Annexe IV Modèle de Hubbard standard et états cohérents - Toubkal

(loc)Helexprime les contributions locales (par site) à l’énergie du système. Il faitintervenir le potentiel chimique µ qui est un multiplicateur lagrangien permettant defixer le nombre d’électrons présents dans le réseau.(hop)Helappelé terme « hopping » ; il correspond au mouvement itinérant des électronsdu réseau.L’introduction des phonons entraîne une modification des éléments de matricedu terme « hopping ». Elle est l’expression de la variation de la distance entre sitesproches voisins qui est induite par les vibrations du réseau. Ainsi, si l’on considère queles phonons sont de simples oscillateurs indépendants d’Einstein de masse M et depulsation ω alors ils sont décrits par l’hamiltonien :avecHiPh=j∑i∈Λ2pi2Mij+12Mω ² x(54)[ x , p ] = ihδ(55)2ix et p commutent avec tous les opérateurs fermioniques.Tenir compte des vibrations du réseau revient à ajouter à l’hamiltonien (51) le terme(hop)HPh. Cette extension de l’hamiltonien entraîne une modification du terme Helet ceà travers le changement qui affecte les éléments de matrice t ij. Dans ces conditionsl’hamiltonien de Hubbard étendu qui tient compte des phonons s’écrit :Le termeH −s’écrit :(hop)el phH = H + H + H(56)H( loc)( hop)el ph el−ph∑ ∑( hop)+el− ph= ( tijaj,aiσ+i, j σ =↑,↓σh.c.)(56)avec des éléments de matrice t ijqui sont maintenant donnés par [21,53]:tij=∫∗− h²drφ( r − Ri− xi)( ∆ + V ( r,Rl) φ(r − Rj− xj)2m(57)où xiet xjsont introduites dans les fonctions de Wannier pour tenir compte des écartsque peuvent avoir les ions durant leur mouvement vibratoire.D’autre part, en tenant compte de la contribution du potentiel propre ( V r,R ) )dechacun des ions alorsH −est factorisé comme suit:(hop)el ph(l29