Annexe IV Modèle de Hubbard standard et états cohérents - Toubkal

avec→1→ →→φni( r ) = exp( −ik . R i ) ψ → ( r )(43.a)M∑→n K→k→→ψ → ( r ) = exp( i k . r ) u → ( r )(43.b)n kn k→La fonction ψ → est appelée fonction de Bloch. Elle est appropriée à la description den Kla structure de bande d’un solide. Elle fait intervenir le terme u → r )( →n kqui possède lamême périodicité que le réseau. Les indices n et → k correspondent respectivement à labande et au vecteur d’onde parcourant la zone de BrillouinLes équations (43.a-b) montrent qu’un site -i- du réseau est connecté à l’origine par levecteurR → i(qui spécifie la position du site –i-) et donc on a :φ ( r ) = φ ( r − R i ) . (44)ni→niLes fonctions de Wannier sont couramment utilisées en physique des solidespour évaluer les éléments de matrices de l’hamiltonien du système à étudier [49,53]. Cette procédure peut être appliquée au cas du modèle de Hubbard. Pour cela, ilsuffit de partir d’une expression de cet hamiltonien en terme de la « premièrequantification »:→→où :→1→ →H = ∑ h( r i ) + ∑V( r i − r j )(45)2ii≠j1 ≤ i ≤ N ,→ 2p→ih(r i ) = + V ( r,Ri) est un opérateur à une seule particule qui rend compte de2ml’énergie cinétique de l’électron -i et aussi de toutes les interactions de cetélectron avec les potentiels externes tel que celui créé par les ions du réseau.→ →V ( r i − r j ) : représente l’énergie d’interaction coulombienne entre deux→électrons l’un occupant la position r i et l’autre r j→.En introduisant les opérateurs création et annihilation+aiσetiσa ( désignent icides opérateurs fermioniques) correspondant à un électron de spin σ =↑, ↓ dans l’état φi(l’indice n de la bande étant tout simplement omis), l’hamiltonien de Hubbard s’écrit :27