Annexe IV Modèle de Hubbard standard et états cohérents - Toubkal

La théorie BCS est basée sur la notion clé de paires de Cooper. Elle stipule quelorsqu’un matériau est refroidi au dessous de sa température de transition, alors onassiste à l’apparition d’une interaction attractive permettant la formation de paires deCooper. Un électron d’impulsion → k (située au voisinage du niveau de Fermi) et despin, « ↑ », est associé avec un autre électron d’impulsion − k et de spin « ↓ » ce quipermet de constituer une entité bosonique de spin net nul qui est la paire de Cooper. Lelien entre les électrons d’une même paire (de Cooper) est assuré par les phonons duréseau. L’état supraconducteur est le résultat de la condensation de Bose des paires deCooper.II-1. Formalisme BCSSous forme réduite, l’hamitonien BCS [26] s’écrit :→avec∑∑H = ε n − V b b(III.1)k , σ k,σk, σk,k '+ + +k=k↑−k↓+k , k ' k ' kb c c(III.2)L’état fondamental est donné par :∏ψ = ((III.3)SkiΦS +uk+ e vkbk) 02 2où uket vksont des réels tels que u k+ v k= 1. ΦSest la phase de l’état supraconducteur.L’état ψSpeut s’écrire aussi comme étant une superposition d’états ayant chacun unnombre donné de paires de Cooper :∑imΦSψS∝ 0 + e m paires / Ptot= 0(III.4)m≥1oùm paires / = 0 désigne un groupe de m paires de Cooper d’impulsion totale nulle( P = 0 ).totP totIl est donc clair qu’il y a une cohérence de phase entre les différentes paires deCooper. Plusieurs manifestations du phénomène de la supraconductivité à l’échellemacroscopique dont en particulier l’effet Josephson [20, 27,69, 70] (auquel nousdédions toute une partie complémentaire) sont inhérentes à cette cohérence de phase.Le fait que toutes les paires de Cooper soient connectées par la même phase ΦScecipermet de définir le paramètre d’ordre suivant :∑k∑ψ c c ψ = exp( iΦ) u v ≠ 0(III.5)S−k↓k↑SSkkk86