Annexe IV ModÃ¨le de Hubbard standard et Ã©tats cohÃ©rents - Toubkal

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de ces développements une digression sur le phénomène de la supraconductivité [50-59].I-5.1. Généralités sur le phénomène de la supraconductivitéUn supraconducteur est un matériau qui, lorsqu’il refroidi au dessous d’unecertaine température critique Tc(caractéristique du matériau), présente une résistivitéélectrique nulle et devient un diamagnétique parfait [49]. Ces matériaux sont répartisen deux familles. Le critère de répartition -qu’on peut évoquer au prime abord estd’ordre phénoménologique- il prend en considération la nature des matériaux et leurstempératures de transition à la supraconductivité. Les métaux et les alliagesmétalliques qui présentent la possibilité de transiter à la supraconductivité à destempératures critiques situées au- dessous de 30°K constituent la famille dessupraconducteurs conventionnels [50-53] En outre, il y a les supraconducteurs nonconventionnels ou supraconducteurs à haute température critique qui sont descomposés à base d’oxyde de cuivre dont les températures de transition se situent audessusde 30 ° K et peuvent même surpasser le seuil de liquéfaction de l’azote [13].D’un point de vue théorique, les deux aspects de la supraconductivité sontdécrits par deux formalismes hamiltoniens différents. Le phénomène de lasupraconductivité conventionnelle dont la découverte remonte à 1911 a étécomplètement élucidé en 1957 grâce à la théorie BCS [48, 52]. En revanche, lessupraconducteurs à haute température critique (SHTc), mis en évidence expérimentalepour la première fois en 1986, sont censés être décrits [12,14] par le modèle deHubbard [11].La théorie BCS baptisée selon les initiales de ces auteurs (Bardeen, Cooper etSchrieffer) est une théorie quantique microscopique. Elle est basée sur la notion clef depaires de Cooper [59]. Selon la théorie BCS, lorsqu’un conducteur est refroidi audessousde sa température de transition, il y a apparition d’une interaction attractivepermettant aux électrons de s’associer en paires de Cooper. Un électron spin, « ↑ »d’impulsion → k située au voisinage du niveau de Fermi apparié avec un autre électron→d’impulsion − k et de spin « ↓ » forment une entité bosonique de spin net nul qui estla paire de Cooper. La transition à l’état supraconducteur est interprétée en terme decondensation de Bose des paires de Cooper [52].La formation des paires de Cooper au-dessous de TCest favorisée par lesvibrations des ions du réseau (c’est-à-dire les phonons). La preuve expérimentale surce rôle joué par les phonons est fournie par la loi isotopique [27] :αM T c= C(33)22
M : masse isotopique, Tc:température critique du matériau et α = 0,5 ± 10°° et C uneconstante.L’une des prévisions importantes déduite à partir de la loi isotopique estl’existence d’un seuil de 23° K qu’aucune température critique de transition métalsupraconducteurne peut dépasser. Mais cette prédiction sera mise en défaut par ladécouverte des supraconducteurs à haute température critique [13].Les supraconducteurs à haute température critique (SCHTc) ont été découvertspar Bednorz et Muller. En effet, ils démontrent expérimentalement, en 1986, que lacéramique La 2CuO4(qui est un isolant à l’état pur), devient supraconducteurlorsqu’elle est adéquatement dopée à l’aide du Sr (Strontium) ou Ba (Baryum) . Lestempératures de transition de La2 −x( Ba)xCuO4et La2 − x'( Sr)x'CuO4étant respectivementT c= 30°Ket T c= 38 ° K [13]. Cette découverte qui défie les prédictions de la théorieBCS à plus d’un égard et tout particulièrement en ce qui concerne les valeurs de Tc, apermis alors d’inaugurer l’ère de supraconductivité à haute température critique(SCHTc) (ou aussi supraconductivité non conventionnelle). La recherche des substratsà température critique plus élevée à conduit en 1988 aux composés YBCuO [65] dont lavaleur de TCdépasse le seuil de la température de liquéfaction de l’azote (voir annexeIII). Pour décrire la physique des matériaux SCHTc, le modèle de Hubbard à la limitedu couplage fort a été alors proposé par P.W. Anderson.I-5.2 Le modèle de HubbardL’hamiltonien de Hubbard s’écrit :avec :H = t∑+i< ij>σ sites proches voisins∑aσaiσ+ U n n(34)ii↑i↓+aiσ(resp. ajσσ =↑,↓ en un site –i- .) opérateur de création (resp. annihilation) d’un électron spin+niσ= aiσaiσest l’opérateur nombre d’occupation d’un site –i-.U élément de matrice de la répulsion coulombienne «on site », U>0t : élément de matrice du terme saut (hopping term) entre sites prochesvoisinsLe couplage fort correspond àU >> t .Le premier terme de l’hamiltonien (34) traduit la tendance des électrons à se répandredans le réseau, quant au second il exprime le rôle joué par la forte répulsioncoulombienne qui tend à éviter aux électrons la double occupation d’un même site.Ainsi, dans le cas particulier où le nombre d’électrons est égal au nombre de sites du23
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