Fonctions convexes d'une variable réelle ... - CAPES de Maths

4Fonctions convexes74.2 Résultats utilesThéorème 3 : Si f : I −→ R est convexe, alors pour tout x 0 ∈ I˚, f admet une dérivée à gauche f ′ get une dérivée à droite f ′ d , f est continue sur I˚ et f ′ g , f ′ dsont croissantes sur I˚.démonstration :• Soit x 0 ∈ I˚. Pour tous x ∈ ]a, x 0 [ et y ∈ ]x 0 , b[, le théorème 2 nous assure que ϕ x0 est croissante etmajorée sur ]a, x 0 [ par ϕ x0 (y). Donc la limite à gauche en x 0 de ϕ x0 existe etlim ϕ f(x) − f(x 0 )xx→x − 0(x) = lim= f0 x→x − 0 x − xg(x ′ 0 ).0On procède de la même manière pour la dérivée à droite, et ces deux résultats amènent directement lacontinuité de f sur I˚.• Soit x 0 ∈ I˚. On a alors que pour tous x ∈ ]a, x 0 [ et y ∈ ]x 0 , b[,f(x) − f(x 0 )x − x 0 f(y) − f(x 0)y − x 0.En passant à la limite (x → x 0 − et y → x 0 + ), on obtient l’inégalité f ′ g(x 0 ) f ′ d (x 0), notée (1). Soitalors x 1 ∈ I˚ tel que x 0 < x 1 . D’après le point (ii) du théorème 2, on a pour tout xin ]x 0 , x 1 [,⇒f(x) − f(x 0 ) f(x 1) − f(x 0 ) f(x) − f(x 1)x − x 0 x 1 − x 0 x − x 1limx→x 0+f(x) − f(x 0 ) f(x 1) − f(x 0 ) limx − x 0 x 1 − x 0 x→x − 1⇔ f ′ d (x 0) f(x 1) − f(x 0 )x 1 − x 0 f ′ g(x 1 ). (2)f(x) − f(x 1 )x − x 1Ainsi, les inégalités (1) et (2) nous donnent f g(x ′ 0 ) f g(x ′ 1 ), ce qui justifie la croissance de f g ′ sur I˚.On procède de la même manière pour fd ′ .Remarques 3 :1. f convexe sur I ⇏ f continue sur I. Considérer par exemple la fonction f définie sur [−1, 1] par f(−1) =f(1) = 2 et pour tout x ∈ ] − 1, 1[, f(x) = x 2 .2. f convexe sur I ⇏ f dérivable sur I. Considérer par exemple la valeur absolue sur un intervalle ouvertcontenant 0.• •