Fonctions convexes d'une variable réelle ... - CAPES de Maths

6Fonctions convexes74.3 Applications74.3.1 ExtremumsProposition 1 : Soient f : I −→ R une fonction dérivable et convexe sur I, et a ∈ I tel quef ′ (a) = 0. Alors f admet un minimum en a.démonstration : D’après le corollaire 1, f est au-dessus de toutes ses tangentes. En particulier, aupoint a, on a donc∀ x ∈ I, f(x) f ′ (a)(x − a) + f(a) = f(a),donc f admet un minimum en a.74.3.2 Inégalité de convexitéExemplesExemple 1 : f(x) = e x définie sur R. f est C 2 , et f ′′ 0 sur R, donc f est convexe. Par le corollaire 1,appliqué en particulier au point d’abscisse nulle, on trouve alors que∀ x ∈ R, f(x) f ′ (0)(x − 0) + f(0) ⇔ e x x + 1.Exemple 2 : g(x) = sin(x) définie sur [0,π/2]. g y est C 2 et g ′′ = − sin 0 sur [0,π/2], donc g est concave.On obtient ainsi la double-inégalité (obtenue de la généralité g concave ⇒ cordes g tangentes) :Convexité avec plusieurs points∀ x ∈[0, π ],22x sin(x) x.πProposition 2 : Soient f : I −→ R convexe, n 2, (λ 1 , x 1 ), . . . , (λ n , x n ) ∈ R × I tels que∑ ni=1 λ i = 1. Alors on a l’inégalité( n)∑f λ i x i i=1n∑λ i f(x i ).i=1démonstration : On procède par récurrence sur l’entier n 2.Initialisation :Pour n = 2, c’est exactement la définition donnée.Hérédité : On suppose le résultat vrai jusqu’au rang n − 1, et l’on se donne (λ 1 , x 1 ), . . .,(λ n , x n ) ∈R × I tels que ∑ ni=1 λ i = 1. Alors⎛⎞( n∑) ( )n∑ λ 1 x 1 + λ 2 x 2n∑f λ i x i = f ⎜ 1 − λ i⎝ 1 − ∑ ni=1 i=3i=3 λ + λ i x i ⎟i ⎠} {{ } i=3=: y( )n∑n∑1 − λ i f(y) + λ i f(x i ).H.R.i=3i=3