Annexe IV Modèle de Hubbard standard et états cohérents - Toubkal

contexte des groupes quantiques ; mais il s’avère qu’elle est difficile à accomplir et ceà cause de la non trivialité de l’espace quotient. Une seconde approche [68] consiste àprocéder par analogie avec la construction des EC conventionnels qui correspondentaux groupes de Lie classiques (non déformés). C’est la deuxième méthode que nousemprunterons pour la construction des ECD au modèle de Hubbard avec phonons et ceen s’inspirant des résultats de Penson et Solomon.Le procédé de construction des ECD relatifs aux groupes quantiques estdifférent de leurs homologues relatifs aux oscillateurs quantiques. Cette différenced’approches est le résultat des différences algébriques qui distinguent ces oscillateursdes groupes quantiques.I -4.2. Les oscillateurs harmoniques déformésLes oscillateurs quantiques déformés ne possèdent pas en général de structuresd’algèbres de Hopf. Du point de vue mathématique, ils sont définis en tant quedéformations [22-25] des oscillateurs ordinaires qui font appel à un ou plusieursparamètres de déformation. Néanmoins, ils (les oscillateurs déformés) sont appelés àredonner le cas ordinaire (c’est-à-dire non déformé) lorsqu’on fait tendre le paramètre(ou, éventuellement, les paramètres) de déformation vers l’unité.Sur le plan historique, il faut signaler que ces oscillateurs ont fait leur apparition[26,27] avant l’avènement des groupes quantiques. Pour donner une idée substantiellesur les structures algébriques des oscillateurs déformés nous nous contentons ici dedonner deux exemples. Le premier est celui d’Arik-Coon [72]:+ +[ a,a+ ]q= aa − qa a = I(31)[ a , I]= [ a + , I ] = 0avec0 ≤ q ≤ 1.Le second est celui de Biedenharn-Macfarlane [22] :+ + − Naa − qa a = q(32)avec+ +[ N,a]= −a, [ N , a ] = aA partir des années 80, plusieurs autres déformations d’oscillateurs bosoniques,à un ou plusieurs paramètres de déformation, ont été consécutivement introduites dansla littérature [23, 24, 31,32]. Ils sont envisagés dans l’étude de plusieurs systèmesphysiques [28-31, ]. Tels que les systèmes ou les effets anharmoniques [72] jouent unrôle dominant, en optique quantique ou même pour obtenir une nouvelle des champsqui présente des écarts par rapport à la statistique de Bose-Einstein [30, 33].19