Fonctions convexes d'une variable réelle ... - CAPES de Maths

2Fonctions convexesThéorème 1 : f est convexe si et seulement si A = {(x, y) ∈ R 2 | f(x) y} est une partie convexede R 2 .démonstration :"=⇒" : Soient M(x 1 , y 1 ), N(x 2 , y 2 ) ∈ A , de sorte que f(x 1 ) y 1 et f(x 2 ) y 2 . On note cesdeux inégalités (⋆). Soit T(x, y) ∈ [MN], on veut montrer que T ∈ A , c’est-à-dire f(x) y.Puisque T ∈ [MN], il existe λ ∈ [0, 1] tel que x = λ x 1 + (1 − λ)x 2 et y = λ y 1 + (1 − λ)y 2 .Alorsf(x) = f ( ) f convexeλ x 1 + (1 − λ)x 2 λ f(x 1 ) + (1 − λ)f(x 2 ) (⋆) λ y 1 + (1 − λ)y 2 = f(y)."⇐=" : Soient (a 1 , a 2 ) ∈ I 2 , M ( a 1 , f(a 1 ) ) , N ( a 2 , f(a 2 ) ) . M, N ∈ A , donc [MN] ⊂ A (car Aest convexe), et par suite, pour tout λ ∈ [0, 1], on aCette appartenance s’écrit aussiT ( λ a 1 + (1 − λ)a 2 , λ f(a 1 ) + (1 − λ)f(a 2 ) ) ∈ A .f ( λ a 1 + (1 − λ)a 2) λ f(a1 ) + (1 − λ)f(a 2 ),donc f est convexe.Notons que A est appelé épigraphe de f.Théorème 2 : Les trois propositions suivantes sont équivalentes :(i) f est convexe ;(ii) Pour tout (x, y, z) ∈ I 3 tel que x < y < z,f(y) − f(x)y − xf(z) − f(x)z − xf(z) − f(y)z − y;(iii) Pour tout x 0 ∈ I, la fonction suivante est croissante :démonstration :(i) ⇒ (ii) :ϕ x0 : I\{x 0 } −→ Rx ↦−→ f(x) − f(x 0)x − x 0.x < y < z et f est convexe, donc il existe λ ∈ [0, 1] tel que(♯){ y = λ x + (1 − λ)zf(y) λ f(x) + (1 − λ)f(z).Par suite, et puisque 1 − λ ≠ 0, on af(y) − f(x)y − x(♯)λ f(x) + (1 − λ)f(z) − f(x)λ x + (1 − λ)z − x− (1 − λ)( f(z) − f(x) )(1 − λ)(z − x)=f(z) − f(x).z − x