Théorème de Thalès et sa réciproque 12 - Hachette

12
C H A P I T R E
Ce monument, appelé Mur pour la Paix, a été conçu par l’artiste française Clara Halter
et l’architecte français Jean-Michel Wilmotte.
Il
est constitué d’une charpente métallique habillée d’inox et de verre.
On peut voir la tour Eiffel à travers ce monument situé sur le Champ-de-Mars à Paris.
Sur le schéma ci-dessous, le segment bleu représente un des montants du Mur pour la Paix.
● Calculer la hauteur réelle d e ce monument.
26 m
Théorème de Thalès
et sa réciproque
REVOIR
◗ le théorème de Thalès dans un triangle ;
◗ l’agrandissement ou la réduction d’une figure.
SOCLE COMMUN
SC1 Agrandir ou réduire une figure.
SC2 Dans un triangle, utiliser le théorème de Thalès pour calculer une longueur.
SC3 Dans un triangle, utiliser la réciproque du théorème de Thalès.
Sur ces grandes façades de verre est gravé le mot Paix
dans 49 langues différentes.
910 m
DÉCOUVRIR
◗ le théorème de Thalès dans le cas général ;
◗ comment reconnaître des droites parallèles.
324 m
203

ACTIVITÉS
1 Je découvre une nouvelle configuration
2 Je généralise un théorème étudié en Quatrième
204
Sur la figure ci-contre, les droites (BE) et (CF) sont sécantes
au point A et les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
1 a) Reproduire en vraie grandeur la figure ci-contre.
b) Construire les points E’ et F’, symétriques respectifs des
points E et F par rapport au point A.
c) Tracer la droite (E’F’).
2 a) Justifier que les droites (E’F’) et (BC) sont parallèles.
b) Calculer la longueur E’F’.
c) En déduire la longueur EF.
Pour cette activité, on utilise un logiciel de géométrie, par exemple GeoGebra (voir page II). )
A
Construction de la figure
1 a) Placer trois points (1) A, B et C non alignés, puis tracer les droites (AB), (AC) et (BC).
b) Placer un point (2) D sur la droite (AB). Le renommer M.
c) Tracer la parallèle à la droite (BC) passant par le point M.
Nommer N le point d’ intersection de cette parallèle et de la droite (AC).
2 a) Afficher le tableur du logiciel.
b) Compléter la cellule A1 en tapant « "AB" ».
c) En utilisant de même des guillemets, recopier les lignes
1, 3 et 5 du tableur ci-contre.
3 a) Dans la cellule A2, afficher la longueur AB en tapant
« distance[A,B] », puis sur la touche � du clavier.
b) Compléter de même les cellules B2, C2, A4, B4 et C4.
4 a) Dans la cellule A6, calculer le quotient AM
AB en entrant la formule « = AM/AB ».
b) Compléter de même les cellules B6 et C6.
B
Étude d’une configuration connue
1 a) Déplacer (1) le point M sur la demi-droite [AB).
b) Qu’observe-t-on concernant les nombres de la ligne 6 ?
Expliquer pourquoi.
2 Que peut-on dire du triangle AMN par rapport au triangle ABC ?
Étude d’une nouvelle configuration
Le point M appartient à la droite (AB).
1 a) Déplacer le point M sans le positionner sur la demi-droite [AB).
b) Qu’observe-t-on concernant les nombres de la ligne 6 ?
2 Faire une conjecture concernant les quotients AM AN MN
, et
AB AC BC .
C
B
5 cm
C
7 cm
6 cm
A
4 cm F
II
VI
J’ai reconnu un théorème
étudié en Quatrième.
E

3 Je cherche à savoir si des droites sont parallèles
4
1 a) Construire un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 10 cm et BC = 8 cm.
Placer le point E du segment [AB] tel que AE = 3 cm.
Placer le point G du segment [AC] tel que AG = 6,1 cm.
Tracer la droite (EG).
b) Quelle conjecture peut-on faire concernant les droites (EG) et (BC) ?
2 Dans cette question, on suppose que les droites (EG) et (BC) sont parallèles.
a) En utilisant le théorème de Thalès, justifier que les quotients AE AG
et sont égaux.
AB AC
b) En utilisant les longueurs données dans l’énoncé, calculer les quotients
AE AG
et . Ces quotients sont-ils égaux ?
AB AC Une conjecture n’est pas toujours vraie.
c) Comment expliquer cette contradiction ?
Je reconnais des droites parallèles
Pour cette activité, on utilise un logiciel de géométrie, par exemple GeoGebra (voir page II).
Construction de la figure
1 a) Placer trois points (1) A
A, B et C.
Tracer les droites (AB), (AC) et (BC).
b) Placer un point (2) D sur la droite (AB). Le renommer M.
Tracer la parallèle à la droite (BC) passant par le point M.
c) Placer un point N sur la droite (AC).
Tracer la droite (MN). La colorer (1) en rouge.
2 a) Afficher le tableur du logiciel.
b) Compléter la cellule A1 en tapant « "AB" ».
En utilisant de même des guillemets, recopier les lignes 1, 3 et 5
du tableur ci-contre.
c) Dans la cellule A2, taper « distance[A,B] » pour calculer la
longueur AB, puis valider en tapant sur la touche � du clavier.
d) Compléter de même les cellules A4, B2 et B4.
e) Dans la cellule A6, calculer le quotient AM
AB en entrant la formule « = A4/A2 ».
f) Compléter de même la cellule B6.
B
Conjecture
1 a) Positionner le point M sur la demi-droite [AB).
b) Déplacer le point N sur la demi-droite [AC) de telle sorte que AN
AC
≈ AM
AB .
Comment semblent alors être les droites (MN) et (BC) ?
c) Déplacer le point N sur la droite (AC) de telle sorte que N ∉ [AC] et AN
AC
≈ AM
AB .
La conjecture faite à la question précédente est-elle encore vraie ?
2 a) Placer le point M sur la droite (AB) sans le positionner sur la demi-droite [AB).
b) Reprendre les questions 1 b) et 1 c) dans ce cas-là.
II
VI
CHAPITRE 12 – THÉORÈME DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE
CHAPITRE 12
205

COURS
206
1
Théorème de Thalès
Théorème de Thalès
Si deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en un point A
et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, } alors AM
AB =
AN
AC =
MN
BC .
THÉORÈME (ADMIS)
A
■ EXEMPLE : Les droites (JL) et (IK) sont sécantes au point E.
Les droites (KL) et (IJ) sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès, on a : EI
EK
IJ 5 EI EJ IJ 5
= , donc = = =
KL 3 EK EL KL 3 .
Le triangle EIJ est un agrandissement
du triangle EKL de rapport 5
3 .
■ EXEMPLE :
Configuration Nouvelle
vue en Quatrième configuration
C
N
M
A
M
B
■ Conséquence : Lorsque le théorème de Thalès s’applique, on a les égalités : AM
AB
Ainsi, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :
Longueur des côtés du triangle ABC AB AC BC
Longueur des côtés du triangle AMN AM AN MN
Le triangle AMN est un agrandissement ou une réduction du triangle ABC.
EJ IJ
= =
EL KL .
■ Remarque : Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs.
Dans l’exemple ci-dessus, on a les égalités : EI
4,5 =
EJ
4,5 cm
EL =
Pour calculer EI, on choisit EI 5
5
= . Ainsi, EI = × 4,5 = 7,5. Donc : EI = 7,5 cm.
4,5 3 3
POINT DE REPÈRE
Sur la figure ci-contre :
● les droites (EF) et (HI) sont sécantes au point G ;
● les droites (EI) et (HF) sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès, on a :
GF GH FH Triangle GFH E
= =
GE GI EI Triangle GEI
Le point G est le sommet commun aux deux triangles.
N
E
I
5
3 .
B
= AN
AC
K
3 cm
G
L
C
= MN
BC .
I
H
5 cm
J
F

2
Comment reconnaître des droites parallèles
Si les droites (BM) et (CN) sont sécantes au point A,
et si AM AN
≠
AB AC ,
alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
PROPRIÉTÉ
Les droites (TM) et (SU) sont sécantes au point R.
On calcule alors les quotients RT RU
et
RM RS :
● RT 2 2 × 4 8 i
= = =
RM 3 3 × 4 12
u
RT RU
y On constate que : ≠
u
RM RS
t
.
● RU
■ EXEMPLE :
3 3 × 3 9
= = =
RS 4 4 × 3 12
Ces quotients ne sont pas égaux,
S
donc les droites (TU) et (SM) ne sont pas parallèles.
Réciproque du théorème de Thalès
Si deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en un point A,
si les points A, M et B sont alignés dans le même ordre que
les points A, N et C,
et si AM AN
=
AB AC ,
alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
PROPRIÉTÉ (ADMISE)
■ EXEMPLE :
On reprend l’exemple précédent.
Le point G est le symétrique du point F
par rapport au point J.
Les droites (EG) et (IK) ne sont
visiblement pas parallèles.
Pourtant, JE
■ EXEMPLE :
3 JG 3 JE
= et = . Donc :
JI
5
Les droites (EI) et (FK)
sont sécantes au point J.
Les points F, J et K sont alignés dans
le même ordre que les points E, J et I.
On calcule alors les quotients JE JF
et
JI JK :
● JE
JI
= 3
5
● JF 3
=
JK 5
i
u
y
u
t
JE JF
On constate que : =
JI JK .
Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (IK) sont parallèles.
■ Remarque : Obtenir des quotients égaux ne suffit pas pour conclure que des droites sont parallèles.
Il est indispensable de vérifier l’ordre des points.
JK
5
JI
E
= JG
JK .
Dans cette configuration, les points E, J et I et les points G, J et K sont alignés, mais ils ne sont pas dans
le même ordre. En effet, J ∈ [EI] mais J ∉ [GK].
F
F
J
E J
A
B
U
G
CHAPITRE 12 – THÉORÈME DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE
M
M
C
K
K
T
N
B
A
N
C
M
CHAPITRE 12
I
I
R
207

À L’ORAL
208
■
Théorème de Thalès
Pour les exercices 1 et 2, quatre droites sont
tracées ; celles en rouge sont parallèles.
Dans chaque cas, énoncer le théorème de Thalès.
1 SC2 a) b)
C
A
B
E
D
2 a) b)
D
R
E
M
G
Pour les exercices 3 et 4, quatre droites sont
tracées. Dans chaque cas, justifier que l’on peut
utiliser le théorème de Thalès, puis énoncer les trois
quotients égaux.
3 SC2 a) b)
U
(AE) // (OU)
S
I O T
A
O
E
4 a)
C
b)
S
E
30°
R
I
H
S
D
G
I
50°
G
U
70°
L
Y
J
C
K
M
60°
O
5 On a : I ∈ (AO), I ∈ (HM) et (AH) // (MO).
Le théorème de Thalès permet-il de conclure que :
A H
I
M
O
R
M
a) AI HI IA IH
= ? b) =
IM IO IO IM ?
c) IM AH IO MO
= ? d) =
IH MO IA AH ?
e) HI HA AH IH
= ? f) =
MI MO OM MH ?
■
Agrandissement - Réduction
6 SC1 Les droites E
(AS) et (RE) sont
sécantes au point C.
R
Les droites (AR) et (SE)
sont parallèles. S
A 3 cm
C
1) Que représente le
12 cm
triangle CAR pour le triangle CES ? Donner le rapport.
2) Calculer les longueurs RA et CE.
4 cm
?
?
2,5 cm
7 SC1 Les droites (ZK) et (OI) sont sécantes au
point T. Les droites (ZO) et (IK) sont parallèles.
Z
2,5 cm
O
?
3 cm
T
1 cm
6 cm
I K
?
1) Que représente le triangle TIK pour le triangle
ZOT ? Donner le rapport.
2) Calculer les longueurs ZT et IK.
■
Comment reconnaître des droites parallèles
8 SC3
Les droites (SU) et
(BO) sont sécantes
au point N.
● Les droites (SB)
et (UO) sont-elles
S
5 cm
4 cm
B O
parallèles ? 3 cm
N
Justifier la réponse.
9 Les droites (GK) et
(HJ) sont sécantes au
point I.
● Les droites (GH) et (JK)
sont-elles parallèles ?
Justifier la réponse.
10 On a :
M ∈ [KA) et N ∈ [KB).
● Justifier que les droites
(AB) et (MN) sont
parallèles.
U
5 m
3 m
4 cm
G H
J
I
2 m
K
A B
3 m 1 m
K
1,5 m
7,5 m
6 m
M N

SAVOIR AVOIR FAIRE
1
J'apprends à...
ÉNONCÉ
SOLUTION
J'applique
Calculer une longueur à l’aide du théorème de Thalès
On considère la figure ci-contre, pour laquelle :
les points F, O et H sont alignés ;
les points E, O et G sont alignés ;
les droites (EF) et (GH) sont parallèles ;
OF = 4,8 cm, OH = 1,8 cm et EF = 5,6 cm.
● Calculer la longueur GH.
J’ai tracé une figure à main levée
avec les longueurs données.
11 Sur la figure ci-dessous, on a : (AC) // (EB)
et les points A, D et E sont alignés ainsi que les points
C, D et B.
C
4,8 cm
A
D
2,1 cm
0,7 cm
● Calculer les longueurs DC et EB.
12 SC2 Sur la figure
ci-contre réalisée
à main levée,
on a : S ∈ [MN] ;
T ∈ [MO] ;
(ST) // (NO).
● Calculer les longueurs
MO et ST.
E
1,9 cm
B
Les droites (EG) et (HF) sont sécantes au point O,
et les droites (EF) et (HG) sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès, on a :
OG OH GH
= =
OE OF EF
OG 1,8 GH
= =
OE 4,8 5,6
Ainsi : 1,8 GH
=
4,8 5,6 .
J’ai utilisé
les produits en croix :
4,8 × GH = 5,6 × 1,8
H
13 SC2 Sur la figure ci-dessous, on a :
AB = 6 cm ; C
AC = 3,5 cm ;
BH = 2,4 cm.
G
1) Démontrer que : (GH) // (CA).
2) Calculer la longueur GH.
1,8 ¥ 5,6
GH =
4,8
Donc : GH = 2,1 cm.
A H B
14 1) a) Tracer deux droites (d 1 ) et (d 2 ) sécantes
au point M.
b) Sur la droite (d 1 ), placer deux points P et R de part
et d’autre du point M tels que :
MP = 2,4 cm et MR = 3,6 cm
c) Sur la droite (d 2 ), placer un point Q tel que :
MQ = 1,8 cm
d) Construire la parallèle à la droite (QP) passant par
le point R : elle coupe la droite (d 2 ) au point T.
2) Calculer la longueur MT.
CHAPITRE 12 – THÉORÈME DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE
E
O
G
F
CHAPITRE 12
209

SAVOIR FAIRE
210
2
J'apprends à...
ÉNONCÉ
SOLUTION
15 SC3 Les points A, M et B sont alignés ainsi que
les points A, N et C.
B
2,7 cm
0,9 cm
A
2,4 cm
0,8 cm
M N
● Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont
parallèles.
On considère la figure ci-contre,
pour laquelle les points A, B et D
sont alignés et les points A, C et E
sont alignés.
● Les droites (BC) et (DE)
D
B
sont-elles parallèles ? E C A
Justifier la réponse.
8,4 cm
6 cm
Les droites (BD) et (EC) sont sécantes au point A.
De plus, les points A, B et D sont alignés dans le même ordre
que les points A, C et E.
On calcule les quotients AB AC
et
AD AE :
AB 4 40 8 ¥ 5 5
= = = =
AD 5,6 56 8 × 7 7
AC 6 60 12 ¥ 5 5
= = = =
AE 8,4 84 12 × 7 7
Ainsi, on constate que : AB AC
=
AD AE .
Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
J'applique
16 1) a) Construire un triangle DEF tel que :
DE = 8,4 cm, DF = 12 cm et EF = 7 cm.
b) Placer le point R appartenant au segment [DF]
tel que FR = 7,4 cm.
c) Placer le point S appartenant au segment [EF]
tel que FS = 4,2 cm.
2) Justifier que les droites (RS) et (DE) ne sont pas
parallèles.
Reconnaître si des droites sont parallèles
C
Je commence
par vérifier l’alignement
et l’ordre des points.
Pour prouver que ces deux
quotients sont égaux, j’ai justifié
qu’ils sont égaux à la même fraction.
17 Toutes les longueurs sont exprimées en
centimètres.
Les droites (VW) et (TU) sont sécantes en O.
U
V
1,5
2,5
5,6 cm
4 cm
● Les droites (UV) et (WT) sont-elles parallèles ?
Justifier la réponse.
O
2
3,5
18 1) a) Construire un triangle GHI tel que :
GH = 4,5 cm, GI = 2,8 cm et IH = 3,6 cm.
b) Placer le point K de la demi-droite [GH) tel que :
K ∉ [GH] et HK = 3 cm.
c) Placer le point J de la demi-droite [IH) tel que :
J ∉ [IH] et HJ = 2,4 cm.
2) Les droites (IG) et (KJ) sont-elles parallèles ?
Justifier la réponse.
W
T

JE M’ENTRAÎNE
■
Théorème de Thalès
➜ Voir Savoir faire 1, p. 209
19 SC2
T
U
Sur la figure ci-contre, les
droites (TU) et (VS) sont
parallèles.
R
On donne :
RS 4
= et VS = 3,4 cm.
RT 9
V S
● Calculer la longueur TU.
20 SC2 On donne :
A ∈ [TS] et R ∈ [TI] ;
TA = 2,2 cm ;
TR = 4,2 cm ;
T
A
R
35°
I
TI = 6,3 cm et SI = 5,4 cm. S
1) Démontrer que les droites (AR) et (SI) sont
parallèles.
2) Calculer les longueurs TS et AR.
21 SC2 Un menuisier doit réaliser un chevalet pour
un artiste-peintre.
L’artiste lui a donné le schéma
ci-contre.
Les trois montants du chevalet
mesurent 1,65 m.
La barre transversale est
parallèle au sol.
● Quelle est la longueur de cette
barre arrondie au centimètre
1,05 m
0,80 m
1,65 m
près ?
22 Antonin visite un château entouré de douves.
Il veut connaître leur profondeur.
Pour cela, il recule sur un pont jusqu’à ce que le
fond F des douves,
le pilier P du pont
et ses yeux Y soient
alignés.
Il est alors à 1,20 m
du pilier P.
● Déterminer
la profondeur
des douves
de ce château.
J’ai fait un schéma
de la face avant que j’ai
complété.
A
F
7 m
Y
P
C
1,20 m
1,50 m
■
Agrandissement - Réduction
23 SC1 Les droites (GI) et (HA) sont sécantes
au point B. G
B 3 cm
H
A 12 cm
2,1 cm
I
1) Que représente le triangle ABG pour le
triangle BHI ?
Justifier la réponse et préciser le rapport.
2) En déduire la longueur AG.
24 Le solide ABCDEF est un prisme droit.
On a :
D
I ∈ [AB] ;
J ∈ [AC] ;
A
K ∈ [DF] ;
L ∈ [DE].
E F
J
L K
I
6 cm
B
9 cm C
Le solide AIJDLK est un prisme droit. Le triangle AIJ
est une réduction de rapport 1
du triangle ABC.
3
1) Quelle est la hauteur du prisme droit AIJDLK ?
2) Calculer les longueurs AI et IJ.
■
25
4,5 cm
Comment reconnaître des droites parallèles
➜ Voir Savoir faire 2, p. 210
D ∈ [AE]
B ∈ [AC]
12 cm
A 6 cm B 2 cm
C
CHAPITRE 12 – THÉORÈME DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE
D
3 cm
● Démontrer que les droites (BD) et (CE) sont
parallèles.
26 Les droites (MS) et (RT) sont sécantes au
point I. On donne :
IS = 6,5 cm ;
MI = 3,5 cm ;
M
I
T
RI = 4 cm ;
TI = 7,5 cm.
R
S
● Les droites (MR) et (TS) sont-elles parallèles ?
Justifier la réponse.
E
CHAPITRE 12
211

J’APPROFONDIS
212
27 1) Tracer un segment [AB] de longueur 10 cm.
Placer le point M sur ce segment tel que AM = 6 cm.
Tracer le cercle (

Connaissances mises en œuvre : Égalité de Pythagore (Révisions), Parallélogrammes particuliers
(Révisions), Théorème de Thalès et sa réciproque (Chapitre 12), Notion de fonction (Chapitre 7).
34 ABC est un triangle tel que :
AB = 4,2 cm, AC = 5,6 cm et BC = 7 cm.
On a : B
M ∈ [BC] ;
P ∈ [BA] ;
Q ∈ [AC].
P
M
A Q
On veut connaître la position du point M sur le
segment [BC] pour que l’aire du quadrilatère APMQ
soit maximale.
Partie A 1) Justifier que le triangle ABC est
rectangle.
2) En déduire la nature du quadrilatère APMQ.
Partie B Dans cette partie, on suppose que :
BM = 2,5 cm
1) Calculer les longueurs BP et PM.
2) Calculer l’aire du rectangle APMQ.
Partie C Dans cette partie, on note x la longueur
BM en centimètres.
1) a) Expliquer pourquoi on a : 0 ⩽ x ⩽ 7.
b) Quelle est l’aire du rectangle APMQ lorsque
x = 0 ? lorsque x = 7 ?
2) a) Exprimer en fonction de x les longueurs BP
et PM.
b) En déduire en fonction de x la longueur AP.
3) a) Pour quelle valeur de x le rectangle APMQ estil
un carré ?
35 1) a) Tracer un triangle ABC rectangle en A.
Placer un point M sur le segment [AC].
Tracer la parallèle à la droite (MB) passant par le
point C.
Elle coupe la droite (AB) au point N.
b) Démontrer que les triangles ABC et AMN ont la
même aire.
2) Reprendre la question 1) en plaçant le point M
tel que :
a) M ∉ [AC] et M ∈ [AC) ;
b) M ∉ [AC] et M ∈ [CA).
Problème de synthèse
C
b) Construire en vraie grandeur la figure correspondant
à ce cas.
4) On note

JE TRAVAILLE EN AUTONOMIE
214
Pour débuter
37 SC1 Le triangle formé par l’accoudoir de la
chaise ci-dessous est une réduction de rapport
7
du triangle formé par les pieds de cette chaise.
16
80 cm
● Calculer la longueur de l’accoudoir rouge.
38 SC2 Les droites
(OR) et (MT) sont
sécantes en E.
Les droites (OM) et
(RT) sont parallèles.
● Calculer les
longueurs OM et ET.
E
6,4 cm
5,2 cm
3,9 cm
O
M T
R
3,2 cm
39 Les droites (EI) et (FH) sont sécantes au point G.
E
F
6 cm
5 cm
● Démontrer que : (EF) // (HI).
G
3 cm
3,6 cm
Devoir à la maison
42 1) Construire un triangle EFG tel que :
EF = 5,4 cm, FG = 12 cm et EG = 9 cm.
Placer le point M tel que M ∈ [EG] et GM = 2,4 cm.
Placer le point N tel que N ∈ [FG] et (NM) // (EF).
2) Calculer les longueurs GN et NM.
43 On a : T
A ∈ [TD] ;
A ∈ [NC] ; N
(NT) // (DC).
● Calculer la longueur AC.
4 m
5 m
6 m
A ?
7 m
H
I
➜voir indications, page 303
D
C
Pour se perfectionner
40 JE RÉDIGE
1) Construire un triangle ABC tel que :
AB = 10,5 cm, AC = 6,3 cm et BC = 8,4 cm.
Placer le point E de la droite (AB) tel que :
E ∉ [AB] et BE = 4,5 cm.
La perpendiculaire à la droite (BC) passant par le
point E coupe la droite (BC) en F.
2) Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
3) Calculer la longueur BF.
4) a) Placer les points M et N tels que :
M ∈ [AB], N ∈ [BC], BM = 5 cm et BN = 4 cm.
b) Les droites (MN) et (AC) sont-elles parallèles ?
Justifier la réponse.
Solution rédigée : voir Site élève
41 Un pommier de 6,7 m de hauteur et un cerisier
sont distants de 20 m. Luc se situe sur l’alignement de
ces deux arbres fruitiers à 30 m du pommier.
À cet emplacement, ses yeux L sont à 1,6 m du sol
et les sommets P et C des arbres sont alignés.
C
Les points L, B et A
P sont alignés.
A
● Calculer la hauteur du cerisier.
44 Les points D, G, N et L sont alignés.
Les points
K, A, N et U
D
sont alignés. G N U
K
1 m
A
B
3,5 m
1,2 m 4,2 m
1,8 m
1,5 m
1) Les droites (DK) et (GA) sont-elles parallèles ?
Justifier la réponse.
2) Les droites (GA) et (UL) sont-elles parallèles ?
Justifier la réponse.
L
L

JE FAIS LE POINT
3 cm
M
J'ai
appris
à...
Attention : Il peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé ! Les trouver toutes.
Pour les exercices 45 à 54, on utilise les figures suivantes :
A
6 cm
O 9 cm E
7,5 cm
Figure 1
Les points A, O, I et J sont alignés.
Les points M, O, E et F sont alignés.
45 Sur la figure 1,
le triangle AOM est
une réduction du triangle IOE
de rapport :
I
J
F
A B C
(AM) // (EI)
et (EI) // (FJ)
3
9
9
6
G
R
7,2 cm 4 cm
Si échec,
revoir :
U S
H 1 cm T 5 cm
Figure 2
L
Les points G, R, U et L sont alignés.
Les points H, T, U et S sont alignés.
4,6 cm
CHAPITRE 12 – THÉORÈME DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE
2
3
p. 206
46 Sur la figure 1, on a : OEI l = OFJ l OEI l = OAM l OEI l = AMO l p. 206
47 Sur la figure 1, d’après
le théorème de Thalès, on a :
48 Sur la figure 1, d’après
le théorème de Thalès, on a :
49 Sur la figure 1,
la longueur OA est égale à :
50 Sur la figure 1,
la longueur EI
(en centimètres) est égale à :
51 Sur la figure 2,
les droites (GH) et (SL)
52 Sur la figure 2,
les droites (GH) et (RT)
53 Sur la figure 2,
si UR = 5,75 cm,
les droites (RT) et (SL)
54 Sur la figure 2,
si UR = 6 cm,
les droites (GH) et (RT)
● Agrandir ou réduire une figure.
● Calculer une longueur en utilisant le théorème de Thalès.
● Reconnaître deux droites parallèles en utilisant la réciproque du théorème
de Thalès.
OE
EF =
OI
IJ =
EI
FJ
AO
AI =
MO
ME =
AM
EI
2
× 7,5 cm
3
OF
OE =
OJ
OI =
FJ
EI
AO
OE =
MO
OI =
AM
EI
9 × 7,5
6
√ 9 2 – 7,5 2 4,5
sont parallèles
sont parallèles
sont parallèles
sont parallèles
ne sont pas
parallèles
ne sont pas
parallèles
ne sont pas
parallèles
ne sont pas
parallèles
OE
OF =
OI
OJ =
FJ
EI
OA
OI =
OM
OE =
AM
EI
p. 206
p. 206
cm 5 cm p. 209
6
FJ p. 209
9
sont peut-être
parallèles
sont peut-être
parallèles
sont peut-être
parallèles
sont peut-être
parallèles
p. 207
p. 210
p. 207
p. 207
p. 210
p. 207
p. 210
➜corrigés : voir page 309
CHAPITRE 12
215

JE PRÉPARE LE BREVET
216
55 D’après brevet Amérique du Nord
Sur la figure ci-contre,
qui n’est pas en vraie
grandeur, le quadrilatère
13 cm
BREV est un rectangle.
Le point T est sur le V 9,6 cm T
E
segment [VE].
N
N est le point d’intersection des droites (BT) et (RE).
1) Justifier que : TE = 3,4 cm.
2) Calculer la longueur BT.
3) Calculer la longueur TN.
7,2 cm BR
56 D’après brevet Guyane
JKL est un triangle tel que :
JK = 6 cm, JL = 3,6 cm et KL = 4,8 cm.
J est un point du segment [IK] et IJ = 9 cm.
(

J’UTILISE UN LOGICIEL
Pour ces exercices, on utilise un logiciel de géométrie, par exemple GeoGebra (voir page II).
61 1) a) Tracer un triangle ABC.
b) Tracer les droites (AC) et (BC).
Placer un point (2) D sur la droite (BC).
c) Tracer la parallèle à la droite (AB) passant par le
point D. Nommer E le point d’ intersection de
cette parallèle avec la droite (AC).
d) Tracer le triangle CDE.
e) On veut afficher l’aire du triangle ABC.
2) a) Afficher le tableur du logiciel.
b) Compléter la cellule A1 en tapant « "BC" ».
Compléter de même les lignes 1 et 3 du tableur ci-contre.
c) Dans la cellule A2, calculer la longueur BC en tapant
« distance[B,C] », puis sur la touche � du clavier.
d) Afficher la distance CD dans la cellule A4.
Pour cela, dans la cellule B2, taper « aire[poly1] », puis valider en tapant sur la touche � du clavier.
f) Afficher l’aire du triangle CDE en tapant « aire[poly2] » dans la cellule B4.
3) a) Déplacer (1) le point D pour que les longueurs BC et CD soient environ égales.
Dans le cas où BC = CD, l’aire du triangle CDE est-elle égale à l’aire du triangle ABC ?
b) Déplacer le point D pour que la longueur CD soit environ la moitié de la longueur BC.
Dans le cas où CD = 1
BC, l’aire du triangle CDE est-elle la moitié de l’aire du triangle ABC ?
2
c) Déplacer le point D pour que la longueur CD soit environ le triple de la longueur BC.
Lorsque l’on multiplie par 3 les longueurs des côtés du triangle ABC, par quel nombre l’aire du triangle ABC
semble-t-elle multipliée ?
62 1) a) Tracer une droite (AB).
b) Construire deux points C et D tels que
le quadrilatère ABCD soit un rectangle.
J’ai tracé des perpendiculaires .
2) a) Tracer les segments [BD] et [AC].
b) Placer un point (2) E sur la droite (AB).
c) Tracer la parallèle à la droite (BD) passant par le point E.
Nommer F le point d’ intersection de cette parallèle avec la droite (AD).
d) Tracer le triangle ACE, puis le triangle ACF.
Colorer (1) le triangle ACE en vert et le triangle ACF en marron.
3) a) Afficher l’ aire du triangle ACE et l’aire du triangle ACF.
b) Que remarque-t-on concernant ces aires ?
c) Cette conjecture reste-t-elle vraie lorsque l’on déplace le point E sur la droite (AB) ?
II
VI
CHAPITRE 12 – THÉORÈME DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE
CHAPITRE 12
217

JE DÉCOUVRE
218
Usain Bolt
Usain Bolt est un athlète jamaïcain, triple champion olympique.
C’est le premier coureur de l’histoire à avoir établi trois records
du monde dans trois disciplines différentes lors des mêmes
jeux Olympiques, ceux de Pékin 2008 :
● record du 100 m : 9 s 69 ;
● record du 200 m : 19 s 30 ;
● record du relais 4 × 100 m : 37 s 10.
63 Le drapeau de la Jamaïque présente une « croix de Saint André » jaune.
1) ABCD est un rectangle tel que AB = 10 cm et BC = 5 cm.
Reproduire la figure ci-contre, avec AE = 1 cm et BL = 0,5 cm.
2) a) Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (AC).
b) Démontrer que les droites (EF) et (HG) sont parallèles.
c) Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont parallèles.
A
H
E I
3) On veut montrer que le quadrilatère MNOP est un losange.
M
a) Justifier que le quadrilatère MNOP est un parallélogramme.
P N
b) Démontrer que les droites (IL) et (EF) sont parallèles.
O
En déduire que le quadrilatère IMNL est un parallélogramme. J
c) Justifier que : MN = IL.
d) Expliquer pourquoi PM = EH.
e) Expliquer pourquoi EH = IL.
D K
G
f) Déduire des questions précédentes que le quadrilatère MNOP est un losange.
Le centre Beaubourg
Le Centre national d’art et de culture Georges Pompidou à
Paris, appelé centre Beaubourg, a ouvert ses portes en 1977.
Ce bâtiment à l’architecture emblématique du XX e siècle a
été conçu par l’architecte italien Renzo Piano et l’architecte
britannique Richard Rogers.
Ces deux architectes ont voulu laisser visibles les éléments de
construction (poutres métalliques, câbles…).
64 La figure ci-contre représente une partie de la façade ouest A I
de ce bâtiment.
On veut déterminer la longueur du câble [AD].
La façade est composée de rectangles tous identiques au
rectangle AIOH.
On donne : AI = 12,8 m, IO = 14 m et KJ = 3,50 m.
H O
1) Calculer la longueur OA, arrondie au décimètre près.
2) a) Calculer une valeur approchée au décimètre près de la
K F
longueur OD.
J
D
b) En déduire une valeur approchée au décimètre près de la longueur du câble [AD].
B
L
F
C