Annexe IV Modèle de Hubbard standard et états cohérents - Toubkal

Annexe ILes états cohérents canoniquesLes oscillateurs harmoniques sont un prototype d’hamiltonien quadriquesexactement soluble [8]. L’hamiltonien d’un oscillateur unidimensionnel de masse m etde pulsation ω est2P 1 2 2H = + mωx(I.1)2m2où⎡ ⎣x,P]= ih (I.2)x et P sont respectivement les opérateurs position et impulsion.Pour simplifier le formalisme on introduit les opérateurs réduits (sansdimensions)q =mωx ethLes opérateurs création et annihilation s’écrivent :p 1 ∂π = = = −i∂mhωi ∂qq(I.3)a + = q − i∂ (I.4a)qa = q + i∂(I.4b)qIls vérifient les relations de commutationavec[ a , a+ ] = I , [ N,a]=− a et[ N , a+ ] = a +(I.5)+N = a a : Opérateur nombre de particulesL’hamiltonien s’écrit donc sous la forme :72