Annexe IV Modèle de Hubbard standard et états cohérents - Toubkal

Extension de la symétrie quantique au réseauEn revenant à l’hamiltonien de Hubbard, l’existence d’une structure d’algèbrequantique veut dire que l’extension de la symétrie locale à une symétrie globale estréalisée en termes de coproduit. Dans le cas général aussi bien que dans le cas de(z)[ su (2)] ql’élément de Cartan K est primitif et son coproduit est donné par [16,21] :alors que l’on a :( z)( z)( z)∆( K ) = I ⊗ K + K ⊗ I(83.a)∆Z∗ Z( + ) α K ( + ) ( + ) −αK( K ) = e ⊗ K + K ⊗ e ,.( −)( + ) +∆ ( K ) = [ ∆(K )](83.b)L’extension de la symétriedu coproduit :[ su (2)]au réseau Λ est obtenue par itérations consécutivesqK( ν ) ( )= ∆ ( K ) , γ = ±, z(84)( γ )γoù on suppose queνN = 2 .En procédant ainsi, on obtient :∑ˆ )( z)( zK = I ⊗....I ⊗ K ⊗ I....⊗ Ij(85.a)∑→ →ZZˆ ( + ) i G . j αKαK( + )K=ee⊗....⊗ e⊗ K⊗ e∗ Z−αK⊗......⊗ e∗ Z−αK(85.b)ˆ ( − )= ˆ ( + )] +K [ K(85.c)Pour simplifier la notation, on écrit:∑ZZKˆ ( )( )= K(86.a)i∈ΛiKˆ( + )=∑j∈Λexp( iG→ →( Z )αKk( + ). j)∏eKj ∏k 〈 jk 〉 je* ( Z )k−αK(86.b)ˆ ( − )= ˆ ( + )) +K ( K(86.c)36