13I-5. ECD et supraconductivité à haute température critique……………………15I-5.1. Généralités sur le phénomène de la supraconductivité……………………..16I-5.2. Le modèle de Hubbard………………………………………………............17I-5.3. Le mécanisme d’appariement de Yang…………………………………… ..18I-5.4. Effet isotopique en SHTc…………………………………………………….20I-5.5. Couplage électron-phonon ………………………………………………….22I-5.6. L’hamiltonien effectif………………………………………………………24I-5.7. Modèle de Hubbard avec phonons et symétrie quantique…………………26I-5.7.a. Symétrie locale[ su (2) ] …………………………………………………...26jqI-5.7.b. Symétrie globale U q(su(2))………………………………………………..27I-5.8. Etats cohérents déformés supraconducteurs………………………………314

Chapitre II : Oscillateurs harmoniques généraliséset ECD correspondantsII-1. Introduction ………………………………………………………………….33II-2 : Article I……………………………………………………………………...34New construction of Coherent States for Generalized Harmonic OscillatorRep. Math. Phys. Vol 50, No 2 (2002) 263Chapitre III : Oscillateurs fermioniques et ECD correspondants 47III-1. Introduction…………………………………………………………………47III-2 Article II……………………………………………………………………..48Z − Graded3Grassmann variables, parafermions ant their coherent statesPhys. Lett. B 536 (2002) 321-326Chapitre IV : Modèle de Hubbard avec phonons et ECD relatifs 54IV-1. Introduction…………………………………………………………………54IV-2. Article III……………………………………………………………………55Superconducting coherent states for an extended Hubbard modelInt. J. Mod. Phys B. Vol. 17, No.27 (2003) 4859-4866Conclusions et perspectives63Annexe I : Les états cohérents canoniques 65Annexe II : Les états cohérents fermioniques et algèbre de Grassmann 72Annexe III : Aspects conventionnel et inconventionnelde la supraconductivité 76Annexe IV : Modèle de Hubbard standard et états cohérents relatifs 81Bibliographie 875

Introduction généraleLes états cohérents ont été introduits par Glauber [1], en 1963, dans le contextede l’optique quantique. Ils ont constitué un outil, à la fois, nécessaire et efficace pourdécrire les radiations d’une émission laser. Ils permettent, en particulier, de rendrecompte de l’une des propriétés essentielles d’un faisceau laser, à savoir sa cohérence.Cette dernière se traduit par le fait que tous les trains d’onde sont en phase. C’est pourcette raison que la dénomination états cohérents (EC) a été alors léguée aux états deGlauber.Au cours de l’année même (c’est-à-dire 1963), Klauder [2] introduit un systèmed’états, similaire à celui de Glauber, dans l’objectif de sonder, en termes de valeursmoyennes, la relation entre systèmes quantiques et classiques. Notons que lacontribution de Klauder s’inscrit, en fait, dans le même élan de l’idée ayant été déjàémise par Schrödinger en 1926 lorsqu’il a étudié les états associés à l’oscillateurharmonique quantique qui permettent aux valeurs moyennes des opérateurs impulsionet position de se rapprocher le plus possible de leurs homologues classiques [5].L’apport qui mérite d’être souligné à propos de ces travaux de Kaluder est qu’ilsincarnent la possibilité de généraliser la notion d’EC [5,7] à différents domaines de laphysique.La généralisation des EC, au sens de leur extension à des domaines de laphysique régis par un formalisme hamiltonien autre que celui de l’oscillateurharmonique, a commencé à émerger à partir des années soixante-dix. Les premièrestentatives ont été marquées par des inadéquations qui se traduisent par des résultatsdivergents [7,10, 66]. L’approche de généralisation la plus adéquate a été établie parPerelomov [4] et Gilmore [5]. Ces deux auteurs ont, indépendamment l’un de l’autre,trouvé l’issue qui consiste à établir le lien entre la théorie des groupes et laconstruction des EC. A la lumière de cet apport, on s’aperçoit que les EC de Glaubersont eux-mêmes en rapport avec une structure algébrique qui est le groupe de Weyl-Heisenberg [4,5]Perelomov et Gilmore ont ainsi ouvert un horizon sans limites à l’extension et àla généralisation des EC. L’idée repose sur la détermination de l’algèbre de Lie qui esten rapport avec le groupe régissant les symétries du système étudié. Ensuite, on endéduit le groupe dynamique qui joue dans la construction des EC relatifs au systèmeen question, un rôle similaire à celui du groupe de Weyl-Heisenberg dans le cas de laconstruction des EC correspondants à l’oscillateur harmonique bosonique. Ainsi, on6

assiste à l’apparition d’une vaste littérature qui concerne l’extension de la notion d’ECà divers domaines de la physique. Ces généralisations ne sont pas stimuléesuniquement pour répondre à des questions posées par les mathématiques [24] (ou laphysique mathématique), mais aussi pour des nécessités d’ordre physique [5,6,16]. Eneffet, dans plusieurs contextes, les EC constituent un outil à la fois efficace et pertinentqui permet de déterminer les grandeurs physiques caractéristiques des systèmesétudiés.Pour rendre compte du rôle joué par les EC en physique, nous citerons deuxréférences importantes dont l’une est due à Klauder [7] et l’autre à Gilmore [5]. Cesdeux références peuvent être considérées comme étant de véritables « catalogues »dans lesquels on peut trouver un très grand nombre d’exemples concrets d’applicationdes EC dans divers domaines de la physique. De par les applications et les exemplesfournis par ces deux références majeures, nous développerons en annexe IV laconstruction des EC [15] relatifs au modèle de Hubbard. Il importe de souligner qu’ils’agit d’un modèle [11] (le modèle de Hubbard) qui admet une importance particulièreen physique de la matière condensée. Dans des limites bien appropriées, il permet derendre compte des propriétés de plusieurs matériaux allant des isolants jusqu’auxsystèmes antiferromagnétiques. Il fait l’objet d’études à la fois intensives et continuesdepuis qu’il a été suggéré en 1987 par P.W. Anderson [12] pour décrire le phénomènede la supraconductivité à haute température critique [13].La construction des EC qui correspondent au modèle de Hubbard standard estdue à Penson et Solomon [15]. Ces deux auteurs fournissent la preuve que ces étatsconstituent un outil mathématique efficace permettant non seulement de contournerun nombre de questions ouvertes en rapport avec le modèle de Hubbard, mais aussid’avoir accès à la détermination les grandeurs physiques pertinentes [44] quicaractérisent la transition supraconductrice (voir annexe IV). La méthode utilisée parces deux auteurs nous servira par la suite de base d’appui pour construire les étatscohérents déformés (ECD) relatifs au modèle de Hubbard avec phonons qui exhibeune symétrie quantique [16, 21]. Cette étude que nous entreprendrons au chapitre IV apour objectif d’illustrer le rôle joué, en physique de la matière condensée, par lessymétries quantiques, ainsi que les ECD qui leur correspondent.Les symétries quantiques [19,20] dites aussi groupes quantiques ne sont pas,contrairement à ce que leur dénomination peut laisser entendre, de véritables groupes ;mais ils sont plutôt des algèbres de Hopf . Ils ont fait leur apparition comme structuresmathématiques sous-jacentes dans l’étude de plusieurs problèmes physiques tels que lathéorie quantique de diffusion inverse (Quantum Inverse Scattering) [20], ou en tantque solution de l’équation de Yang-Baxter [20]. Par ailleurs, les groupes quantiquespeuvent être considérés comme étant des déformations des algèbres de Lie classiquesqui dépendent d’un (ou, éventuellement, de plusieurs) paramètre(s) de déformation.Néanmoins, il faut faire observer que ces déformations sont assujetties à une contrainteimportante : il est impératif qu’elles permettent de retrouver l’algèbre non déformélorsque le(s) paramètre (s) de déformation tend(ent) vers l’unité [19,20].7

Il existe aussi d’autres structures algébriques déformées. Il s’agit desoscillateurs quantiques déformés qui ont, d’ailleurs, fait leur apparition dans lalittérature bien avant l’avènement des groupes quantiques. Ils interviennent dansl’étude de plusieurs systèmes physiques. Ils sont surtout appliqués dans la descriptiondes systèmes où les effets anharmoniques jouent un rôle dominant [25]. Ils ont étéutilisés, également, en vue d’obtenir une nouvelle théorie de champ où l’on peutenvisager certains écarts par rapport à la statistique de Bose Einstein ou du principed’exclusion de Pauli [30]. Ainsi, Bezerra [29] en se servant des oscillateurs bosoniquesdéformés a été en mesure d’envisager l’étude de la construction une théorieperturbative généralisée. D’autre part, les oscillateurs fermioniques déformés quitraduisent une certaine généralisation du principe d’exclusion de Pauli [25,30], ont étéutilisés par Parthasarathy [33] pour réaliser des algèbres supersymétriques quantiques.D’un point de vue purement algébrique, les oscillateurs déformés ne possèdentpas [22-24] en général de structures d’algèbres de Hopf. Ils sont définis en tant quedéformations des oscillateurs ordinaires qui font intervenir un ou, éventuellement,plusieurs paramètres de déformation. Néanmoins, ces déformations sont assujetties àune réserve importante : redonner l’algèbre des oscillateurs ordinaires lorsque le(s)paramètre(s) tend(ent) vers l’unité.Par ailleurs, l’avènement de ces structures algébriques déformées a soulevé laquestion des constructions des états cohérents déformés (ECD) qui leur correspondent.Plusieurs méthodes de construction ont été proposées dans la littérature pour répondreaux besoins de cette question. Cependant, nous trouvons qu’il est instructif de répartirles divers ECD construits en trois types de familles : Elles correspondentrespectivement aux oscillateurs bosoniques déformés, aux oscillateurs fermioniquesdéformés et aux groupes quantiques.La construction des ECD relatifs aux groupes quantiques peut être achevée enfaisant appel est achevée à deux approches possibles. Il y a d’une part, une premièrealternative [67], de caractère essentiellement fondamental ; elle est basée sur l’idéed’adopter la méthode de Perelomov et Gilmore au contexte des symétries quantiques.En revanche, la deuxième alternative [68], qui est plutôt « pragmatique », consiste àprocéder par analogie avec une construction classique préalablement connue (serapportant à un groupe de Lie classique). Il importe de souligner, à ce propos, que ladeuxième approche est la plus utilisée en littérature [68]. Nous nous en servirons pourla construction des ECD relatifs au modèle de Hubbard avec phonons [16,21], et ce enprocédant par analogie avec l’étude menée Penson et Solomon [15] pour ladétermination des EC relatifs au modèle de Hubbard standard.La construction des ECD relatifs aux oscillateurs bosoniques déformés se basesur un nombre minimum de critères émis par Klauder [7]. Celui-ci considère, qu’unensemble d’états est cohérent lorsque ces états obéissent à un minimumincompressible de conditions mathématiques: la normalisabilité, la continuité et larésolution de l’unité. A partir de ces critères ont émergé trois méthodes [74-76] de8

construction d’ECD bosoniques ; elles ne diffèrent entre elles que par la façon dontelles cherchent à remplir la condition de la résolution de l’identité.La construction des ECD correspondant aux oscillateurs fermioniques déformésest beaucoup moins répandue en comparaison avec ses homologues bosoniques. LesECD fermioniques font appel aux variables grassmanniennes généralisées dont ledegré de nilpotence est supérieur à deux. Dans la littérature, on dénombreessentiellement deux manières de réaliser ces constructions dont l’une est due àKerner [34-35] et l’autre à Majid [36-37].Cette thèse est organisée comme suit :Dans le chapitre I nous donnerons un aperçu sur l’évolution de la notion d’étatscohérents. Nous procéderons alors à un tour d’horizon qui nous permettra d’introduirede manière consécutive et graduelle les différentes méthodes de généralisation de lanotion d’EC. Nous commencerons d’abord par introduire les EC conventionnelsgénéralisés. Ils doivent se placer naturellement en amont des états cohérents déformés(ECD). Ensuite, nous discuterons les raisons physiques nécessaires et suffisantes quiont stimulé l’introduction de la notion d’ECD. Nous aborderons égalementl’application des ECD en physique et nous focaliserons en particulier sur les raisonsnécessaires et suffisantes qui permettent de les utiliser pour étudier le phénomène de lasupraconductivité à haute température critique.Le chapitre II sera consacré à l’étude des oscillateurs harmoniques bosoniquesdéformés. Nous introduirons alors une algèbre dynamique qui permet d’unifierplusieurs oscillateurs déformés introduits auparavant dans la littérature. Nousétudierons également la construction des ECD qui se rapportent à cette algèbred’oscillateur généralisée [17] et nous déterminerons leur expression explicitecorrespondant à un oscillateur déformé spécifique.Dans le chapitre III, nous nous intéresserons à l’étude des ECD fermioniques.Nous nous appuierons sur les structures algébriques introduites par Kerner pour établirune relation entre les variables grassmanniennes Z3− graduées et les parafermions. Laconstruction des ECD est la conséquence directe de cette relation [18].Dans le chapitre IV, nous étudierons la construction des ECD qui correspondentà la symétrie quantique (su(2))que présente le modèle de Hubbard avec phononsU q[21]. En outre, nous fournirons la preuve que ces états permettent de rendre compte duphénomène de la supraconductivité [16], et ce dans la mesure où ils permettent dedéterminer les grandeurs caractéristiques de la transition supraconductrice.Dans la conclusion, nous commenterons nos résultats et nous énumérerons lesperspectives qu’ils peuvent avoir.9

Chapitre IAutour des généralisationsdes états cohérentset de leurs applicationsI -1. IntroductionLa notion d’états cohérents [1] (EC) a fait l’objet de généralisations qui necessent de trouver des applications de plus en plus nombreuses et pertinentes en dehorsdu domaine où elles ont pris naissance (à savoir l’optique quantique). C’est Perelomov[4] et Gilmore [5] qui, en établissant le lien entre la théorie des groupes et ces états,ont rendu de telles extensions possibles. Par ailleurs, l’avènement des groupesquantiques [19,20] et des oscillateurs quantiques déformés [22-25] a induit unenouvelle généralisation qui a donné lieu à la notion d’états cohérents déformés (ECD).Le constat qui mérite d’être souligné à propos de la construction des ECD estl’existence d’une diversité de méthodes [28-37, 67-68]. Néanmoins, on peut cerner cesdifférentes méthodes en deux catégories. L’une faisant appel à des approches typiquesou bien appropriées au contexte des structures algébriques déformées [67]. L’autres’appuyant sur une analogie formelle avec la construction des EC classiques [6, 7, 34,35, 68]. C’est cette deuxième méthode qui est la plus utilisée surtout lorsqu’il s’agit deconstruire des ECD relatifs à des groupes quantiques. Nous ne pouvons alors nouspasser de revoir un nombre d’idées de base se rapportant aux travaux des pionniers etaussi à ceux de Perelomov et Gilmore. En effet, les idées qu’incarnent ces travaux à labase de la naissance de la notion d’EC permettent, dans une certaine mesure, derévéler les processus de généralisation à employer.L’ensemble de considérations que nous venons de mentionner nous incite à userde ce chapitre pour faire un tour d’horizon qui retrace l’évolution des idées dans ledomaine des EC. Ce tour permettra, entre autres, de paver le chemin à l’étude desECD se rapportant aux oscillateurs déformés ainsi qu’à ceux relatifs au modèle deHubbard étendu qui tient compte des phonons [21].10

Notre point de départ sera un passage en revue des EC de Glauber [1].I-2. Les EC de GlauberGlauber construit les EC en adoptant un ensemble de trois définitions :(i)Les EC sont des états propres de l’opérateur annihilation de l’oscillateurharmonique a,où z est un nombre complexe.a z = z z , (1)(ii)Les EC sont obtenus en faisant agir un opérateur dit de déplacement, D (z), surl’état du vide de l’oscillateur harmonique,avecz = D(z) 0 , (2)D(z)= exp( z a+− z * a), z ∈ C(3)(iii) Les EC sont des états quantiques qui minimisent les relations d’incertitude deHeisenberg2 2 1( ∆p ) ( ∆x)= , ( h = 1)(4)2En partant de ces définitions, qui sont d’ailleurs équivalentes, on montre aisément(voir annexe I) que les EC sont explicitement exprimés par :z= exp( −z22)∑nznn!n(5)oùz ∈ C et n est un état propre de l’opérateur nombre d’occupation N et del’hamiltonien de l’oscillateur harmonique bosonique libre :oùH= h ω( N +1/ 2)(6)+N = a a(7)est l’opérateur nombre de particules.Les états n constituent une base orthonormée complète et on a donc [8] :11

∑ n n = 1 et (8a)nnn' δnn'= (8.b)En utilisant l’équation (5), on peut montrer aisément que les EC vérifient les propriétéssuivantes [7]:• Ils réalisent une correspondance entre l’espace de Hilbert et l’espace de Fock-Bargmann [40] et ce dans la mesure où les EC permettent d’exprimer les étatsen termes de fonctions analytiques (voir équation (5))• Ils sont continus en fonction de la variable complexe z :z − z' ⎯→0alors z − z'⎯→0(9)• Ils ne sont pas mutuellement orthogonaux• Ils sont stables dans le temps car un état cohérent évoluant dans le temps resteun état cohérent.• Les EC constitue un système plus que complet parce que d’une part ilspermettent de résoudre l’unité et de l’autre ils ne sont pas deux à deuxorthogonaux. La résolution de l’unité fait alors appel à une fonction poidspositive W ( z ²) telle que :∫∫d ² zW ( z ²) z z = I(10)où I est l’opérateur identité et d ² z = dxdy .L’ensemble de propriétés que nous venons d’énumérer ainsi que les définitions deGlauber mentionnées ci-dessus constituent un minimum essentiel permettant dedonner une idée sur les EC inventés par les pionniers, Schrödinger, Glauber etKlauder. Ces états sont appelés dans la littérature moderne d’ECC (états cohérentscanoniques), et ce pour les distinguer des diverses généralisations dont la notion d’ECa fait et continue de faire l’objet. Ainsi, nous sommes conduit à entreprendre un tourd’horizon qui couvre les différentes extensions de la notion d’EC.I-3. L’évolution de la notion d’ECLes premières tentatives de généralisation de la notion d’EC ont commencé àémerger vers le début des années soixante-dix [10,66].Ils se sont articulées autour del’extension de l’une au moins des définitions de Glauber. Le fait marquant à propos de12

ces premières approches est la divergence des résultats auxquels ils aboutissent [7].L’une des causes de cette divergence est qu’en dehors du contexte de l’oscillateurharmonique les définitions de Glauber ne sont plus équivalentes entre elles. Enconséquence, un lien étroit s’établit entre la définition adoptée et le résultat obtenu [7].Les inadéquations des approches ne vont pouvoir être surmontées que grâce auxtravaux de Perelomov [4] et Gilmore [5]. Ces deux auteurs ont, indépendamment l’unde l’autre, trouvé l’issue adéquate qui consiste à établir un lien intime entre la théoriedes groupes et la construction des EC. A la lumière de cet apport, on s’aperçoit alorsque même les EC de Glauber s’appuient, en fait, sur une structure algébrique qui est legroupe de Weyl-Heisenberg.[3]I- 3.1. ECC et rapport avec le groupe de Weyl-HeisenbergDésignons par GWle groupe de Weyl-Heisenberg et par W l’algèbre de Lie quilui correspond. Les éléments de cette algèbre sont tout simplement les opérateurs quientrent dans la formulation de l’hamiltonien de l’oscillateur harmonique bosoniqueunidimensionnel. Cette algèbre est engendrée par le triplet d’opérateurs [3] :avec{ I a,a+ }, (11)oùX + iPa = ,2[ X , P] = iI ,[ , X ] = [ I,P] = 0a+X − iP=(12)2I (13)Les opérateurs a et+a obéissent aux relations de commutation ordinaire :a a+ ]+[ , = I , [ I , a]= [ I,a ] = 0(14)Vu que le passage de l’algèbre au groupe se fait par le biais de la fonctionexponentielle alors un élément générique du groupe s’écrit sous la forme:oùg : = ( s,x,p)= exp( w)= exp( isI)D(α)(15)+D( α)= exp( αa−αa)(16)avecx +i pα = ,2x −i pα =(17).213

s , x,p sont des paramètres réels.La loi de multiplication dans W est donnée par [4] :1( s1,x1,p1)(s2,x2, p2) = ( s1+ s2+ [ x2p1− x1p2], x1+ x2, p1+ p2)2(18)Si on désigne par H un espace de Hilbert qui est considéré comme étant l’espace dereprésentation unitaire irréductible du groupe W alors un état de H s’écrit sous laforme :oùavecψ = U ( g)ψ(19)0U ( g)= U ( s)D(α)= exp( isI)D(α), (20)−U 1 ( g)= U ( g)(21)ψ0est un état arbitraire de H .Comme en mécanique quantique l’état d’un système est défini à une phase près,on en déduit que le groupe d’isotropie, Λ , associé à ψ0est un sous groupe distinguéde GWqui est engendré par l’unité I. Il s’ensuit que l’on peut décrire un EC [3] parun élément de l’espace quotient G / Λ :Wα = D( α)ψ . (22)0Il y a lieu de souligner que dans ce développement théorique l’état αobtenu grâce à l’action de l’opérateur unitaire D (α ) sur un état arbitraire ψ0jouantle rôle du vecteur de référence (fudicial vector). En revanche, lorsqu’il est question deconstruire les EC qui se rapportent à un système physique donné utilisant leformalisme de l’hamiltonien de l’oscillateur harmonique bosonique le choix del'état ψ0acquiert une importance particulière [3,7]. Ainsi, les EC de Glauber sontobtenus à partir de l’équation (22) en prenant l’état du vide 0 comme référence. Parcontre, dans certaines applications de l’optique quantique, il convient de considérerl’état ψ0comme l’un des vecteurs n de l’espace de Fock correspondant àl’hamiltonien de l’oscillateur harmonique [43].Ayant en vue le rapport entre EC de Glauber et théorie des groupes on peutconcevoir un rapport similaire permettant la construction des EC qui correspondent àun système physique régi par un formalisme autre que celui de l’oscillateurharmonique. L’idée repose sur la donnée du groupe de la symétrie du système àest14

étudier. A partir de l’algèbre de Lie associée à cette symétrie, on puise alors ce qu’onappelle le groupe dynamique [3,4,7]. Ce dernier sera pour les EC généralisésrecherchés l’analogue de ce qui est l’algèbre de Weyl-Heisenberg pour les ECcanoniques. Nous donnons ci-après un aperçu sur la méthode généralisation des EC ausens de Gilmore [5]. Cette approche présente l’avantage d’être particulièrementadéquate pour la construction des EC relatifs à des systèmes de la physique de lamatière condensée (les problèmes à N corps) [53].I-3.2. Les ECG et leur rapport avec la théorie des groupesConsidérons un système quantique décrit par un hamiltonien H . Engénéral H ainsi que l’ensemble des opérateurs { A } qui entrent dans la caractérisation dusystème sont exprimés à l'aide d’un ensemble complet d’opérateurs{ T i} = g . Le termecomplitude est pour signifier que g reste fermé par opérations de commutation. Ceciveut dire qu’étant donné deux éléments T et T appartenant à g alors on a [3]:ij[ T , T ] ∈ g(23)L’hamiltonien et les opérateurs de transition s’expriment par :ijH = H T ) et A = A T ) . (24)( iDans le cas particulier d’un système à N-corps [53], l’hamiltonien s’écrit sous laforme :( iavecH=∑i,jc∑++ +i, jaiaj+ vijklaiajakal(25)ijklci , j(resp. vijklterme d’interaction).) étant les éléments de matrice du terme libre de l’hamiltonien (resp. du+aiet aiétant les opérateurs de création et d’annihilation (bosonique ou fermionique).L’algèbre associée à l’hamiltonien (25) est so( 2n)pour les systèmes fermioniques(resp. sp( 2n)pour les systèmes bosoniques) [5] ; elle est engendrée par+ + +a a , a a , a a .{ }ijijijTrois données nécessitent d’être spécifiées avant de procéder à la constructionexplicite des EC [3].15

(i)un groupe dynamique G associée à une algèbre g qui est déterminé à partirde la donnée des propriétés algébriques des opérateurs du systèmeT tels que :quantique à étudier. g est engendrée par les opérateurs { } ik[ Ti, Tj] = ∑cijTk(26)kC étant les facteurs de structures de g ;kij(ii)l’espace de Hilbert des états physiques doit être une représentation unitaireirréductible du groupe G ;(iii) l’état de référence Φ 0= réf doit appartenir à l’espace de Hilbert et doitêtre normalisable.Les EC sont par la suite obtenus en invoquant:• le sous groupe de stabilité maximale qu’on note Λ . Il est défini comme étantl’ensemble des éléments h dont l’action sur le vecteur de référence n’induitqu’un changement de phase. on peut donc écrire :h Φ, h ∈ Λ ; (27)iΦ(h)0= e Φ0• tout élément g ∈ G admet une décomposition unique en un produit de deuxéléments, l’un appartenant à Λ et l’autre à G / Λ ; ceci veut dire que :oùg ∈ G alors g = Ωh(28.a)h ∈ Λ et Ω ∈ G / Λ(28.b)L’action d’un élément g ∈ G sur Φ0est donnée par :giΦ(h)Φ0= ΩhΦ0= Ω Φ0e . (29)D’autre part, comme en mécanique quantique les états d’un système physique sontdéfinis à un facteur de phase près il s’ensuit que l’on peut écrire un état cohérentgénéralisé se présente sous une forme telle qu’indiquée par l’équation (29). Ils’ensuit que la définition générale d’un état cohérent, au sens de la théorie desgroupes, est donné par :EC = Ω Φ 0. (30)16

Il importe de signaler que si on se contente de se limiter strictement auxconsidérations liées à la théorie des groupes alors on peut prendre Φ0comme un étattotalement arbitraire [4]. En revanche, lorsqu’il est question de construire les EC serapportant à un système physique donné, le choix de Φ0acquiert une importancetout à fait particulière [3]. Ce choix est dicté non seulement par des raisons« techniques » (c’est-à-dire calculatoires) en rapport avec la construction des EC maissurtout par le besoin de conserver la structure topologique de l’espace de phasequantique étudié [5,6].I-3.3. Applications des EC en physiqueL’établissement du rapport entre la construction des EC et la théorie du groupeest à la base de la généralisation de ces états à divers domaines de la physique. Il suffitalors de mettre en exergue les symétries que présente un système physique donné pourensuite construire les EC qui lui correspondent. Cette extension des EC qui est en soitune entreprise mathématique importante est stimulée surtout par le rôle que jouent cesétats dans l’étude des problèmes physiques. En effet, ils (les EC) permettent, dansplusieurs contextes, de déterminer les grandeurs physiques caractéristiques tels que lespectre et les fonctions de corrélation. Klauder [7] et Gilmore [3] ont « catalogué »,chacun dans une référence à part, des exemples concrets sur l’apport que constituel’application des EC dans plusieurs domaines de la physique. Ces deux auteursfournissent la preuve que la notion d’EC est, dans un sens, similaire à une « tutelle »qui s’étend pour coiffer presque toutes les branches de la physique. En effet, les ECsont utiles pour étudier une immense variété de problèmes qui touchent à la physiquenucléaire, physique des particules, physiques statistiques, etc [3,7]. En réalité, lalittérature récente montre que les EC font toujours l’objet d’extensions incessantesstimulées par de nouvelles découvertes. A titre d’exemple, non sous contentons deciter les travaux de Penson et Solomon [15] qui consiste en l’application des EC pourétudier le phénomène de supraconductivité à haute température critique qui est censéêtre décrit à l’aide du modèle de Hubbard [11]Pour construire les EC qui correspondent au modèle de Hubbard, Penson etSolomon usent de la symétrie SO (4)présentée par ce modèle (voir annexe III).L’apport essentiel de ces EC réside non seulement dans le fait qu’ils permettent decontourner un nombre de problèmes ouverts associés au modèle de Hubbard (que nousdiscuterons ultérieurement), mais aussi qu’ils sont de véritables étatssupraconducteurs. En effet, ils prouvent que ces EC leur permettent de déterminerdiverses grandeurs physiques qui entrent dans la caractérisation d’un supraconducteurdont en particulier le paramètre d’ordre de la transition supraconductrice appeléODLRO [44,45] (off-diagonal long range order).Nous mentionnons le travail de Penson et Solomon pour deux raisons : lapremière est pour souligner que le EC généralisés au sens Gilmore et Perelomovs’étendent même à des questions qui sont d’actualité en recherche. La seconde est quel’étude de leur construction va nous fournir un nombre d’outils mathématiques dont17

nous servirons par la suite pour déterminer les états cohérents déformés correspondantà la symétrie quantique vérifiée par le modèle de Hubbard étendu qui intègre lesphonons du réseau [21].Signalons que paver le chemin à la construction des ECD relatifs au modèle deHubbard étendu qui est l’une des questions essentielles autour de laquelle s’articule cetravail il est instructif de commencer d’abord par introduire un certains nombre denotions. Nous trouvons que nous ne pouvons pas nous passer de donner un aperçu quise veut, à la fois, général et succinct sur les structures algébriques qui se situent enarrière plan de la notion d’états cohérents déformés (ECD).Ainsi nous sommes conduit à donner une digression sur les oscillateursharmoniques déformés et les groupes quantiques ainsi que sur les différentesconstructions des ECD qui leurs correspondent.I-4. Aperçu sur les groupes quantiques et les oscillateurs déformés.I-4.1. Les groupes quantiquesLes groupes quantiques appelés aussi symétries quantiques apparaissent commestructures mathématiques sous-jacentes dans plusieurs contextes physiques tels que lathéorie quantique de diffusion inverse (quantum inverse scattering) ou en tant quesolution de l’équation de Yang-Baxter [19,20]. Récemment, Montorsi et Rasetti [21]démontrent l’émergence des symétries quantiques dans le contexte de la physique de lamatière condensée. En effet, ils prouvent que le modèle de Hubbard qui tient comptedes phonons exhibe en fait la symétrie U q(su(2)).D’un point de vue purement mathématique, la dénomination groupes quantiquesne doit pas laisser entendre que ces structures sont de véritables groupes. En fait, ilssont des algèbres de Hopf appelés parfois algèbres quantiques [19,20]. Ils peuvent êtreconsidérées comme étant des déformations des algèbres de Lie classiques qui fontappel à un (ou éventuellement plusieurs) paramètre(s) de déformation. Cependant, ilfaut observer que ces déformations sont assujetties à une condition importante : ilssont contraints de redonner les algèbres de lie classiques (c’est-à-dire non déformées)lorsque le(s) paramètre(s) de déformation) tend(ent) vers l’unité [19,20].Notre objectif ne consiste pas à étudier systématiquement les groupesquantiques. En fait, nous nous intéressons surtout aux conditions d’émergence de lasymétrie U q(su(2))lorsque le modèle de Hubbard est étendu pour tenir compte desphonons. Cette investigation est utile pour justifier la méthode à employer en vue deconstruire les ECD qui correspondent à cette symétrie.Par ailleurs, lorsqu’il s’agit de construire les ECD correspondant à des groupesquantiques on constate qu’il existe deux manières de faire. Il y’a une premièreapproche [67] qui repose sur une adaptation des idées de Perelomov et Gilmore au18

contexte des groupes quantiques ; mais il s’avère qu’elle est difficile à accomplir et ceà cause de la non trivialité de l’espace quotient. Une seconde approche [68] consiste àprocéder par analogie avec la construction des EC conventionnels qui correspondentaux groupes de Lie classiques (non déformés). C’est la deuxième méthode que nousemprunterons pour la construction des ECD au modèle de Hubbard avec phonons et ceen s’inspirant des résultats de Penson et Solomon.Le procédé de construction des ECD relatifs aux groupes quantiques estdifférent de leurs homologues relatifs aux oscillateurs quantiques. Cette différenced’approches est le résultat des différences algébriques qui distinguent ces oscillateursdes groupes quantiques.I -4.2. Les oscillateurs harmoniques déformésLes oscillateurs quantiques déformés ne possèdent pas en général de structuresd’algèbres de Hopf. Du point de vue mathématique, ils sont définis en tant quedéformations [22-25] des oscillateurs ordinaires qui font appel à un ou plusieursparamètres de déformation. Néanmoins, ils (les oscillateurs déformés) sont appelés àredonner le cas ordinaire (c’est-à-dire non déformé) lorsqu’on fait tendre le paramètre(ou, éventuellement, les paramètres) de déformation vers l’unité.Sur le plan historique, il faut signaler que ces oscillateurs ont fait leur apparition[26,27] avant l’avènement des groupes quantiques. Pour donner une idée substantiellesur les structures algébriques des oscillateurs déformés nous nous contentons ici dedonner deux exemples. Le premier est celui d’Arik-Coon [72]:+ +[ a,a+ ]q= aa − qa a = I(31)[ a , I]= [ a + , I ] = 0avec0 ≤ q ≤ 1.Le second est celui de Biedenharn-Macfarlane [22] :+ + − Naa − qa a = q(32)avec+ +[ N,a]= −a, [ N , a ] = aA partir des années 80, plusieurs autres déformations d’oscillateurs bosoniques,à un ou plusieurs paramètres de déformation, ont été consécutivement introduites dansla littérature [23, 24, 31,32]. Ils sont envisagés dans l’étude de plusieurs systèmesphysiques [28-31, ]. Tels que les systèmes ou les effets anharmoniques [72] jouent unrôle dominant, en optique quantique ou même pour obtenir une nouvelle des champsqui présente des écarts par rapport à la statistique de Bose-Einstein [30, 33].19

Le résultat le plus marquant à propos de l’application des oscillateursbosoniques déformés pour l’étude de problèmes physiques concrets est que lesdéformations à deux paramètres s’avèrent équivalentes à des déformations à un seulparamètre [32]. D’autre part, on constate que plusieurs versions de ces oscillateursprésentent des similitudes ce qui a stimulé alors plusieurs auteurs pour chercher àunifier ces oscillateurs [9,41].L’étude des oscillateurs déformés et des méthodes utilisées pour les unifier,nous conduit à introduire une algèbre dynamique [17] qui permet d’englober plusieursoscillateurs déformés généralisés dans un sens unificateur. Ceci nous induit alors pourenvisager l’étude de la construction des ECD relatifs à cet oscillateur généralisé (c’està-direoscllateurs unifiés). Les développements explicites qui correspondent à cetoscillateur généralisé ainsi qu’à la construction des ECD qui s’y rapportent sontdifférés au chapitre II. Nous contentons ici de donner un aperçu succint sur les critèresde Klauder [7] concernant la construction des ECD qui correspondent aux oscillateursbosoniques déformés.La construction des états cohérents déformés (ECD) est l’une des questions quia été toujours et restera associée aux oscillateurs bosoniques déformés. Cetteconstruction est réalisée conformément aux critères de Klauder : Unensemble{ z , z ∈ C}d’états de l’espace de Hilbert ne peut constituer un ensembled’états cohérents que lorsqu’il satisfait à un nombre minimal de conditions (établis parKlauder [7]):(i) z est normalisable,(ii) z est continu en fonction de la variable z ce qui veut dire que :''z − z → 0 entraîne z − z → 0 ,(iii) { z } est complet dans H et vérifie la résolution de l’opérateur identité cequi fait appel à une fonction poids w(z ) positive telle que :22∫∫ )2d zw(z z z = I .En vue de trouver un analogue de la représentation de Fock-Bargmann [42],nous exigeons de ECD pour les oscillateurs harmoniques déformés que nous allonsconstruire à la Klauder, de remplir une condition supplémentaire [17]: être des étatspropres de l’opérateur annihilation.Autour des critères de Klauder s’articulent trois méthodes de constructions desECD. Elles ne diffèrent entre elles que par la manière dont elles cherchent à remplir lesconditions de la résolution de l’unité. On peut alors invoquer les q-intégrales de20

Jackson [74], utiliser les intégrales ordinaires tout en faisant un choix judicieux de lafonction poids ou même utiliser une fonction poids préalablement connue et ensuitedéterminer l’oscillateur déformé qui peut bien lui correspondre [22, 72].Outre les oscillateurs bosoniques déformés, on peut constater que plusieursoscillateurs fermioniques déformés ont été également introduits dans la littérature. Ilspeuvent être présentés comme des déformations relations de commutationsfermioniques et laissent entendre donc une généralisation du principe d’exclusion dePauli [25,30]. Ces oscillateurs trouvent des applications physiques pertinentes ; aussiils ont été considérés par Parthasarathy [33] pour construire une théoriesupersymétrique fractionnaire.La construction des ECD fermioniques est très peu étudiée comparée à sonhomologue bosoniques déformés. Nous faisons observer que pour le cas ordinairec’est-à-dire l’oscillateur fermionique ordinaire la construction des EC fait appel auxvariables grassmanniennes qui, vu leur rapport avec le principe d’exclusion de Pauli,sont des variables anticommutantes de degré de nilpotence égal à deux [38,39] (ou toutsimplement de carré nul). En revanche, les ECD qui correspondent aux oscillateursfermioniques déformés, doivent être construits en utilisant des variablesgrassmanniennes généralisées dont le degré de nilpotence est forcement supérieur àdeux, ce qui laisse entendre une généralisation du principe de Pauli. Dans la littérature,on dénombre deux approches permettant de définir les variables grassmanniennesgénéralisées [58,59] : l’une est due a Kerner [34,35]et l’autre à Majid[36,37]Notre contribution consiste à utiliser les variables de Kerner [34,35] pourétudier les oscillateurs fermioniques Z3− gradués et construire les ECD qui leurscorrespondent [18]. Nous préférons développer cette étude dans le chapitre III, et nousréservons ce qui suit à la discussion du modèle de Hubbard avec phonons, de lasymétrie quantique (su(2))qui le caractérise ainsi qu’à la construction des ECD quilui sont reliés [16].U qI-5. ECD et supraconductivité à haute température critiqueMontorsi et Rasetti [21] démontrent que l’hamiltonien de Hubbard étendu quitient compte des vibrations du réseau présente une symétrie quantique (su(2)). C’estle couplage des phonons à la densité de charge électronique qui induit cette symétrienon triviale dans le contexte de la physique de la matière condensée. Nous nousproposons dans cette partie, d’étudier dans les plus amples détails les raisons qui ontinduit cette symétrie et de montrer qu’il est possible d’envisager de construire les ECDrelatifs au modèle de Hubbard avec phonons [21].Nous fournirons la preuve que ces ECD permettent de rendre compte duphénomène de la supraconductivité à haute température critique. Pour parvenir à lemontrer nous trouvons qu’il est utile de commencer d’abord par introduire en amontU q21

de ces développements une digression sur le phénomène de la supraconductivité [50-59].I-5.1. Généralités sur le phénomène de la supraconductivitéUn supraconducteur est un matériau qui, lorsqu’il refroidi au dessous d’unecertaine température critique Tc(caractéristique du matériau), présente une résistivitéélectrique nulle et devient un diamagnétique parfait [49]. Ces matériaux sont répartisen deux familles. Le critère de répartition -qu’on peut évoquer au prime abord estd’ordre phénoménologique- il prend en considération la nature des matériaux et leurstempératures de transition à la supraconductivité. Les métaux et les alliagesmétalliques qui présentent la possibilité de transiter à la supraconductivité à destempératures critiques situées au- dessous de 30°K constituent la famille dessupraconducteurs conventionnels [50-53] En outre, il y a les supraconducteurs nonconventionnels ou supraconducteurs à haute température critique qui sont descomposés à base d’oxyde de cuivre dont les températures de transition se situent audessusde 30 ° K et peuvent même surpasser le seuil de liquéfaction de l’azote [13].D’un point de vue théorique, les deux aspects de la supraconductivité sontdécrits par deux formalismes hamiltoniens différents. Le phénomène de lasupraconductivité conventionnelle dont la découverte remonte à 1911 a étécomplètement élucidé en 1957 grâce à la théorie BCS [48, 52]. En revanche, lessupraconducteurs à haute température critique (SHTc), mis en évidence expérimentalepour la première fois en 1986, sont censés être décrits [12,14] par le modèle deHubbard [11].La théorie BCS baptisée selon les initiales de ces auteurs (Bardeen, Cooper etSchrieffer) est une théorie quantique microscopique. Elle est basée sur la notion clef depaires de Cooper [59]. Selon la théorie BCS, lorsqu’un conducteur est refroidi audessousde sa température de transition, il y a apparition d’une interaction attractivepermettant aux électrons de s’associer en paires de Cooper. Un électron spin, « ↑ »d’impulsion → k située au voisinage du niveau de Fermi apparié avec un autre électron→d’impulsion − k et de spin « ↓ » forment une entité bosonique de spin net nul qui estla paire de Cooper. La transition à l’état supraconducteur est interprétée en terme decondensation de Bose des paires de Cooper [52].La formation des paires de Cooper au-dessous de TCest favorisée par lesvibrations des ions du réseau (c’est-à-dire les phonons). La preuve expérimentale surce rôle joué par les phonons est fournie par la loi isotopique [27] :αM T c= C(33)22

M : masse isotopique, Tc:température critique du matériau et α = 0,5 ± 10°° et C uneconstante.L’une des prévisions importantes déduite à partir de la loi isotopique estl’existence d’un seuil de 23° K qu’aucune température critique de transition métalsupraconducteurne peut dépasser. Mais cette prédiction sera mise en défaut par ladécouverte des supraconducteurs à haute température critique [13].Les supraconducteurs à haute température critique (SCHTc) ont été découvertspar Bednorz et Muller. En effet, ils démontrent expérimentalement, en 1986, que lacéramique La 2CuO4(qui est un isolant à l’état pur), devient supraconducteurlorsqu’elle est adéquatement dopée à l’aide du Sr (Strontium) ou Ba (Baryum) . Lestempératures de transition de La2 −x( Ba)xCuO4et La2 − x'( Sr)x'CuO4étant respectivementT c= 30°Ket T c= 38 ° K [13]. Cette découverte qui défie les prédictions de la théorieBCS à plus d’un égard et tout particulièrement en ce qui concerne les valeurs de Tc, apermis alors d’inaugurer l’ère de supraconductivité à haute température critique(SCHTc) (ou aussi supraconductivité non conventionnelle). La recherche des substratsà température critique plus élevée à conduit en 1988 aux composés YBCuO [65] dont lavaleur de TCdépasse le seuil de la température de liquéfaction de l’azote (voir annexeIII). Pour décrire la physique des matériaux SCHTc, le modèle de Hubbard à la limitedu couplage fort a été alors proposé par P.W. Anderson.I-5.2 Le modèle de HubbardL’hamiltonien de Hubbard s’écrit :avec :H = t∑+i< ij>σ sites proches voisins∑aσaiσ+ U n n(34)ii↑i↓+aiσ(resp. ajσσ =↑,↓ en un site –i- .) opérateur de création (resp. annihilation) d’un électron spin+niσ= aiσaiσest l’opérateur nombre d’occupation d’un site –i-.U élément de matrice de la répulsion coulombienne «on site », U>0t : élément de matrice du terme saut (hopping term) entre sites prochesvoisinsLe couplage fort correspond àU >> t .Le premier terme de l’hamiltonien (34) traduit la tendance des électrons à se répandredans le réseau, quant au second il exprime le rôle joué par la forte répulsioncoulombienne qui tend à éviter aux électrons la double occupation d’un même site.Ainsi, dans le cas particulier où le nombre d’électrons est égal au nombre de sites du23

éseau alors la forte répulsion coulombienne impose la contrainte suivante sur lenombre d’occupation :et le système est dit en bande demi pleine.∑ niσ= 1. (35)σLorsque cette contrainte (35) est satisfaite les électrons restent figés à raison d’unélectron par site et le système se trouve à l’état isolant. En outre, on montre quel’hamitonien de Hubbard, devient identique à l’hamiltonien antiferromagnétique2tavec J = 4 > 0 . U→ →1HAFM= J∑( S i . S j − )(36)4〈 ij〉Ce résultat souligne l’importance jouée par les interactions, à la fois, électrique etmagnétique en SCHTc [16,30].Par ailleurs, nous pouvons constater que la contrainte (35) sur l’occupationpermet de discerner deux secteurs d’énergie [30] pour le modèle de Hubbard standard.Le domaine de faible énergie correspond au système au-dessous de la bande demipleine. En revanche, lorsque le nombre de porteurs de charges excède le nombre desites on assiste à l’apparition de doubles occupations et le système se trouve alors dansle secteur de haute énergie. Les deux secteurs étant séparés par un gap de valeur égaleà U .L’un des problèmes encore ouvert de la physique de la matière condensée estque dans le secteur de faible énergie les états fondamentaux et excités des modèles deHeisenberg et aussi de Hubbard ne sont connus qu’en dimension D=1. C’est l’ansatzde Bethe (1931) qui permet d’obtenir le spectre de la chaîne de Heisenberg et puisLieb et Wu [64] s’en sont servi pour déterminer celui de la chaîne de Hubbard. Enrevanche, en dimension D=2, aucune solution exacte n’est connue et les spectres deces deux hamiltoniens restent encore un problème ouvert de la physique de la matièrecondensée [56]. Ceci explique pourquoi les études théoriques qui utilisent le modèlede Hubbard dans le secteur de faible énergie pour décrire le phénomène de lasupraconductivité sont essentiellement des théories de champ moyen [12, 58].En se plaçant dans le secteur de haute énergie, Yang [45] construitexplicitement un ensemble d’états propres de l’hamiltonien de Hubbard. C’est cesétats qui vont être mis à profit par Penson et Solomon [15] pour construire les ECrelatifs au modèle de Hubbard standard. Nous donnons ci-après un bref aperçu surcette construction qui est amplement développée dans l’annexe III.24

I-5.3 Le mécanisme d’appariement de YangLa nature des interactions à la fois électrique et magnétique qui caractérisent lemodèle de Hubbard, se traduisent, en bande demi pleine, par un groupe desymétrie SO( 4) ≈ SUm(2) × SUS(2) / Z2. Le groupe SUm(2)généré par les opérateursspins :∑S , (36.a)++= a ia↑ i↓i∈Λ− = +) +S (S , (36.b)1ZS = ∑(n − n )i↑ i↓2 i∈Λ(36.c)est en rapport avec les propriétés antiferromagnétiques du système. Quant à au groupeSUS(2) qui traduit les symétries électroniques du modèle est engendré par lesopérateurs de Yang [45] qui sont dits aussi opérateurs « η − pairing » :∑+ +η + = a ia↑ i(37.a)↓i∈Λ+ +η = (η )(37.b)etz 1η = ( Nˆ− L)(37.c)2L étant le nombre total des sites du réseau Λ ,∑i∈Λ∑N ˆ = n i= n(38)iσi,σ =↑,↓Le mécanisme d’appariement de Yang permet de déterminer exactement, dans lesecteur de haute énergie du modèle de Hubbard, les états propres de l’hamiltonien deHubbard pour toute dimension spatiale. Les états de Yang sont donnés par :ΨN+ N= β ( N,M ) ( η ) 0 , N= 1,….,M (39)β ( N,M ) est un facteur de normalisation.Soulignons que Korepin et al [60] montrent que ces états peuvent être connectés à lasolution de Lieb et Wu qui sont, dans le secteur de faible énergie, des états propres del’hamiltonien de Hubbard unidimensionnel.25

En s’appuyant sur ces considérations de symétrie et sur le mécanismed’appariement de Yang, Penson et Solomon ont été en mesure de construire des ECrelatifs au modèle de Hubbard (voir appendice IV). Ces EC normalisés sont donnéspar :1−22−M/ 2µ = C exp( µη)f = [1 + µ ] exp( µη)f (40)avecf1 M+= ( η ) 0(41)M!0 est l’état du vide et f jouant le rôle de vecteur de référence. ( f correspond àtous les états d’appariement occupés).Les EC de Penson et Solomon permettent de mettre différentes fonctions decorrélations caractéristiques du système étudié. En particulier il démontrent que cesEC sont, en fait, des états supraconducteurs car il permettent de déterminer leparamètre d’ordre de la transition supraconductrice : le « ODLRO » qui est considérécomme étant la définition de la supraconductivité.Les résultats obtenus par Penson et Solomon vont nous servir de base d’appuipour envisager la construction des ECD qui correspondent au modèle de Hubbardétendu (c’est-à-dire qui tient compte des vibrations du réseau ou en d’autres termesles phonons).I-5. 4. Effet isotopique en SHTcL’extension du modèle de Hubbard pour y inclure un terme qui tient compte duphonon est légitimée par le fait que les matériaux SCHTc exhibe un effet isotopique.Lorsqu’on considère le composé YBCO, les mesures expérimentales [65] montrent quela substitution de l’isotope de l’oxygène 18 O par 16 O , aolrs on obtient :αM T c= cons tan teavecα = 0, 02 . (42).Le fait marquant dans cette extension est que le couplage électron-phonon induit unesymétrie quantique U q(su(2))qui se substitue à la SU (2)relative à la symétrieélectronique du modèle de Hubbard standard. Pour rendre compte de ce rôle non trivialjoué par les phonons il est alors inévitable d’accréditer les fonctions de Wannier.Elles sont données par [49]:S26

avec→1→ →→φni( r ) = exp( −ik . R i ) ψ → ( r )(43.a)M∑→n K→k→→ψ → ( r ) = exp( i k . r ) u → ( r )(43.b)n kn k→La fonction ψ → est appelée fonction de Bloch. Elle est appropriée à la description den Kla structure de bande d’un solide. Elle fait intervenir le terme u → r )( →n kqui possède lamême périodicité que le réseau. Les indices n et → k correspondent respectivement à labande et au vecteur d’onde parcourant la zone de BrillouinLes équations (43.a-b) montrent qu’un site -i- du réseau est connecté à l’origine par levecteurR → i(qui spécifie la position du site –i-) et donc on a :φ ( r ) = φ ( r − R i ) . (44)ni→niLes fonctions de Wannier sont couramment utilisées en physique des solidespour évaluer les éléments de matrices de l’hamiltonien du système à étudier [49,53]. Cette procédure peut être appliquée au cas du modèle de Hubbard. Pour cela, ilsuffit de partir d’une expression de cet hamiltonien en terme de la « premièrequantification »:→→où :→1→ →H = ∑ h( r i ) + ∑V( r i − r j )(45)2ii≠j1 ≤ i ≤ N ,→ 2p→ih(r i ) = + V ( r,Ri) est un opérateur à une seule particule qui rend compte de2ml’énergie cinétique de l’électron -i et aussi de toutes les interactions de cetélectron avec les potentiels externes tel que celui créé par les ions du réseau.→ →V ( r i − r j ) : représente l’énergie d’interaction coulombienne entre deux→électrons l’un occupant la position r i et l’autre r j→.En introduisant les opérateurs création et annihilation+aiσetiσa ( désignent icides opérateurs fermioniques) correspondant à un électron de spin σ =↑, ↓ dans l’état φi(l’indice n de la bande étant tout simplement omis), l’hamiltonien de Hubbard s’écrit :27

H=∑ijijσ+ij∑∑t aσaσ+ ij V kl a a aσaσ(46)ijkl σσ '+iσ+jσ'l'kavectij→ →→ →∗ − h²= ∫ drφ( r − R i )( ∆ + V ( r,Rl)) φ(r − R j )2m(47)etij Vkl∫→→→→→∗ ∗= d r d r ' φ ( r ) φ ( r ')V ( r − r ')φ ( r ')φ ( r ) (48)ij→k→l→L’hamiltonien de Hubbard standard correspond aux choix suivants :ett ij= t si i et j sont proches voisinstij= 0 sinon (49)ij Vkl⎧ U si i = j = k = l= ⎨⎩0sin on(50)Moyennant ces définitions ainsi que le principe d’exclusion de Pauli, l’hamiltonien deHubbard standard s’écrit:H= t∑aa+iσiσ< ij>σ+ U∑ini↑ni↓où le signe < i, j > est pour désigner sites - i et j- proches voisins.I-5.5. Couplage électron-phononAfin d’étudier le couplage électron-phonon, on utilise dans la notation introduite parMontorsi et Rasetti [21] :l’hamiltonien de Hubbard, pour un réseau Λ de M sites et dedimension D renfermant N électrons, est exprimé dans l’ensemble grand canoniquepar :H = H el+ H(51)( loc)( hop)elLes termes(loc)Helet(hop)Helsont donnés par :( loc)Hel= ∑ Un n − µ ( n n )(52)i ii i[ +, ↑ , ↓ , ↑ , ↓i∈ΛH( hop)el1= t2∑ ∑i, j σ =↑,↓( aσaσ+ h.c.)(53)+j,i28

(loc)Helexprime les contributions locales (par site) à l’énergie du système. Il faitintervenir le potentiel chimique µ qui est un multiplicateur lagrangien permettant defixer le nombre d’électrons présents dans le réseau.(hop)Helappelé terme « hopping » ; il correspond au mouvement itinérant des électronsdu réseau.L’introduction des phonons entraîne une modification des éléments de matricedu terme « hopping ». Elle est l’expression de la variation de la distance entre sitesproches voisins qui est induite par les vibrations du réseau. Ainsi, si l’on considère queles phonons sont de simples oscillateurs indépendants d’Einstein de masse M et depulsation ω alors ils sont décrits par l’hamiltonien :avecHiPh=j∑i∈Λ2pi2Mij+12Mω ² x(54)[ x , p ] = ihδ(55)2ix et p commutent avec tous les opérateurs fermioniques.Tenir compte des vibrations du réseau revient à ajouter à l’hamiltonien (51) le terme(hop)HPh. Cette extension de l’hamiltonien entraîne une modification du terme Helet ceà travers le changement qui affecte les éléments de matrice t ij. Dans ces conditionsl’hamiltonien de Hubbard étendu qui tient compte des phonons s’écrit :Le termeH −s’écrit :(hop)el phH = H + H + H(56)H( loc)( hop)el ph el−ph∑ ∑( hop)+el− ph= ( tijaj,aiσ+i, j σ =↑,↓σh.c.)(56)avec des éléments de matrice t ijqui sont maintenant donnés par [21,53]:tij=∫∗− h²drφ( r − Ri− xi)( ∆ + V ( r,Rl) φ(r − Rj− xj)2m(57)où xiet xjsont introduites dans les fonctions de Wannier pour tenir compte des écartsque peuvent avoir les ions durant leur mouvement vibratoire.D’autre part, en tenant compte de la contribution du potentiel propre ( V r,R ) )dechacun des ions alorsH −est factorisé comme suit:(hop)el ph(l29

H( hop)( loc)( non−loc)el− phHel−ph+ Hel−ph= (59)avec∑H λ ) x(60)( loc)el− ph≈ − ( n + nj,↑ j,↓jjH −traduit la contribution du terme V r,R ) qui est purement locale..(loc)el ph(lLe terme λ qui apparaît dansH −est exprimé par :(loc)el ph∫∗λ ≈ − drφ( r − R − x )( ∇ V ( r,R )) φ(r − R − x ) = λjjRlllll(61)et traduit le couplage des phonons à la densité de charge de la structure de bandeélectronique.( non loc)L’hamiltonien H−el− phcomprend au lieu de la contribution du déplacement des ionsun terme de « hopping » induit par le laplacien. De ce fait, les éléments de matricessont maintenant exprimés par :~ h²∗tij= − dr∇( r − Rj− x2m∫ φ= t exp). ∇φ(r − R{ ς ( x − x )} exp{ iκ(p − p )}ijjijj− xj)(62)où ς et κ sont des constantes réelles qui dépendent du potentiel de l’ion.Ainsi, en tenant compte de l’équation (62), on obtient [21] :Hnon−loc)+− ph= t ∑∑(exp{ ς ( xi− xj)} exp{ iκ(pi− pj)} ajσaiσh.c)(el+< i,j>σ(63)En regroupant les termes, l’hamiltonien de Hubbard étendu s’écrit:~ ( loc)( hop)( loc)Hph+ Hel+ Hel+ Hel−phH= (64)On fait observer que cet hamiltonien est formellement identique à celui utilisé par lesauteurs de la référence [61] pour étudier le rôle qui peut éventuellement être joué parles phonons dans la formation de paires de polarons (ou bipolarons)30

I-5. 6. L’hamiltonien effectifEn s’appuyant sur les méthodes développées par les auteurs de la référence[14] et en utilisant une transformation à la Lang-Firsov [62] qui est en fait une rotationreprésentée par :⎡⎤R = exp⎢i ξ ∑ pi( n + n )i↑i↓⎥(65)⎣ i⎦Montorsi et Rasetti obtiennent l’hamiltonien effectif suivant [21]:eff1H = −µ' ( n.el∑i∑+∑{ exp[ −iξ( pi− p hj)] aiσajσ. c }+ n ) + U ' n n − t+i↑ i↓i↑i↓i 2 < ij>(66)où les paramètres intervenant dans l’expression de cet hamiltonien effectif sont donnéspar :λ²µ ' = µ + ,2Mω²(67.a)λ²U ' = U −Mω²(67.b)λξ = .hMω²(67.c)En général, le traitement standard basé sur les théories de champ moyenconsiste à approximer la phase exp[ iξ( p i− p )] qui apparaît dans le termeeff2de « hopping » de l’hamiltonien Helpar exp( − g ) . g étant un paramètre réel àdéterminer de façon self consistante. Cette méthode d’approximation permet derestaurer la symétrie SO (4), cependant elle occulte totalement le couplage entreélectrons et phonons. Pour parier à cette insuffisance, Montorsi et Rasetti [21] ne fontrecours à aucune approximation et ils conservent le terme de phase due aux phonons.En outre, ils introduisent un opérateur défini par:∑∑jfσ= aσexp( −iξ n ' p )(68)j,j,De ce fait, L’hamiltonien effectif peut s’écrire sous une forme présentant une structureformellement analogue à celle de l’hamiltonien de Hubbard où les opérateurs f jσsesubstituent aux a jσ. L’hamiltonien effectif exprimé en termes des opérateurs f jσet+fjσest donnés par [21]:kσ'j,σk31

oùH'el'= −µ'∑(ν + ν ) + U↓ ∑νν −j,j,j,↑ j,↓ ∑∑+( f +↑ jσfkσj j 2 〈 j,k〉σνjσf +jσjσth.c.)(69)= f(70)ν jest interprété comme étant l’opérateur nombre d’occupation relatif à f jσ.σPar ailleurs, les opérateurssuivantes :f jσvérifient les relations de commutations déforméesf f + q f f =+jσ'kσjk'kσ+j σδ jkδσσ'(71.a)f f ' q f ' f = 0(71 .b)jσ+kσjk kσjσoù q = exp[ iξ ( p − p )] commutant avec tous les f jσ.ijjkA ce propos, on peut remarquer que les relations (71.a-b) génèrent une versionfermionique de l’algèbre quantique de Gel’Fand-Fairlie [63]. En outre, elles peuventêtre considérées comme étant des relations d’anticommutation déformées relatives àun oscillateur anyonique sur un réseau [57]. Notons que lorsque le couplage électronphononest négligé, c’est-à-dire lorsque ξ ⎯→0, les relations (71.a-b) deviennent toutsimplement des relations anticommutation fermioniques ordinaires.I-5.7. Modèle de Hubbard avec phonons et symétrie quantiqueL’ensemble des considérations relatives au couplage électron-phonon et plusparticulièrement l’émergence de relations d’anticommutation déformées ont conduitMontorsi et Rasetti à conclure que le modèle de Hubbard étendu exhibe une symétrieglobale su ( 2) ⊕ [ su(2)]. Il importe de faire observer que cette déformation n’affecteqque la partie électrique tout en laissant la symétrie relative à la partie spin inchangée.Pour mettre en exergue l’existence de cette symétrie quantique, ces deux auteurs [21]adoptent une méthode similaire à celle utilisée par Yang et Zhang [75]. Cette façon defaire comporte deux étapes consécutives :• Première étape : construire une symétrie locale[ su(2)j]q,j ∈ Λ• Deuxième étape : étendre cette symétrie à l’échelle globale en faisant appel à lanotion de coproduit.C’est à travers l’extension de cette symétrie quantique au réseau entier qu’il y aapparition de conséquences physiques non triviales.32

I-5.7.a/ Symétrie locale[ su (2) ]jqLa symétrie U q(su(2))locale est générée par les opérateurs suivants :K( + ) −iφpj + +j= e a aj↑j↓, (72.a)( − ) ( + ) +Kj= ( K j)(72.b)qui vérifient :( z)1Kj= ( n + n −1)(72.c)j↑ j↓2[ K , K ] , (73.a)( z)j( ± )j( ± )= ± Kj[ K, K] = [2αK( + ) ( −)( z)j jj](73.b)Où la fonction « box » est définie par :avec[ X ]q − qq − qX − Xq= =−1q =e −αsinh( αX )sinh( α)(74)( γ )Les opérateurs , γ = z,±K jcommutent aveclocHjà condition d’avoir :et21 2λµ = ( U − )22 Mω(75.a)2λφ = .2hMω(75.b)Notons que pour λ = 0 , c’est-à-dire lorsque le couplage électron-phonon estnégligé, on retrouve l’algèbre électronique ordinaire (non déformé) suS(2)régie parles opérateurs η de Yang. D’autre part, lorsque λ ≠ 0 et les conditions (75.a-b) sontvérifiés alors l’hamiltonien locallocHjcommute uniquement avecu .le groupe de symétrie est réduit tout simplement à (1)(z)K j . Dans ce cas,33

I-5.7. b/ Symétrie globale ( su ( 2 ))U qL’extension de la symétrie quantique locale à une symétrie globale est réalisée àla Zhang et Yang [75]. Il s’ensuit que l’algèbre U q(su(2))relative à la symétrieélectronique apparaît suite à des opérations d’itération consécutives de coproduits.Pour prouver l’occurrence de cette symétrie nous commençons d’abord par passer enrevue quelques notions utiles au sujet des groupes quantiques.Notions sur les groupes quantiquesUn groupe quantique est une algèbre de Hopf [19,20], il peut être considéréecomme étant une déformation U de l’algèbre enveloppante maximale d’une certaineqalgèbre de Lie classique g ≈ Ar. Pour réaliser la déformation on peut représenter g enterme du formalisme de Weyl-Chevalley et ce en faisant appel, d’une part, à unensemble de générateurs : X , Ei, i = 1,...,r et d’autre part à la matrice de Cartan{ }= , i , j = 1,..., r.A A i , j(±)iLa déformation de g est réalisée par le biais des relations, qui pour touti, j :et[ E , X ] , [ E , ] = 0,(76)i( ± )j( ± )= ± Ai, jXj( + ) ( −)[i, Xj] = δi,jX [ A E ]iiqiE j(77)On peut remarquer que les relations (76) sont les mêmes que pour le cas ordinaire(non déformé). C’est en fait, l’équation (77) qui permet d’expliciter la déformation.αCelle-ci introduit un paramètre de déformation q = e et une fonction « box » [•]q. Ilimporte de souligner qu’il existe plusieurs définitions de cette fonction. Dans notrecas, elle est donnée par :Ei−q − q[ Ei]q=−1q − qEi=sh(αEi)sh(α)(78)Cette algèbre est également complétée par des relations typiquement quadratiques :aveci ≠ ± i , 1 ≤ i,j ≤ r( + ) ( −)[ X , ] = 0, (79)iX jDes relations cubiques sont aussi nécessaires :34

2k 2 ( ± ) 2−k( ± ) ( ± ) k∑(− ) [k]q( Xi) Xj( Xi) , { , j} = { i,i ± 1}k=0i , 1 ≤ i,j ≤ r ,(80)oùavec[ n ] ! = [ n][ n −1]...[1].qqqq[nm]q[ n]q!= , (81)[ m]![ n − m]!qqNotons que lorsque le paramètre de déformation q ⎯→1(ou lorsqueα ⎯→0), alors tout élément de l’algèbre déformée [ ] ⎯→O. En d’autres termes,on redécouvre les relations usuelles (non déformées) qui définissent g .O qSignalons que U q(g)ne peut être équipée d’une algèbre de Hopf que lorsqu’ondéfinit [19,20]:• le coproduit :∆ : U ⎯→U⊗U,• la coinverse : S : U ⎯→U• la counité :ε : U ⎯→CCes définitions opèrent, dans une représentation de Cartan comme suit :∆ ( I)= I ⊗ I , ∆ ( Ei) = Ei⊗ I + I ⊗ Ei(82.a)∆(X( ± )i) =X( ± )i⊗ q1AiEi2+ q1− AiEi2⊗ X( ± )i(82.b)S ( I ) = I , S( E i) = −Ei,S ( X ) , (82.c)( ± )i± 1 ( ± )= −qXiet(±)ε ( I ) = 1, ε ( E ) 0 = ε ( X )(82.d)i=iApres cet aperçu succinct sur les groupes quantiques nous discutons l’algèbreU q(su(2)) relative à la symétrie électronique que présente le modèle de Hubbard avecphonons.35

Extension de la symétrie quantique au réseauEn revenant à l’hamiltonien de Hubbard, l’existence d’une structure d’algèbrequantique veut dire que l’extension de la symétrie locale à une symétrie globale estréalisée en termes de coproduit. Dans le cas général aussi bien que dans le cas de(z)[ su (2)] ql’élément de Cartan K est primitif et son coproduit est donné par [16,21] :alors que l’on a :( z)( z)( z)∆( K ) = I ⊗ K + K ⊗ I(83.a)∆Z∗ Z( + ) α K ( + ) ( + ) −αK( K ) = e ⊗ K + K ⊗ e ,.( −)( + ) +∆ ( K ) = [ ∆(K )](83.b)L’extension de la symétriedu coproduit :[ su (2)]au réseau Λ est obtenue par itérations consécutivesqK( ν ) ( )= ∆ ( K ) , γ = ±, z(84)( γ )γoù on suppose queνN = 2 .En procédant ainsi, on obtient :∑ˆ )( z)( zK = I ⊗....I ⊗ K ⊗ I....⊗ Ij(85.a)∑→ →ZZˆ ( + ) i G . j αKαK( + )K=ee⊗....⊗ e⊗ K⊗ e∗ Z−αK⊗......⊗ e∗ Z−αK(85.b)ˆ ( − )= ˆ ( + )] +K [ K(85.c)Pour simplifier la notation, on écrit:∑ZZKˆ ( )( )= K(86.a)i∈ΛiKˆ( + )=∑j∈Λexp( iG→ →( Z )αKk( + ). j)∏eKj ∏k 〈 jk 〉 je* ( Z )k−αK(86.b)ˆ ( − )= ˆ ( + )) +K ( K(86.c)36

On peut remarquer qu’il existe dans (86.b) un facteur de phase→→→exp( i G . j ) (avec G = ( π ,......, π ) ) et des inégalités k < j et k < j . Cette phase et cesinégalités sont, en fait, inhérentes à l’ordre antiferromagnétique qui règne dans leréseau.On peut vérifier explicitement que les opérateurs définis par (86.b.c)(loc)commutent toujours avec H et que l’on a aussi:ˆ ( )[ K z , H ] = 0. (87)La symétrie quantique ne peut donc se produire que si( non−loc)[ , ˆ ( ± )Hel phK ] = 0(88)−En outre, le calcul explicite montre que cette relation de commutation ne peut êtrevérifiée que si on a [21]:2ζκRe α = et κ = −ξ.hMontorsi et Rasetti démontrent que lorsque l’équation (88) est vérifiéealors l’hamiltonien de Hubbard étendu possède un ensemble d’états propres qui sontdonnés par :avec :n L Kˆ(+) nφ = β ( , )( vide(89)n)⎛ [ L − n]q!⎞β ( n,L)= ⎜ ⎟[ ] ![ ] !⎝ Lqnq ⎠(90)constante de normalisation.Nous pouvons constater que les états donnés par l’équation (89) sont dutype « yanguien ». En effet, ils s’obtiennent, à un facteur de normalisation près, à+(+)partir des états de Yang exprimés par l’équation (39) et ce en substituant η par K .12I-5.8. Etats cohérents déformés supraconducteursEn s’appuyant sur l’analogie formelle entre les états de Yang [45]et lesétats (89) et en s’inspirant des résultas de Penson et Solomon, nous construisons lesECD qui correspondent à l’algèbre U q(su(2))relative à la symétrie que présente lemodèle de Hubbard avec phonons[21]. La procédure de construction explicite de ces37

ECD est différée au chapitre IV. Nous nous contentons ici de donner l’expression deces états et de commenter leurs conséquences physiques.Ces ECD sont exprimés par [16] :1−22−= N ( ) exp [ Kˆ( )ν ν ν ] Φ(91)Ils s’expriment à l’aide d’une fonction exponentielle déformée qui est donné par :qLexpq=∑xnn≥0 [ n]q!et qui agit sur l’état de Montorsi-Rasetti de plus haut poids :(92)1 )(+ LΦL= ( K ) vide(93)[ L]!Le facteur de normalisation qui apparaît dans (91) est exprimé par :Quant au q-binome, il vaut :qL∑LLN( υ ²) = (1 + υ ²) = υ ²[ ] . (94)qn=0nq[Ln]q[ m]q!= (95)[ n]![ m − n]!qqavec[ n ] ! = [ n][ n −1]...[1].qqqqNous faisons observer que dans le cas particulier où le paramètre dedéformation tend vers l’unité, c’est-à-dire lorsqu’on néglige le couplage électronphononalors l’hamiltonien devient identique à l’hamiltonien de Hubbard standard.Nous montrons aussi que lorsque q ⎯→1,les ECD deviennent identiques aux EC dePenson et Solomon.En utilisant ces ECD nous avons pu déterminer l’énergie du système qui seprésente alors en tant que fonction du paramètre ν . Nous avons aussi démontré quepour certaines valeurs de ν cette énergie est plus faible que celle calculée en faisantappel aux EC de Penson et Solomon. Ceci exprime le fait que les ECD que nous avonsconstruits sont plus stables.Nous démontrons également que les ECD sont en fait des états supraconducteurs et cedans la mesure où ils mettent en évidence l’existence d’un ODLRO non nul [44,56]. Ilest explicitement donné par :38

ν a→ → →⎪⎧1+νν = exp i G.(r − s)expα( N + 1−r − s ) ⎨ 2⎪⎩ ν2 −+ +Ca a a−s↑s↓r↓r↑21 2( ν ) ⎪⎫⎬ν ⎪⎭(96)Cet ensemble de considérations nous conduit à déduire que les ECD relatifs aumodèle de Hubbard avec phonons sont en fait des états supraconducteurs.L’un des résultats établi [16], à l’instar de cette étude, est qu’à la limite L →∞,on montre que ν est unétat propre de l’opérateurˆ (−)K[ L]q. Nous pouvons doncaffirmer qu’à cette limite ces ECD peuvent être considérés comme étant en rapportavec un oscillateur harmonique déformé. Ce résultat est pour nous une preuvesupplémentaire sur le rôle que peuvent jouer les oscillateurs déformés dans desconditions ou dans des limites bien déterminées pour tenir compte des propriétés decertains systèmes physiques.39

Chapitre IIOscillateurs harmoniquesbosoniques généraliséset ECD correspondantsI- IntroductionDans le chapitre I, nous avons introduits la notion d’oscillateurs bosoniquesdéformés et discuté les différentes méthodes de construction des ECD qui leurscorrespondent. Nous avons également évoqué les contextes physiques dans lesquelsces oscillateurs peuvent être utilisés et souligné le rôle important joué par lesoscillateurs à un seul paramètre de déformation dans l’étude de problèmes physiquesconcrets.D’autres part, lorsqu’on considère le cas des oscillateurs bosoniques déformés àun seul paramètre de déformation, on constate qu’il existe une grande diversité dedéformations. Plusieurs auteurs ont cherché à unifier ces déformations en un seuloscillateur généralisé. Parmi les tentatives déployées dans ce sens nous pouvonsmentionner celle due à Gazeau. Il introduit une algèbre dynamique A qui permetd’englober plusieurs oscillateurs déformés déjà établis dans la littérature. Cettealgèbre, qui admet plusieurs réalisations possibles sur l’espace de Fock, rendl’obtention d’un oscillateur particulier une question du choix de la réalisation.Notre contribution à l’étude des oscillateurs bosoniques déformés ainsi que laconstruction des ECD qui leur correspondent se situe dans le même saille de l’idée deGazeau. Nous introduisons alors une algèbre dynamique A qui présente l’avantage dene pas dépendre de la réalisation sur l’espace de Fock. Nous montrons que Aqpermetd’englober plusieurs oscillateurs déformés. Ensuite nous développons la méthode quipermet d’obtenir les ECD relatifs à ces oscillateurs généralisés. Comme illustration,nous construisons explicitement les ECD qui se rapportent à des oscillateursparticuliers.L’article ci-après fournit méthode et technique pour l’étude des oscillateursgénéralisés et la construction des ECD correspondants.q40

Vol. 50 (2002) REPORTS ON MATHEMATICAL PHYSICS No. 241

Chapitre IIIOscillateurs fermioniques déforméset ECD relatifsI -IntroductionLes oscillateurs fermioniques ont été introduits dans la littérature par plusieursauteurs. Ils se caractérisent par des relations d’anticommutation déformées ce qui, parailleurs, laisse entendre une généralisation du principe d’exclusion de Pauli. De cefait, la construction des ECD fermioniques fait appel à des variables grassmanniennesgénéralisées de degré de nilpotence strictement supérieur à deux. Dans la littérature ondénombre deux méthodes de construction de ces ECD dont l’une est due à Kerner etl’autre à Majid..Nous nous appuyons sur les structures algébriques Z3− graduées introduitesdans la littérature par Kerner pour chercher à établir le lien entre les variablesgrassmanniennes Z3− gradués et les parafermions. Ensuite nous étudions laconstruction des ECD correspondants.Dans l’article qui suit, nous commençons d’abord par évoquer les variables deKerner. Ensuite, nous introduisons l’oscillateur fermionique déformé et nousmontrons que dans le cas où le paramètre de déformation est une racine cubique del’unité alors la correspondance recherchée entre variables de Kerner et fermionsdéformés est alors réalisée. Ceci nous permet alors d’entamer la construction des ECDfermioniques déformés.54

Chapitre IVModèle de Hubbard avec phonons et EtatsCohérents DéformésI. IntroductionLe modèle de Hubbard a été suggéré par P.W. Anderson dans l’objectif dedécrire les propriétés physiques des matériaux supraconducteurs à haute températurecritique (SHTc). Il s’agit, en fait, d’un aspect non conventionnel du phénomène de lasupraconductivité qui a été mis en évidence expérimental en 1986 par Bednorz etMuller. Les matériaux SHTc sont des oxydes de cuivre qui deviennent, par dopageadéquat, supraconducteurs à des températures élevées en comparaison avec leurshomologues classiques. Ces derniers sont des métaux ou des alliages des métaux quine transitent à l’état supraconducteur qu’à des températures extrêmement basses( T C< 24 ° K )Nous avons consacré une grande partie du chapitre I pour paver le chemin à laconstruction des ECD qui correspondent au modèle de Hubbard avec phonons. Enparticulier, nous avons développé amplement le rôle joué par le couplage électronphononet son rapport avec la symétrie quantique (su(2))exhibé par le modèle (deHubbard avec phonons). En outre, nous avons montré en prenant en compte lesrésultats de Penson et Solomon relatifs aux EC se rapportant au modèle de Hubbardstandard (sans phonons) que l’occurrence de la symétrie (su(2))permet d’envisagerla construction des ECD correspondants au modèle de Hubbard avec phonons.Dans l’article qui suit nous explicitons la construction de ces ECD. Nousfournissons, également, la preuve que ces états sont, en fait, de véritables étatssupraconducteurs et ce dans la mesure où ils permettent d’évaluer les grandeursphysiques caractéristiques de l’état supraconducteur. En particulier, ils permettent dedéterminer le paramètre d’ordre de la transition supraconductrice : le « ODLRO » (offdiagonal long range order).U qU q61

Conclusions et perspectivesLa notion d’états cohérents (EC) ne cesse d’admettre des généralisations de plusen plus nombreuses et être appliquée en dehors du domaine où elle a pris naissance,l’optique quantique. En fait, ils ressemblent quelque peu à une « tutelle » qui s’élargiesans limite pour prêter techniques et méthodes à plusieurs domaines de la physique.C’est Perelomov et Gilmore qui, en établissant le lien entre théorie des groupes etconstruction des états cohérents, ont permis d’étendre ces états à différentes structuresalgébriques classiques. D’autre part, l’avènement des groupes quantiques et desoscillateurs quantiques déformés a induit alors une nouvelle généralisation donnantlieu à la notion d’états cohérents déformés (ECD).Il existe, dans la littérature, plusieurs méthodes de constructions possibles desECD. Néanmoins, on peut cerner ces différentes façons de faire en deux catégoriesd’approches. Il y a, d’un coté, les méthodes qui sont typiquement appropriées aucontexte des structures algébriques déformées. De l’autre, il y a l’alternative qui sebase sur les analogies formelles avec la construction des EC qui correspondent auxstructures algébriques classiques (non déformées). La prise en considération de cesdifférentes méthodes permet alors de révéler le processus de généralisation à utiliserdans l’étude de la construction des ECD relatifs à des systèmes bien précis.L’étude de la construction des ECD relatifs aux oscillateurs bosoniquesdéformés des oscillateurs bosoniques déformés nous a conduit à proposer une algèbredynamique qui permet d’unifier plusieurs oscillateurs (déformés) déjà établis dans lalittérature. Cette algèbre présente un avantage assez particulier, et ce dans la mesure oùelle permet d’obtenir différents types d’oscillateurs déformés sans dépendre de laréalisation sur l’espace de Fock. En outre, nous étudions la méthode à adopter pourconstruire, au sens de Klauder, les ECD relatifs à cette algèbre dynamique. Ensuitenous déterminons explicitement la forme des ECD qui correspondent à un oscillateurbien spécifique.D’autre part, nous avons étudié les oscillateurs fermioniques déformés ainsique la construction des ECD qui leur sont associés. Ces oscillateurs sont caractériséspar des relations d’anticommutations déformées, ils sous-entendent une généralisationdu principe d’exclusion de Pauli. De ce fait, la construction des ECD correspondantnécessite l’introduction des variables grassmanniennes généralisées. Nous nous70

sommes alors appuyé sur les structures algébriques introduites par Kerner pour établirune relation entre les variables grassmanniennes Z3− graduées et les parafermions. Laconstruction des ECD est une conséquence directe de cette relation. En outre en faisantappel à la notion de produit tensoriel nous avons été en mesure de construire des ECDsupersymétriques.Nous avons montré aussi que la notion d’ECD joue un rôle important dansl’étude du phénomène de la supraconductivité à haute température critique. Il s’agitd’un aspect non conventionnel de la supraconductivité qui est observé dans le cas desmatériaux qui adhèrent à la transition de Mott-Hubbard. L’hamiltonien qui est censédécrire l’essentiel de leurs propriétés est celui de Hubbard. Le fait le plus marquant estqu’en présence des phonons, cet hamiltonien présente une symétrie quantique(su(2)) . En s’appuyant sur cette symétrie nous construisons les ECD relatifs auU qmodèle de Hubbard avec phonons. En outre, nous fournissons la preuve que ces étatspermettent de rendre compte des propriétés d’un supraconducteur à haute températurecritique,et ce dans la mesure où ils permettent de déterminer les grandeurscaractéristiques de la transition supraconductrice.Par ailleurs, en tenant compte des résultats que nous avons obtenus ainsi quedes méthodes que nous avons étudié et développé nous pouvons envisager d’utiliserles ECD pour étudier de nouvelles questions. Nous comptons continuer à travaillerdans cette direction et appliquer les états cohérents pour étudier l’effet Josephson etl’information quantique.71

Annexe ILes états cohérents canoniquesLes oscillateurs harmoniques sont un prototype d’hamiltonien quadriquesexactement soluble [8]. L’hamiltonien d’un oscillateur unidimensionnel de masse m etde pulsation ω est2P 1 2 2H = + mωx(I.1)2m2où⎡ ⎣x,P]= ih (I.2)x et P sont respectivement les opérateurs position et impulsion.Pour simplifier le formalisme on introduit les opérateurs réduits (sansdimensions)q =mωx ethLes opérateurs création et annihilation s’écrivent :p 1 ∂π = = = −i∂mhωi ∂qq(I.3)a + = q − i∂ (I.4a)qa = q + i∂(I.4b)qIls vérifient les relations de commutationavec[ a , a+ ] = I , [ N,a]=− a et[ N , a+ ] = a +(I.5)+N = a a : Opérateur nombre de particulesL’hamiltonien s’écrit donc sous la forme :72

1H = h ω ( N + )(I.6)2Les états propres normalisés de H sont donnés par [8] :avec n = 0, 1, 2 …n+( a )n= 0(I.7)n!On aH n = Enn(I.8a)En1= h ω( n + )(I.8b)2L’état fondamental est tout simplement 0 , il vérifie :0 0 = 1(I.9)a 0 = 0(I.10)Les états n vérifient :+a n = n + 1 n + 1(I.11)a n= n n − 1(I.12)D’autre part moyennant les expressions des opérateurs x et P en fonction desopérateurs création et annihilation on obtient :2 h 1n x n = ( n + )(I.13)mω 2n P n = mh ω( n + )(I.14)22 1La fonction d’onde normalisée est exprimée à l’aide du polynôme d’Hermite :avec−1 2 21 2 n c x2x n = c ( π 2 n!) exp( − ) Hn( cx)(I.15)2mωc = .h73

Les états cohérents canoniques (ECC)Les états cohérents canoniques c’est-à-dire relatifs à l’oscillateur harmoniquebosonique unidimensionnel sont exprimés par [5,7]z= exp( −z22)∑nznn!n(I.16a)*z= = ∑ (I.16b)n!∞*z z exp( z a)nn=0Moyennant les relations (I-16.a-b), on obtient aisément :a z= z z(I.17a)et+a z = ∂ z , (I.17b)z az+ *= z z(I.18a)z a = ∂ z(I.18b)*zz ∈ CEquations (I.17a) et (I.18a) rendent clair que les ECC sont des états propres del’opérateur annihilation de l’oscillateur harmonique bosonique.Les ECC, contrairement aux états n , ne sont pas orthogonaux entre eux. En effet, ona [5] :z z= exp( z z )(I.19)' * 'Cette dernière équation est appelée aussi terme de chevauchement. En outre,on a :0 z = 1(I.20)z = 0 = n = 0 = 0(I.21)ContinuitéMoyennant l’expression analytique de l’état z il est facile de montrer que74

''z − z → 0 lorsque z → z .Résolution de l’unitéDans l’espace de Fock, les ECC les ECC obéissent à une relation de« fermeture » bien spécifique. Elle est dite aussi résolution de l’unité et s’écrit sous laforme :La mesure est donnée par∫ d µ ( z ) z z = 1(I.22)12* 1 * − zdµ( z) = dxdy exp( − z z)= dzdz e(I.23)ππz = x = iyL’intégration porte sur tout le plan complexe ( −∞〈 x, y〈+∞ ) .PreuveEn faisant appel aux expressions de z et z , on a:1z z+∞ n * m2*− z∫ dµ( z)z z = ∫ dzdz ∑ n m e(I.24)πCCn,m n! m!En utilisant les coordonnées polaires, on peut écrire :+∞∫ dµ( z)z z = ∑ n m I(I.25)n,moù le terme I est une intégrale exprimée par :avec2n+ m+ 1 i( n−m)θ −r= ∫∫ (I.26)I r e er,θdrdθπ0 ≤ r〈∞ et 0 ≤ θ ≤ 2πUn calcul élémentaire montre que :I = n m δ(I.27)! ! n , m75

D’où il vient∞∑∫ dµ( z) z z = n n = 1(I.28)n=0La résolution de l’unité vérifiée par les ECC signifie qu’ils constituent un systèmecomplet. En fait, ils réalisent un système plus que complet car ils sont caractérisés parun chevauchement non nul.Incertitude de HeisenbergOn sait queMontrons que1∆x ∆p= , h = 1. (I.29)212∆ x = ( z x z −2z x z )(I.30)12∆ P = ( z P z −2z P z )(I.31)Un simple calcul direct donne1 ∗z x z = ( z + z)2(I.32a)1 22∗z x z = [( z + z)+ 1](I.32b2z Pz P z =2z=1( z2[1 − ( z2∗− z)1 ∗ 2− z)](I.33a)(I.33b)En regroupant les termes, on peut écrire :2 22 1( ∆x ) = z x z − z x z =2(I.34)2 22 1( ∆P ) = z P z − z p z =2(I.35)D’oùEvolution1∆x ∆P=(I.36)276

Supposons que l’oscillateur harmonique soit à un instant t0= 0 dansl’état χ ( 0) = z0, à un instant t, on a :où U(t,0) est l’opérateur d’évolution :χ( t ) = U ( t,0)χ(0)(I.37)U ( t,0)= exp( −iHt)(I.38)(H étant l’hamiltonien qui s’écrit en prenant h = 1,H = N + ½)1 z0χ(t)= exp−i(N + )[exp( −2 2= ez0−2[∑nzn0e−intn!et−i2n ]2)∑nzn0n!n(I.39)On peut donc écrire := e2z0−2e−t2∑n( z0e−itn!)nnt−it−i2 −it2χ ( t)= e z e = e z(I.40)0Il est donc clair qu’au cours de son évolution l’état z0évolue, à un facteur de phaseti2près ( ), en l’état z . Ceci veut dire que les états cohérents évoluent en restant dese −états propres de l’opérateur annihilation a [5].Tout ket f de l’espace de Fock peut-être représenté par la fonction d’onde :* nz= = ∑ (I.41)n!+∞*f ( z ) z f n fn=0De même un bras g peut-être représenté par la fonction∞nzg( z)= g z = ∑ g n(I.42)n!n=0Moyennant la résolution de l’unité, le produit scalaire s’écrit :*∫ µ ( ) ∫ µ ( ) ( ) ( ) (I.43)g f = d z g z z f = d z g z f z77

Comme conséquence, on peut représenter les états n par les fonctionsveut tout simplement dire que :z* nn !; ce quiDe même on a :z nm z* n= z .n!(I.44a)m= z .m!(I.44b)D’autre part comme l’ensemble des états n forme une base orthonormée complète onpeut écrire [5]:* n mz z∫ dµ ( z)= δn,m(I.45)n! m!Les éléments de matrices des opérateurs création et annihilation entre ECC s’écrivent :'z a z'= ∂ * z z(I.46a)zet'z a z'= ∂ * z z(I.46b)z+z a z = z z z = ∂ z z(I.47)' * ' ''zDe même on a :z a f*= ∂ * f ( z )(I.49a)z+z a f z f z* *= ( ) . (I.49b)+Tout opérateur qui s’écrit sous la forme A( a , a)peut-être représenté par :z A( a + , a) z = A( z , ∂ ) z z(I.50a)' * '*z+z A( a , a) f = A( z , ∂ ) f ( z )(I.50b)* **z**Réciproquement, toute fonction A( z , t ) des variables z et t peuvent êtrereprésentées comme étant des éléments de matrice d’un opérateur normalement+ordonné A( a , a):+*z : A( a , a) : tA( z , t)= . (I.51)z tLa représentation z d’un opérateur est appelée représentation de Bergman [40].78

Annexe IIEtats Cohérents fermioniqueset algèbre de GrassmannL’espace de Fock d’un système fermionique à un seul degré de liberté estcomposé [8] de deux états :0 et 1 = a + 0 . (II.1)Ecrivons dans ce qui suit, sous une forme formelle, les équations aux valeurs proprespour les opérateurs annihilation et création, on a :etD’autre part, comme on a :a η = η η(II.2a)η a+ *= η η(II.2b)+ 2 2( a ) a 0= = , (II.3)les valeurs propres doivent vérifier2 * 2η = ( η ) = 0(II.4)Il est évident qu’il n’existe pas des nombres complexes qui vérifient cette dernière*égalité. η et η sont des éléments de l’algèbre de Grassmann [38].Algèbre de GrassmannL’histoire de l’introduction des éléments de l’algèbre de Grassmann ressemblequelque peu à celle du nombre complexe i qui permet de résoudre l’équation2z = − 1(II.5)79

*L’algèbre de Grassmann [37,38] est obtenue à partir des opérateurs η et η qui pardéfinition doivent satisfaire :2η = 0(II.6)* 2( η ) = 0(II.7)* *ηη + η η = 0(II.8)Les éléments de cette algèbre sont en fait des polynômes du second degré,P( η, η ) = P + Pη + Pη + P ηη(II.9)* * *0 1 2 12Pi, 0,1, 2,12D’autre part, on a :i = sont des nombres complexes qui commutent avec η et*η .* *= 0 exp( a) = 0 + 0 a(II.10)η η ηP( η, η)= P + P η + P η + P ηη(II.11)* * * * * * *0 1 2 12Dérivations par rapport à η et*η*La dérivée à droite par rapport à η et η est définie par :r∂ηP( η, η ) = P + P η* *1 12r∂ = −** P( η, η ) P2 Pη 12η(II.12a)(II.12b)La dérivation à gauche agit comme suit :s∂ηP( η, η ) = P − P η* *1 12s∂ = +** P( η, η ) P2 Pη 12η(II.13a)(II.13b)Pour réaliser les dérivées à droite ou à gauche on doit anticommuter η età droite (resp. à gauche) ensuite annuler leur carré.*ηA partir de ces définitions il vient :r r∂ = ∂ = 02 2*ηη(II.14a)∂r ∂ r+ ∂ r ∂ r=ηηη* * 0η. (II.14b)80

L’intégration est définie comme suit :*∫ dη= ∫ dη= 0(II.15a)* *∫ dηη= ∫ dη η = 1. (II.15b)Il s’agit en fait de définitions formelles et on ne doit pas donc considérer ces intégralescomme étant des limites de sommes éventuelles. Ces intégrales vont nous permettrealors de définir les états cohérents fermioniques d’une manière formellementéquivalente à leurs analogues bosoniques.Moyennant les définitions des intégrales, on peut écrire :* *∫ d η P( η , η ) = P1 + P η 12(II.16a)* *∫ d η P( η , η ) = P2 − P η 12(II.16b)*Les éléments différentiels dη et dη anticommutent entre eux mais commutent avecles nombres complexes.Par comparaison des relations intégrales et des équations de dérivation on constatequ’il y a une équivalence entre les opérations d’intégration et de dérivation à droite :∫∫rdηPη η P η η* *( , ) = ∂ η( , )rdη P( η, η ) = ∂ P( η, η )* * **η(II.17a)(II.17b)Etats cohérents fermioniquesLes états cohérents fermioniques sont construits en utilisant les éléments del’algèbre de Grassmann, ils sont définis par [7,38] :+ +η = exp( a η) 0 = 0 + a η 0(II.18a)* *= 0 exp( a) = 0 + 0 a(II.18b)η η ηOn peut donc constater une ressemblance formelle entre états cohérents fermioniqueset bosoniques (voir annexe I). On a :81

Le terme de chevauchement esta η = η ηη η* '' * '= 1+ η η = e η η(II.19)La résolution de l’unité pour les ECF (états cohérents fermioniques )s’écrit :où la mesure est donnée par :∫ dµ ( η) η η = 0 0 + 1 1 = 1(II.20)**= . (II.21)dµ ( η)dη dηe −ηηTout état f de l’espace de Fock peut-être représenté par une fonction*f ( η ) telle que* *f ( η ) = η f = 0 f + η 0 a f . (II.22)De même on définit g( η)par :Le produit scalaire g f est donné par :+g( η) = g η = g 0 − η g a 0 . (II.23)ou encoreg f = ∫ dµ ( η)g η η f(II.24a)∫∗∗ − η∗g f = dηdηeη g(η)f ( η )(II.24b)Les éléments de matrices des opérateurs création et annihilation entre ECF sont donnéspar :r rη a f = ∂ η f = ∂ f ηη* *η*( )(II25a)* * *= = ( ) . (II.25b)η a + f η η f η f η+Tout opérateur qui s’écrit dans l’espace de Fock comme A( a , a)est représenté par*l’opérateur A( η , ∂ r * ) . Les éléments de matrice de ces opérateurs s’écrivent :ηon a égalementη A( a + , a) η = A( η , ∂ r ) η η(II.26)' * '*η82

η A a a f = A η ∂ r η f . (II.27)+*( , ) ( , * )η**Réciproquement, toute fonction A( γ , η ) , où γ et η sont des éléments d’une algèbrede Grassmann, peut-être considérée comme étant un élément de matrice d’un produit+normal A( a , a),+*γ : A( a , a) : ηA( γ , η)= (II.28)γ η83

Annexe IIIAspects conventionnel et non conventionnelde la supraconductivitéI- IntroductionLa supraconductivité est la disparition de la résistivité électrique de certainsmétaux ou alliages métalliques au-dessous d’une certaine température critique detransition Tccaractéristique du matériau [48,51]. La découverte de ce phénomène desingulier remonte à 1911.C’est K. Onnes en cherchant à étudier l’effet des bassestempératures sur la conductivité électrique des métaux qui était le premier à démontrerqu’en dessous de T c= 4 , 2°K (température de liquéfaction de l’hélium) le mercure perdtoute résistivité électrique (voir figure 1).L’accumulation et l’accroissement de la recherche expérimentale stimulés parla découverte d’Onnes a permis d’apprendre d’avantage sur les supraconducteurs. Ils’avère alors des métaux tels que le cuivre ou l’or, qui sont de bons conducteurs àtempérature ambiante, ne transitent jamais à la supraconductivité. L’expériencemontre que c’est en fait les « mauvais conducteurs » dans les conditions normales detempérature qui transitent à la supraconductivité. En outre, un matériau à l’étatsupraconducteur se comporte comme un diamagnétique parfait (voir figure 2). Porté àune température inférieure àTcet soumis à un champ magnétique B → un→supraconducteur acquiert une aimantation M dont le sens est opposé à celui de→B (appliqué) et de valeur telles que le champ magnétique nette (résultant) à l’intérieurdu supraconducteur soit nulle; c’est l’effet Meissner et Oschenfeld (1933).Figure1 : résistivité électrique d’unsupraconducteur84

Figure 2 : lévitation aimant supraconducteurLa recherche d’une théorie permettant de comprendre la transition métalsupraconducteura été une entreprise longue et espacée dans le temps. Plusieurstentatives [51, 56] ont été déployées en vue d’élucider les divers aspects duphénomène de la supraconductivité mais elles ne pouvaient fournir que desexplications partielles tout en laissant sans réponse la question de la disparition de larésistivité électrique. Parmi les premières contributions théoriques on peut citer lestravaux des frères London (1935). Ils se sont appuyés sur la théorie électromagnétiqueclassique pour donner une interprétation convaincante de l’effet Meissner. Mais leurthéorie été dans l’incapacité d’expliquer la disparition de la résistivité électrique nimême d’interpréter la quantification du flux magnétique décelé dans les circuitssupraconducteurs.La quantification du flux est un signe avant coureur sur le rôle que va jouer lamécanique quantique dans le domaine de la supraconductivité. Ce rôle va se confirmeravec l’avènement de la théorie BCS en 1957.II- Théorie BCSLa théorie BCS est une théorie quantique microscopique dénommée selon lesinitiales de ses auteurs Bardeen, Cooper et Schrieffer. C’est la découverte du phonon(1950) qui a pavé le chemin permettant d’aboutir à cette théorie. Elle a permisd’élucider tous les aspects de la transition métal-supraconducteur, dont en particulier ladisparition de la résistivité électrique.85

La théorie BCS est basée sur la notion clé de paires de Cooper. Elle stipule quelorsqu’un matériau est refroidi au dessous de sa température de transition, alors onassiste à l’apparition d’une interaction attractive permettant la formation de paires deCooper. Un électron d’impulsion → k (située au voisinage du niveau de Fermi) et despin, « ↑ », est associé avec un autre électron d’impulsion − k et de spin « ↓ » ce quipermet de constituer une entité bosonique de spin net nul qui est la paire de Cooper. Lelien entre les électrons d’une même paire (de Cooper) est assuré par les phonons duréseau. L’état supraconducteur est le résultat de la condensation de Bose des paires deCooper.II-1. Formalisme BCSSous forme réduite, l’hamitonien BCS [26] s’écrit :→avec∑∑H = ε n − V b b(III.1)k , σ k,σk, σk,k '+ + +k=k↑−k↓+k , k ' k ' kb c c(III.2)L’état fondamental est donné par :∏ψ = ((III.3)SkiΦS +uk+ e vkbk) 02 2où uket vksont des réels tels que u k+ v k= 1. ΦSest la phase de l’état supraconducteur.L’état ψSpeut s’écrire aussi comme étant une superposition d’états ayant chacun unnombre donné de paires de Cooper :∑imΦSψS∝ 0 + e m paires / Ptot= 0(III.4)m≥1oùm paires / = 0 désigne un groupe de m paires de Cooper d’impulsion totale nulle( P = 0 ).totP totIl est donc clair qu’il y a une cohérence de phase entre les différentes paires deCooper. Plusieurs manifestations du phénomène de la supraconductivité à l’échellemacroscopique dont en particulier l’effet Josephson [20, 27,69, 70] (auquel nousdédions toute une partie complémentaire) sont inhérentes à cette cohérence de phase.Le fait que toutes les paires de Cooper soient connectées par la même phase ΦScecipermet de définir le paramètre d’ordre suivant :∑k∑ψ c c ψ = exp( iΦ) u v ≠ 0(III.5)S−k↓k↑SSkkk86

appelé ODLRO [18] (off-diagonal log range ordre) qui est le paramètre d’ordrepertinent pour la description de la transition supraconductrice. Il doit ce nom au faitque ses éléments de matrice non diagonaux sont non nuls.La preuve expérimentale sur le rôle joué par les phonons dans la formation despaires de Cooper est fournie par la loi isotopique [27] :αM T c=C(III.6)où M : masse isotopique,une constante.T :température critique du matériau et α = 0,5 ± 10°° et C estcL’une des prévisions importantes qui a été déduite à partir de la loi isotopiqueest l’existence d’un seuil de 23° K qu’aucune température critique de transition métalsupraconducteurne peut dépasser. Mais cette prédiction sera mise en défaut par ladécouverte de la SCHTc [16,17] qui marque un tournant important dans l’histoire de lasupraconductivité.III- Les supraconducteurs à haute température critiqueEn 1986, G. Bednorz et A. Muller [17] démontrent expérimentalement que lacéramique, La 2CuO4(un isolant à l’état pur), transite à la supraconductivité lorsqu’elleest adéquatement dopée à l’aide du Sr ( stroncium) ou Ba ( barium). Les températuresde transition de La2 −x( Ba)xCuO4et La2 − x'( Sr)x'CuO4étant respectivement T c= 30°K etT c= 38 °K . Cette découverte qui défie les prédictions de la théorie BCS à plus d’unégard et tout particulièrement en ce qui concerne les valeurs élevées de Tca permisalors d’inaugurer une nouvelle ère de supraconductivité appelée supraconductivité àhaute température critique (SCHTc) (ou aussi supraconductivité non conventionnelle).La transition classique métal-supraconducteur se voit alors attribuer le qualificatif desupraconductivité conventionnelle. La recherche des substrats à température critiqueplus élevée à conduit en 1988 aux composés YBCuO [20] dont la valeur de Tc dépassele seuil de la liquéfaction de l’azote (voir figure 3)III-1 Les matériaux SCHTCL’étude expérimentale des propriétés des matériaux SCHTc à l’état normal(c’est-à-dire pour T > TCmontre que les plans CuO jouent un rôle déterminant dans laconduction électrique. T > TC. En outre la résistivité varie linéairement en fonction dela température ce qui laisse entendre que l’état normal de ces matériaux ne peut pasêtre décrit dans le cadre de la théorie du liquide de Fermi [29] bien appropriée à ladescription des propriétés de leurs homologues classiques, les métaux pouvanttransiter à la supraconductivité.87

Figure 3 : Evolution de la température critique de la transition supraconductrice(D’après référence [65])L’effet isotopique existe en SCHTc mais il est d’un ordre très faible : Desmesures faites sur le composé YBCO montrent que lorsque l’isotope de l’oxygène 18 Osubstitut 16 O , on obtient αM T cons tec= tan avecα= 0, 02 [20]. D’un autre coté, lesinvestigations utilisant l’effet Hall vont dans le même saille d’idées et prouvent quepour la plupart des matériaux SCHTc les porteurs de charges sont des trous de faiblesdensités. Mais le fait expérimental le plus marquant, qui est mis en évidence par effetHall [30], est l’émergence de deux durées de vie que Anderson interprète parl’existence d’un découplage spin-charge se traduisant par des quasi-particulestopologiques appelées « holon » et« spinon »[31].88

Figure 4 : Dans un SCHT C se sont surtout less plans Cu-O qui sont responsables despropriétés électriques et magnétiques du matériau.Les faits expérimentaux se rapportant aux matériaux SCHTc obligent àadmettre que la théorie du liquide de Fermi (TLF) est dans l’incapacité de tenir comptedes propriétés de l’état normal de ces matériaux. La théorie BCS est également eninadéquation [16] pour pouvoir expliquer la transition supraconductrice nonconventionnelle. Par ailleurs, comme la SCHTc est un phénomène bidimensionnelalors la structure topologique [71] de l’espace peut autoriser l’existence d’excitationsnon conventionnelles obéissent à uneθ− statistique[33]. L’exemple concret surl’occurrence d’une telle statistique en physique de la matière condensée est fourni parl’effet Hall fractionnaire quantique (EFQH) [34] où les quasi-particules sont régies pardes statistiques exotiques et ce dans la mesure où elles ne sont ni bosoniques ni89

fermioniques mais plutôt interpolant entre les deux [33]. Ces découvertes réaliséesdans le domaine de la physique de la matière condensée durant les années 80 ontcontribué à stimuler un intérêt particulier à l’étude des statistiques exotiques et desstructures algébriques dites déformées.III-2. Le modèle de HubbardSur la base des faits expérimentaux se rapportant au matériaux SCHTc,Anderson suggère, en 1987,d’utiliser le modèle de Hubbard en dimension D=2 et à lalimite du couplage fort (très forte répulsion coulombienne) pour décrire la physiquedes supraconducteurs non conventionnelles . Cet hamiltonien [15,37] s’écritavec :H= −t∑+i< ij>σ∑aσaiσ+ hc + U n n(III.7)ii↑i↓ sites proches voisins+aiσopérateur de création d’un électron au site –i- de spin σ =↑, ↓a opérateur d’annihilation d’un électron de spin σ au site-j-.jσ+niσ= aiσaiσest l’opérateur nombre d’occupation du site –i-.U élément de matrice de la répulsion coulombienne «on site »,90

Annexe IVModèle de Hubbard standard et étatscohérentsLe modèle de Hubbard [11] joue un rôle très important en physique de lamatière condensée. Il permet, dans des limites bien appropriées, de décrire lespropriétés électroniques d’un nombre de matériaux allant des isolant jusqu’auxsupraconducteurs. L’hamiltonien de Hubbard présente deux secteurs d’énergie : dansle domaine de basse énergie le spectre de l’hamiltonien n’est déterminé exactementqu’en dimension D=1. En revanche, dans le secteur de haute énergie le spectre del’hamiltonien de Hubbard est déterminé exactement grâce au mécanismed’appariement de Yang.En se basant sur le mécanisme de Yang, Penson et Solomon ont pu construireles EC qui correspondent au modèle de Hubbard. Ces EC sont en fait des étatssupraconducteurs et ce dans la mesure où il permettent de déterminer les grandeurssupraconductrices pertinentes dont en particulier le paramètre d’ordre (ODLRO).Dans cet annexe nous commençons par passer en revue le formalisme d’appariementde Yang [45] . Ensuite nous explicitons la construction des EC relatifs au modèle deHubbard. Enfin , on discute l’utilité de ces états dans la SCHTc.Mécanisme d’appariement de YangPour introduire le mécanisme d’appariement on adopte les définitions et lesnotations de Yang. On considère un modèle de Hubbard sur un réseau bipartite, c'està-direconstitué deux sous réseaux qui s’interpénètrent l’un pour les électrons de spin« up » l’autre pour les spins « down ». On note :a c et+ +r= r↑b c(IV.1)+ +r= r↓les opérateurs de création électronique dans chacun des sous réseaux. Ils vérifient lesrelations d’anticommutation fermioniques usuelles.91

Considérons un modèle de Hubbard sur un cube L × L × L = M (L supposé être paire)avec conditions aux bords périodiques. L’hamiltonien s’écrit :avecH = T0 + T1+ V(IV.2)T0= Aε ( a a + b b )(IV.3a)∑→k+→k→k+→k→kT1= − B (cos k + cos k + cos k )( a a + b b ) (IV.3b)∑→kxyz+→k→k+→k→koùε 〉 0 ,+a est la transformée Fourrier de→kV = 2 W a a b b(IV.3c)∑→r+a ,2W est l’interaction « on-site », A et B sont des constantes arbitraires.→r+→r→r+→r→r+Les η (resp. η ) opérateurs qui annihilent (resp créent) une paire de fermionsd’impulsion → π sont donnés par :η =∑→re→ →.i π ra→rb→r=∑→ka→kb→ →−π k(IV.4a)+ +η + = b→→a→(IV.4b)∑→ π − k kkOn a la relation suivante [15] :avec[ H , η+ ] = Eη +(IV.5a)E = 2 Aε + 2W(IV.5b)A partir de l’équation (IV.5a) , on montre que pour tout polynôme f (η ) , on a :++ ' +[ H , f ( η )] = Eηf ( η )(IV.6)L’équation (IV.6) a été déjà obtenue par Nowak mais ses conséquences n’ont étéexploite que par Yang.92

Les opérateurs η satisfont aux relations de commutation de SU (2):+[ η , η ] = 2η z(IV.7)η =z=1 ( a)( b∑(n n)→ + →2 → r rr12∑→rn→r−12M−1)(IV.8)A partir de l’équation (IV.8), on obtient :η[ ,Moù d est l’opérateur densité électronique+ηM] = 1−d(IV.9a)d =1M∑→rn→r(IV.9b)L’équation (IV.9a) montre que pour des faibles densités électroniques lesηopérateurs sont approximativement des bosons. D’autre part, ils satisfassent auxM11relations : ( η )M + = ( η)M + = 0 ce qui traduit, selon le principe de Pauli, l’impossibilitéd’occuper un site par plus d’une paire ( a + b + ) [15].Pour un M donné on peut produire exactement M états propres normalisés de H et cepar applications consécutives de l’opérateur η sur l’état du vide 0 ; on a :ΨN+ N= β ( N,M ) ( η ) 0 , (IV.10a)N= 1,….,Mβ ( N,M ) est un facteur de normalisation qui est donné par :12( M − N)!β ( N,M ) = [ ](IV.10b)M!N!ΨNest à la fois état propre de H et de l’opérateur N2tenant compte des sites( a)( b)doublement occupés, N2= n→n→, on vérifie aisément :∑→rrrHΨ = NE Ψ(IV.11a)NN93

N2ΨN= N ΨN(IV.11b)Il est à noter queΨNne dépend ni du signe ni de la valeur de W.Groupe dynamique de l’hamiltonien de HubbardEn tenant compte de ce qui précède on construit l’algèbre dynamique à partir→η =+η,η , η z . On définit un nouveau opérateur J0par :de H et { }HJEEn utilisant l’équation (IV-7) ainsi que son hermétique conjuguée, on trouve :0= −ηz(IV.12)→[ H , η ] = 0(IV.13)(Cette règle de commutation est essentielle dans les calculs des valeurs moyennes deH)→⎧ ⎫Le plus petit groupe contenant H est ⎨J 0,η⎬, où J0est le centre du groupe et non pas⎩ ⎭l’opérateur unité. Le groupe dynamique du modèle de Hubbard est donc le groupeU(2).Etats cohérentsOn définit les états cohérents normalisés par [15] :µ = C1−2exp( µη)f2= [(1+µ )]M−2exp( µη)f(IV.14)oùf1 M+= ( η ) 0(IV.15)M!0 est l’état du vide et f est donc l’état correspondant à toutes les paires occupées.Il est à noter que l’état µ évoque la forme de la fonction d’onde BCS mais on doitfaire observer que µ n’est en rapport avec aucun hamiltonien possédant un termed’interaction.94

ηA la limite M → ∞ , l’état µ devient état propre de ce qui veut dire que l’on aMen vue un état cohérent associé, à cette limite, avec un oscillateur harmonique.Fonctions de corrélationsµ n’est pas évidemment un état propre de H . Mais contrairement à ΨN,l’état µ contient des composantes avec différents nombres de particules ( paires) etpermettant donc de calculer des moyennes du type µ ηr pµ ≠ 0 ou , µ H µ (avec p= 1,2,…) et de l’exprimer en fonction des µ ηr µ . Comme illustration calculonsµ H µ .O part de:oùH µ = C= C1−21−2µη µη{[H,e ] + e H}µη µη{ − Eηµe + e ME}= ( −µEη+ M E)µ2 M= (1 + µ . La valeur moyenne µC )s’écrire encore sous la forme:1M!+( η )1M!M+( η )0M0(IV.16)µ H devient M E − µ E µ η µ , qui peutM Eµ H µ =(IV.17)21 + µL’énergie de l’état f étant égale à ME , on voit donc que celle de µ est réduite par−1un facteur de (1+µ ) ≤1.2La signification physique du paramètre µ est obtenue à travers le calcul deN µ qui représente le nombre moyen de paires dans l’état µ . Sachant que cetµ2état ne dépend pas explicitement des paramètres de l’hamiltonien, il vient :1 ∂H1 M ∂Eµ N2µ = µ µ =(IV.18)22 ∂W2 1+µ ∂WOn en déduit :oùµ21= n2−195

N2n2 = étant la moyenne de la densité des paires dans l’état µ .MOn peut étendre cet ensemble d’états en définissant :µ ,1−2r C rr= η µ(IV.19)qui sont des états présentant des analogies formelles avec les états nombres déplacésrencontrés en optiques quantiques. Ils donnent lieu à un spectre d’énergie plus riche eninformation que celui de Yang. Le gap entre µ , r et µ , r −1est donné par :+ r−1r−1+ r r2 µ ( η ) H ( η)µ µ ( η ) H ( η)µ∆r( µ ) =−(IV.20)+ r−1r−1+ r rµ ( η ) ( η)µ µ ( η ) ( η)µPour µ = 0, on retrouve les fonctions d’onde de Yang pour lesquelles le gap est égal àE . Il est important de remarquer que toutes les quantités dans (IV.20) sont exprimées2à l’aide de C ( µ ) et de µ H µ . D’une manière générale pour un opérateur Q onpeut calculer µ ( η+ )r Q ( η) r µ à travers :r r+ r r2 −M∂ ∂2 Mµ ( η ) Q ( η)µ = (1+µ )[(1+µ ) µ Q µ ]∗ r r∂(µ ) ∂µ(IV21)2Ceci veut dire que pour ρ = µ , la fonction génératrice des éléments de matrice de Qentre les étatsMµ , r est proportionnelle à ( 1+ ρ ) µ Q µ . Dans le cas particulier oùQ = H on redécouvre l’équation (IV.20).L’équation (IV.21) peut être utilisée pour obtenir la dispersion de l’énergie dans l’étatcohérent :( ∆ H2)µ H µ2ρ2= , (avec ρ = µ ). (IV.22)MODLRO( off diagonal long range order)La présence d’un ODLRO [44] est exprimée par la fonction de corrélationa+sb+sbrar(IV.22)96

qui doit- être non nulle lorsquer − s→ ∞ . Yang a montré que ses états possèdent unNODLRO qui à la limite thermodynamique est proportionnel à n2 ( 1− n2) où n2=M(densité des paires). D’une manière similaire on montre que les états cohérents µ(avec µ ≠ 0 ) exhibe un ODLRO dont la valeur (à la limite thermodynamique) estNproportionnelle à n2 ( 1− n2) où n2= . Les états µ , r exhibent aussi unMODLRO et il importe de noter que tous les résultats se ramènent à ceux obtenus parYang µ = 0. Ceci veut dire que les états µ et µ , r sont des états supraconducteurspour toutes les valeurs de µ et r .97

Bibliographie[1] R.G. Glauber: Phys. Rev. Vol. 130 (1963) 2529 ibid Vol. 131,(1963) 2766[2] J.R. Klauder: J. Math. Phys. 4 (1963)1058[3] W. M; Zhang, D. H. Feng and R. Gilmore: Rev. Mod. Phys. Vol. 62 No 4, 867(1990)[4] A. M. Perelomov: Theor. Math. Phys. 6 (1971) 156.A. M. Perelomov: Commun. Math. Phys. 26 (1972) 222.A. M. Perelomov: “Generalized Coherent States and their Applications”.(Springer-Verlag, Berlin, 1986)[5] R. Gilmore: Ann. Phys. (NY) 74 (1972) 391.R. Gilmore and D. Feng, Nucl. Phys. A301 (1978) 189.[6] S.T. Ali , J. P. Antoine and J.P. Gazeau : “Coherent States, Wavelets andand their Generalizations” (Springer-Verlag, New York, 2000)[7] J.R. Klauder and B. S. Skagerstam: “Coherent States. Applications inPhysics and mathematical physics” (World Scientific, Singapore, 1985)[8] A. Messiah: “Quantum Mechanics” North Holland, 1962.[9] D.I. Fivel: quant-ph/ 0104123J. R. Gazeau and B. Champagne: “in Algebraic Methods in Physics”, CRMseries in Theoretical and Mathematical Physics, Vol.3 ( Springer-Verlag,Berlin)[10] A. O. Barut and L. Girardello: Commun. Math. Phys. 21 (1971) 41[11] J.R. Hubbard: Proc. R. Soc. London A276, 238 (1963)[12] P. W. Anderson: Science 235, 2590 (1987)G. Baskaran, Z. Zou and P.W. Anderson: Sol. Sta. Com 63, 973 (1987)[13] J. G. Bednorz and A. Muller: Z. Phys. B64, 188 (1986).98

J. G. Bednorz and A. Muller: “Earlier and Recent Aspects ofSuperconductivity” (Springer-Verlag, Berlin, 1989)[14] P. W. Anderson: Kathmandu Summer School, Vol1. Ed. J. Pati and al (WoldScientific, Singapore, 1990)[15] Penson and Solomon, axiv: cond-mat/971228[16] F.Madouri, Y. Hassouni and M. El Baz: Int. Jour. Mod. Phys. B Vol. 17 No 27(2003) 4859[17] M. El Baz, Y. Hassouni and F. Madouri: Rep. Math. Phys. Vol. 50 No 2 (2002),263[18] M. El Baz, Y. Hassouni and F. Madouri: Phys. Lett. B 536 (2002) 321[19] L.D. Faddeev, N. Y. Reshetikin and L. A. Takhtajan : “Quantization of LieGroups and Lie Algebras” Preprint LOMI E-14-87, Leningrad (1987)[20] T.L. Curtright, D. B. Fairlie and C. K. Zachos: “Quantum Groups” (Proc.Argonne Workshop) World Scientific, Singapore (1991).V.D. Drinfeld: Sov. Math. Dokl. 32 (1985) 254.M. Jimbo: Lett. Math. Phys 10 (1985) 63.[21] A. Montorsi and M. Rasetti: Phys. Rev. 72 (1994) 1730.[22] A. J. Macfarlane: J. Phys. A: Math. Gen 22, 4581 (1989)L. C. Biedenharn: J. Phys. A: Math. Gen 22, L873 (1989)[23] P. P. Kulish and E.V. Damaskinsky: J. Phys. A: Math. Gen 23, L415 (1989)[24] A. Kundu and B; Mallick: “q-déformation of Holstein-Primakoff and otherbosinisations of quantum groups”; Preprint SINP/TNP/90-15, Calcutta (1990)[25] K. S. Viswanathan, R. Parthasarathy and R. Jaganathan: J. Phys. A : Math. Gen25, L335-L339 (1992)[26] H. Boutaleb: « Contribution à l’étude des statistiques généralisées:Parastatistiques et théorie quantique des particules » thèse de 3 ème cycle (1976)LPT, Fac. Sc. Rabat[27] H.S. Green: Phys. Rev. 90; 270 (1953)[28] P. Shanta and al: J. Phys. A: Math. Gen. 25, 6433 (1994)[29] V. B. Bezerra, E. M. F Curado and M. A. Rego-Moneiro: Phys. Rev. D 65,(2002) 65020.99

[30] R. Mohapatra: “Infinite statistics and possible small violation of the Pauliprinciple” Phys. Lett. B 242 (1990) 407.[31] A. K. Mishra: hep-th/9605204[32] A. Suderby: J. Phys. A: Math. Gen. 23 (1990) L 697[33] R. Parthasarathy and K. S. Viswanathan: J. phys. A 24 (1991) 613[34] R. Kerner: J. Math. Phys. 33 (1992) 403[35] R. Kerner: math-ph/0011023[36] S. Majid: “Foundations of quantum group theory” Ed. Cambridge Univ. Press,1995[37] S. Majid: J. Math. Phys. 35 (1994) 3753[38] F. A. Brezin: “The methods of second quantization” Accademic Press, 1966[39] C. Itzykson and B. Zuber: “Quantum Field Theory” Mc Graw-Hill, 1980[40] V. Bergmann: Comm. Pure; Appl. Math. 14 (1961) 180 ibid 20 (1967)1V. Bergman: Rep. Math. Phys. 2, 211 (1971)[41] Y. Hassouni and al: Phys. Lett. B 454 (1999) 281[42] J.M. Sixdeners and al: J. Phys. A. Math. Gen. 32 (1999) 7543[43] F. M. A. Oliveira, M.S. Kim and P. L. Knight: Phys. Rev. A41 (1990) 2645[44] C.N. Yang: Rev. Mod. Phys .34 (1962) 694.[45] C.N. Yang: Phys. Rev. Lett. 63 (1989) 2144.[46] M. Chaichan, D. Ellinas and P. P. Kulish: Phys. Rev. Lett. 65 (1990) 980.[47] M. Taukeuchi: Proc. Japan. Acad. 66A, 112 (1990)[48] J.R. Schrieffer: “Theory of Superconductivity” Benjamin, New York (1983)[49] J. Ashcroft and Mermin “Solid State Physics” Saunders College Publishing1976[50] M. Tinkham, «les Houches 1961 », Ed. Gordon and Breach (1962)[51] A. Abrikosov: “Fundamentals of the Theory of Metals” North Holland (1980)[52] J. Bardeen, L. N. Cooper and J.R. Schrieffer: Phys. Rev. 106 (1957) 162.[53] D. Pines and P. Nozieres: “Theory of Quantum Liquids” Benjamin, New York,1966.[54] V. L. Ginzburg and L. Landau: Zh. Eksp. Teor. Fiz.20 (1950) 1064100

[56] E. Fradkin: “Field Theories of Condensed Matter Systems”. Addison WisleyPublishing Company.[57] F. Wilczek: “Fractional Statistics and Anyon Superconductivity” Bibliopolis(1990)[58] M. Ogata and H. Shiba: Phys. Rev. B41, 2326 (1990)[59] L. N. Cooper: Phys. Rev. 104, 1189 (1956)[60] F.H.L Essler, V.E. Korepin and Schoutens: Nucl. Phys. B 384 (1992)431.[61] S. Robaszkiewicz, R. Micnas and J. Ranniger: Phys. Rev. B 36, (1987) 180.[62] L. G. Lang and Yu. A. Firzov: Zh. Eksp. Teor. Fiz. 43, 1843 (1962) [Sov. Phys.JETP 16, 1301 (1963)][63] I. A. M Gel’fand and D. B. Fairlie: Comm. Math. Phys. 136, 487 (1991)[64] E.H. Lieb and F. Y. Wu: Phys. Rev. Lett. 20, 1445 (1968)[65] M. Cyrot and D. Pavuna: “Introduction to Superconductivity and High-TcMaterials” World Scientific, 1992.[65] B. L. Cerchiai and P. Schupp: J. Phys. A 29 (1996) 845[66] C. Aragonne and al: J. Phys. A: Math. Gen. 7 (1974) L 149.[67] B. Jurco: Lett. Math. Phys. 21 (1991) 51[68] M. Chainchan and D. Ellianas: J. Math. Phys. 32 (1991) 3381M. Chainchan , D. Ellianas and P. Kulish: Phys. Rev. Lett. 65 (1990) 980[69] T. Van Druzer and C. W. Turner: Principles of superconductiviting Devices andCircuits, Edward Arnold, 1982.[70] Superconductive Tunneling and Applications; L. Solymar, Chapman and Hallltd.London, 1972.[71] J. M. Leinaas and J. Myrheim: Nuov. Cim. 37B (1977) 1[72] M. Arik and D. D. Coon: J. Math. Phys. 17 (1976) 524101

RésuméDans cette thèse nous étudions différentes méthodes de construction d’étatscohérents déformés relatives aux structures algébriques déformés.Nous nous intéressons à l’étude des oscillateurs bosoniques déformés et auxdifférentes méthodes de construction des ECD qui leur correspondent. Nousintroduisons une algèbre dynamique permettant d’unifier plusieurs oscillateursbosoniques déjà établis dans la littérature. En outre, nous proposons une méthodegénérale de construction des ECD à ces oscillateurs unifiés (ou bien à l’oscillateurgénéralisé les unifie). Nous illustrons l’utilité de cette méthode en construisantexplicitement les ECD qui correspondent à un oscillateur déformé convenablementchoisi.Nous étudions aussi la construction des ECD relatifs aux oscillateursfermioniques déformés. Nous nous appuyons sur les structures algébriques introduitespar Kerner pour établir lien entre les variables grassmanniennes Z3− graduées et lesparafermions. La construction des ECD s’ensuit alors comme une conséquence directe.Enfin nous construisons les ECD qui correspondent à la symétrie quantique quevérifie le modèle de Hubbard avec phonons. Nous fournissons la preuve que ces étatssont de véritables états supraconducteurs, et ce dans la mesure où ils permettent dedéterminer les grandeurs caractéristiques de la transition supraconductrice.Mots-clefs (5) : Oscillateurs harmoniques déformés, critères de Klauder,groupes quantiques, états cohérents déformés, modèle de Hubbard avecphonons102

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