8. modul Goniometria - Sulinet

More documents

Recommendations

Info

Matematika „C” – 11. évfolyam – 8. modul: Goniometria Tanári útmutató 26 Az egyenletnek véges sok megoldását megkereshetjük úgy is, hogy először minden megoldást megadunk, majd a paraméter helyére behelyettesítünk 3 különböző egész számot. 2 2 2 2 A cos x = 1− sin x egyenlet ekvivalens a sin x + cos x = 1 azonossággal, amelynek megoldása minden valós szám. Pl. 1,2; 3 és − 2154 . A 3 cos 2x = − egyenlet megoldásait most az egységkör segítségével keressük meg. Az i 2 vektort 2x szöggel elforgatva, ahhoz, hogy a kapott vektor első koordinátája ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ le- ⎝ 2 ⎠ 5π gyen két lehetőségünk van. Az e 2x, 1 vektor irányszögei: 2 x = + 2nπ , ahol n ∈ Z ; az 6 5π e 2x, 2 vektoré pedig: 2 x = − + 2kπ , ahol k ∈ Z . 6 5π 5π A kapott egyenletek megoldása x-re: x = + nπ , ahol n ∈ Z , illetve x = − + kπ , ahol 12 12 5π 5π 17π k ∈ Z . Az egyenletnek megoldása pl. , − és . 12 12 12 π ⋅ x 4. Keresd meg a ctg = 1 egyenlet valós megoldásai közül a legnagyobb negatív megol- 4 dást! Megoldás: π ⋅ x π ⋅ x π ctg = 1 ⇔ = + nπ , ahol n ∈ Z . Így x = 1+ 4n , ahol n ∈ Z . Ezek között a 4 4 4 megoldások között a legnagyobb negatív szám: − 3 . 5. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 2 2 2 a) (sin x − cos x) + (cos x + sin x) = 3sin x −1; b) 2cos x − tgx ⋅ cos x −1 = 0 ; sin x cos x c) + + 2 = 0. cos x sin x
Matematika „C” – 11. évfolyam – 8. modul: Goniometria Tanári útmutató 27 Megoldás: 2 2 2 2 a) (sin x − cos x) + (cos x + sin x) = 3sin x −1 ⇔ 2sin x + 2cos x = 3sin x −1 ⇔ 2 2 π 2(sin x + cos x) = 3sin x −1 ⇔ sin x = 1 ⇔ x 2nπ 2 + = , ahol Z ∈ n . 2 b) A 2cos x − tgx ⋅ cos x −1 = 0 egyenlet megoldása csak olyan x valós szám lehet, π 2 amelyre x ≠ + nπ , ahol n ∈ Z . Ekkor 2cos x − tgx ⋅ cos x −1 = 0 ⇔ 2 2 2 2( 1− sin x ) − sin x −1 = 0 ⇔ 2sin x + sin x −1 = 0. A sin x -re másodfokú egyen- 1 let megoldásai: sin x = és sin x = −1. Az utóbbi egyenletből nem kapunk megol- 2 1 dást, hiszen ezeknek az x számoknak a tangense nincs értelmezve. A sin x = 2 π egyenlet, és ezzel az eredeti egyenlet megoldásai: x 2nπ 6 + = , ahol Z ∈ n , vagy 5 π x = + 2kπ , ahol k ∈ Z . 6 c) I. megoldás: sin x cos x A + + 2 = 0 egyenletnek csak olyan valós x szám lehet a megoldása, cos x sin x π amelynek sem a szinusza, sem a koszinusza nem 0, tehát x ≠ k ⋅ , ahol k ∈ Z . 2 Szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát sin x ⋅ cos x -szel! Az így kapott egyenlet: 2 2 sin x + cos x + 2sin x cos x = 0 . A bal oldali kifejezés azonosan egyenlő 2 2 2 2 (sin x + cos x) -nel, így sin x + cos x + 2sin x cos x = 0 ⇔ (sin x + cos x) = 0 ⇔ sin x + cos x = 0 . Az egységkörön megrajzolható egységvektorok közül pontosan 3π kettőre igaz, hogy a koordinátáinak összege nulla, ezek irányszögei: x = + nπ , 4 ahol n ∈ Z . Ezek a számok beletartoznak az egyenlet alaphalmazába, és mivel ezen az alaphalmazon ekvivalens átalakításokat végeztünk az egyenleten, megoldásai az eredeti egyenletnek is. II. megoldás: sin x 1 Mivel = tgx , így az eredeti egyenlet ekvivalens a tg x + + 2 = 0 egyenlettel. cos x tgx π Az egyenlet alaphalmaza azoknak az x számoknak a halmaza, amelyekre x ≠ k ⋅ , 2
Page 1 and 2: MATEMATIKA „C” 11. évfolyam 8.
Page 3 and 4: Matematika „C” - 11. évfolyam
Page 25: Matematika „C” - 11. évfolyam

8. modul Goniometria - Sulinet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?