Annexe IV Modèle de Hubbard standard et états cohérents - Toubkal

L’intégration est définie comme suit :*∫ dη= ∫ dη= 0(II.15a)* *∫ dηη= ∫ dη η = 1. (II.15b)Il s’agit en fait de définitions formelles et on ne doit pas donc considérer ces intégralescomme étant des limites de sommes éventuelles. Ces intégrales vont nous permettrealors de définir les états cohérents fermioniques d’une manière formellementéquivalente à leurs analogues bosoniques.Moyennant les définitions des intégrales, on peut écrire :* *∫ d η P( η , η ) = P1 + P η 12(II.16a)* *∫ d η P( η , η ) = P2 − P η 12(II.16b)*Les éléments différentiels dη et dη anticommutent entre eux mais commutent avecles nombres complexes.Par comparaison des relations intégrales et des équations de dérivation on constatequ’il y a une équivalence entre les opérations d’intégration et de dérivation à droite :∫∫rdηPη η P η η* *( , ) = ∂ η( , )rdη P( η, η ) = ∂ P( η, η )* * **η(II.17a)(II.17b)Etats cohérents fermioniquesLes états cohérents fermioniques sont construits en utilisant les éléments del’algèbre de Grassmann, ils sont définis par [7,38] :+ +η = exp( a η) 0 = 0 + a η 0(II.18a)* *= 0 exp( a) = 0 + 0 a(II.18b)η η ηOn peut donc constater une ressemblance formelle entre états cohérents fermioniqueset bosoniques (voir annexe I). On a :81