Thème N°2 : THEOREME DE THALES (1)

Thème N°2 :THEOREME DE THALES (1)EQUATION (2)A la fin du thème, tu dois savoir : Résoudre d’une équation de la formex b = oua b = (rappels de 4°).a c x c Comment faire une démonstration : « chaînon » (rappels de 4°). Les propriétés de la droite des milieux dans un triangle. (rappels de 4°). Les pyramides et les cônes. : Description – calculer un volume (rappels de 4°). La configuration de Thalès : Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurspourles côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux droitessécantes.Théorème de Thalès : • Soient d et d’ deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de d, distincts deA. Soient C et N deux points de d’ distincts de A.AM AN MNSi les droite (BC) et (MN) sont parallèles, alors = = .AB AC BCA – RAPPELS SUR LA NOTION DE DEMONSTRATIONUne démonstration en géométrie est une succession de chaînons déductifs.Un chaînon déductif peut se présenter sous la forme :Enoncé et réciproqueOn sait que ………………….. ( Donnée ou conclusion précédente )Si ……….. alors ………… ( Propriété )Donc ……………. ( Conclusion du chaînon ) En mathématiques, on utilise très souvent des énoncés de la forme : « Si … alors … »Exemple : Si deux droites sont perpendiculaires alors elles sont sécantesconditionconclusion On trouve la réciproque d’un énoncé en inversant la condition et la conclusion de cet énoncé.Attention : La réciproque d’un énoncé vrai n’est pas toujours vraie.Exemple : Si deux droites sont sécantes alors elles sont perpendiculaires

B – RAPPELS (4°) SUR LES PROPRIETES DES MILIEUX ET DROITES PARALLELES DANS UNTRIANGLEMéthode 1 : Comment démontrer que deux droites sont parallèlesEnoncé :IFDémontre que les droites (IK) et (FG) sont parallèlesESolution : On sait que : - EFG est un triangle.- I milieu de [EF]- K milieu de [EG]Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle alors elle est parallèle au troisième côté dutriangle.Donc (IK) est parallèle à (FG).KMéthode 2 : Comment calculer la longueur d’un segmentEnoncé :AEAB = 6 cmB AC = 5 cmCB = 3 cmGFCalcule la longueur du segment [EF]Justifie ta réponse.CSolution : On sait que : - ABC est un triangle.- E milieu de [AB]- F milieu de [BC]Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle alors sa longueur est égale à la moitié de lalongueur du troisième côté du triangleDonc EF = ½ × AC = ½ × 5 = 2,5Conclusion : EF = 2,5 cmMéthode 3 : Comment démontrer qu’un point est le milieu d’un côtéEnoncé : (SR) // (JK)Démontre que le point K est le milieu du segment [RT]SJSolution : On sait que : - STR est un triangle- J est le milieu de [ST]- (SR) est parallèle à (JK)Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle àun second côté alors elle coupe le troisième côté en son milieuDonc K est le milieu de [RT]RKT

C - THEOREME DE THALESANdd'M NMBCAdd'ABBCCMNdd'Soit :• Deux droites d et d’ sécantes en A ;• Deux points B et M de d distincts de A ;• Deux points C et N de d’ distincts de A ;• (BC) parallèle à (MN)Alors, d’après le théorème de THALES, on a :AMABAN= =ACMNBC

Méthode 4: Comment calculer la longueur d’un segmentExemple 1 : On veut calculer EF.A6 cm5 cm?3(EF) // (AB)OFBLes droites (EA) et (FB) sont sécantes en O et les droites (EF) et (AB) sont parallèlesD’après le théorème de Thalès, on a :5 EF=6 3EF × 6 = 5×3Ef15 = =62,5Conclusion : EF = 2,5 cmOEOA=OFOB=EFABExemple 2 :Enoncé : Sur la figure ci-contre, les droites (AC) et(BD) sont parallèles.On donne : OA = 2,5 cm ; OB = 3 cm ; OC = 2 cm etBD = 3,6 cm.Calcule OD et ACC2 cmA2,5 cmO3 cmB3,6 cmDSolution :Les droites (AB) et (DC ) sont sécantes en O et les droites (AC) et (DB) sont parallèles.OA OC ACD’après le théorème de Thalès, on a donc : = =OB OD DBSoit :2 ,5 23= ACOD = 3,6• Calcul de OD :2,5 22×3On a = soit OD = = 2, 4 . Conclusion : OD = 2,4 cm3 OD2,5• Calcul de AC :2,5AC2,5 × 3,6On a = soit AC = = 3. Conclusion : AC = 3 cm3 3,63

Brevet des collèges : Extrait session 2013 – exercice n°6 – question 1a)Dans les marais salants, le sel récolté est stocké sur une surface plane comme l’illustre la photo cidessous.On admet qu’un tas de sel a toujours la forme d’un cône de révolution.1) a) Pascal souhaite déterminer la hauteur d’un cône de sel de diamètre 5 mètres. Il possède un bâtonde longueur 1 mètre. Il effectue des mesures et réalise les deux schémas ci-dessous :BâtonCône de selSC1 mAB E O L3,20 m 2,30 m 5 mDémontrer que la hauteur de ce cône de sel est égale à 2,50 mètres• Démontrons que les droites (SO) et (CB) sont parallèlesOn sait que : (CB) perpendiculaire à (AL)(SO) perpendiculaire à (AL)Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.Conclusion : (SO) et (CB) sont parallèles• Calcul de la hauteur du côneOn sait que : (SC) et (OB) sont sécantes en A(CB) et (SO) sont parallèlesAC ABD’après le théorème de Thalès, on a : =AS AOCalcul de AO : AO = AB + BE + EOAO = 3,2 + 2,3 + 25 = 8 ( m )=CBSOSoit :3,2 18×1= , d’où SO = = 2, 58 SO3,2Conclusion : La hauteur du cône de sel est égale à 2,50 m

Bilan du thème : pas acquis en cours d’acquisition acquisMettre une croix au crayon à papier que tu pourras effacer et changer de case à tout moment.Comment démontrer que deux droites sont parallèlesComment calculer la longueur d’un segment en utilisant une propriété des milieuxet droites parallèles dans un triangle.Comment démontrer qu’un point est le milieu d’un côté en utilisant une propriétédes milieux et droites parallèles dans un triangle.Reconnaître une situation de Thalès en observant une figureComment calculer la longueur d’un segment en utilisant le théorème de ThalèsRésoudre une équation de la formex b = oua ca b =x cMes notes : Ce que je ne dois pas oublier le jour d’un contrôle,........................le jour del’examen du Brevet des Collèges,.........................