Harkai Alexandra Dóra - ELTE - Matematikai Intézet - Eötvös Loránd ...

3.4. Algebrai gráfelmélet
Egy G gráf A(G) szomszédsági mátrixa valós értékű és szimmetrikus, ezért a
sajátértékei mind valósak: λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn. A következőket tudhatjuk meg egy
gráf sajátértékeiből [7]: (bizonyítás kell vmelyikre?)
• ha G reguláris, akkor λ1 = d
• G pontosan akkor összefüggő, ha λ1 > λ2
• G pontosan akkor páros gráf, ha λ1 = −λn
Itt megjegyezzük, hogy elterjedt módszer a szomszédsági mátrix normálása a
következőképpen:
47. Definíció. [normált szomszédsági mátrix] Ha a G gráf szomszédsági mátrixa
A = aij, akkor a normált szomszédsági mátrixa A ′ = aij
, ahol D a gráf foka (a
D
legnagyobb fokszámú csúcs foka).
Látható, hogy d-reguláris gráfokra, amikkel most is foglalkozunk, D = d, vala-
mint a mátrix soraiban és oszlopaiban is az elemek összege 1 lesz. A normált mátrix
sajátértékei 1 ≥ λ2
λ1
≥ · · · ≥ λn
λ1
lesznek, páros gráfra pedig λn
λ1
= −1.
A spektrális gráfelméletben a gráf szomszédsági mátrixán kívül a Laplace-mát-
rixa is sok információval szolgál a struktúráról [3]:
48. Definíció. [Laplace-mátrix] Ha a G egyszerű gráf szomszédsági mátrixa A,
sajátértékei λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn, akkor D := diag(d(v1), d(v2), . . . , d(vn)) a fok-
mátrix (d(vi) az i-edik csúcs foka) és a gráf Laplace-mátrixa L = D − A. A Laplace-
mátrix elemei tehát:
Az L ′ normalizált Laplace-mátrix:
l ′ ij =
⎧
⎪⎨ d(vi) ha i = j
lij = −1
⎪⎩
0
ha i �= j és i, j szomszédosak
egyébként
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1 ha i=j
1 −√
ha i �= j és i, j szomszédosak
d(vi)d(vj)
0 egyébként
23