8. modul Goniometria - Sulinet

Matematika „C” – 11. évfolyam – 8. modul: Goniometria Tanári útmutató 30
Ezt a feladatot csak jól felkészült csoport számára tűzzük ki!
Megoldás:
Az első egyenlet szerint sin x = 0 és y tetszőleges valós szám, vagy cos y = 0 és ekkor x
tetszőleges valós szám.
Ha sin x = 0 , akkor ezekre az x számokra cos x = 1,
tehát ekkor a második egyenlet:
3
1 + sin y = , azaz
2
1
sin y = . Így, ha sin x = 0 , azaz x = kπ
, ahol k ∈ Z , akkor
2
1
1
sin y = vagy sin y = − . Az utóbbi két egyenlet valamelyike pontosan akkor teljesül,
2
2
π
5π
ha y = + nπ
vagy y = + mπ
, ahol n, m ∈ Z .
6
6
− π; π intervallumon a megoldások számát: Ekkor
Ebben az esetben keressük a [ ]
⎧ 5π π π 5π
⎫
x = kπ
, ahol k ∈{
−1;
0;
1}
esetén y ∈ ⎨−
; − ; ; ⎬ , így mivel ebben az esetben
⎩ 6 6 6 6 ⎭
az x-re kapott mindhárom értékhez 4-féle y érték tartozik, ekkor összesen 3 ⋅ 4 = 12
számpár megoldása van az egyenletnek a [ π; π ]
− intervallumon.
Ha cos y = 0 , akkor sin y = 1,
így ekkor a második egyenlet szerint
3
cos x + 1 = , azaz
2
1
π
π
cos x = . Ez pedig pontosan akkor teljesül, ha x = + nπ
vagy x = − + kπ
, ahol
2
3
3
n, k ∈ Z .
Ekkor keressük a [ π; π ]
− intervallumon a megoldások számát: Ha cos y = 0 , azaz
⎧ π π ⎫ ⎧ 2π π π 2π
⎫
y ∈ ⎨−
; ⎬ , akkor x ∈ ⎨−
; − ; ; ⎬ . Mivel mind a két y értékhez 4-féle x ér-
⎩ 2 2 ⎭ ⎩ 3 3 3 3 ⎭
ték tartozik, tehát ekkor az egyenletnek összesen 2 ⋅ 4 = 8 számpár megoldása van a
[ π; π ]
− intervallumon.
Összefoglalva: Az egyenletrendszernek összesen 20 számpár megoldása van a [ − π; π ]
intervallumon.