Harkai Alexandra Dóra - ELTE - Matematikai Intézet - Eötvös Loránd ...

3. Definíció. [Abel-csoport] Egy G csoport Abel-csoport, ha kommutatív, vagyis
∀ a, b ∈ G esetén ab = ba.
Egy csoportnak nevezetes részhalmazai lehetnek, külön fontosak azok, amelyek
” öröklik” az eredeti csoport struktúráját, esetleg következtetni lehet belőlük az egész
csoport szerkezetére.
4. Definíció. [komplexus] Komplexusnak nevezzük egy csoport részhalmazait. A
komplexusokon definiálunk egy szorzást a következőképpen: K −1 = {k −1 | k ∈ K},
valamint K1K2 = {k1k2 | k1 ∈ K1, k2 ∈ K2}.
Komplexusokat elemmel is szorozhatunk, ez egyelmű komplexussal való szorzást je-
lent: gK = {g}K = {gk | g ∈ G, k ∈ K}. (Hasonlóan definiálható Kg is.)
5. Definíció. [részcsoport] Egy G csoportnak részcsoportja ∅ �= H ⊂ G, ha ugya-
narra a csoportműveletre és az inverzképzésre nézve is zárt, ezt H < G-vel jelöljük.
1. Példa. [részcsoport] Az egész számok (Z, +) csoportjában részcsoportot alkotnak
a k nemnulla egésszel osztható számok.
6. Definíció. [generátor] Egy S ⊂ G részhalmaz által generált 〈S〉 csoport az a
legszűkebb részcsoportja G-nek, amely tartalmazza S-t. Egy G csoport generátora az
az S ⊂ G halmaz, melyre 〈S〉 = G, ahol 〈S〉 jelöli a generátorelemek és inverzeik
kombinációiból előállítható elemek halmazát.
7. Definíció. [végesen generált Abel-csoport] Egy (G, +) Abel-csoport végesen ge-
nerált, ha létezik véges számú g1, . . . , gs ∈ G, melyeksegítségével ∀g ∈ G elem
egyértelműen felírható
∀g ∈ G : g = n1g1 + . . . + nsgs
alakban, ahol n1, . . . , ns ∈ Z. Ekkor {g1, . . . , gs} a G csoport egy generátorhalmaza.
Könnyen látható, hogy minden véges Abel-csoport végesen generált, de fordítva
nem igaz.
8. Definíció. [ciklikus csoport] Ciklikusnak nevezzük azokat a csoportokat, melyek
egy elemmel generálhatók.
2. Példa. [ciklikus csoport] Az egész számok (Z, +) csoportja, valamint m egészekre
a (mod m) maradékosztályok csoportjai.
5